1、1化二次型为标准形的方法探讨刘墨德（三明学院 数学与计算机科学系，福建 三明 365004）摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi 方法.关键词：对称矩阵; 二次型; 正交变换;合同变换Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de（Department of Mathematics ,)ijaij 122nijifxax是一个关于 的 元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将12,nx化为标准形.12(,)nf综上所述,数域 上的任一个 元二次型均可
2、以经过非退化线性变换化为标准形.定理P得证.定理 2.1 中化二次型为标准形的方法称为配方法.例 2.1 8 把二次型 化为标准形.22(,)462fxyzyzxyzx解 在 中 的系数不为零,可先集中含 的项,利用配方法把 改写为f2x f22()()4yz2()3yzyz再在剩下的项中集中含 的项 ,配方后得到 22()fxy于是, 线性变换 zyz7或 2xyzz把二次型 化为标准形f22fxy例 2.212 化二次型 为标准形,并写出所用的非13132(,)6xx退化线性变换.解 由于 中没有平方项，故作非退化线性变换 123(,)fx 1223yx即.1122330xy则 123(,
3、)fx12248yy33()y.12()6令 , 即 . 或 .1323zy323yz1122330yz则 的标准形为 .12(,)fx2216zz所用的非退化线性变换为.1 12 23 301xz1230z对于一般的二次型,当平方项的系数 不全为零时,可用例 1 中的方法;当二次型中不含ia有平方项,这时 不全为零,可用例 2 中的方法,先作一变换 ,把二次型化为含有平方项的情形,然ija后再用例 1 中的配方法,这样继续下去就可以把任何一个二次型化为标准形.3 用正交变换方法化二次型为标准形定义 3.11 设 为实 阶方阵,如果 ,则称 为正交矩阵.An1TA定义 3.21 若变换 的矩阵
4、 是正交矩阵,则称这个线性变换是正交变换.(13)C定义 3.32 设 为数域 上两个 阶矩阵,如果可以找到数域 上的 阶可逆矩阵,BPnPn,使得 ,就说 相似于 .X1X定义 3.42 设 为 阶方阵, 是一个数,如果存在非零向量 ,使得 成立,nA则称 是 的一个特征值, 为 的属于特征值 的特征向量.含有未知量 的矩阵AA8称为 的特征矩阵,其行列式 为 的 次多项式 ,称为 的特征多项式, EAEAnA称为 的特征方程.0定义 3.52 设向量 , ,数量12(,)na 12(,)nb称为向量 与 的内积,记为 .12nabb 1i(,定义 3.62 如果两个向量 与 的内积等于 0
5、,即 ,则称向量 与 是正交,)0的.定义 3.71 若非零向量组 两两正交,即 ,12,s (,)ij(,ij.则称该向量组为一个正交向量组.若一个正交向量组的每一个向量都是单位向量,1,2)s则称该向量组为一个正交单位向量组.引理 3.11 设 是一个线性无关向量组 ,令12,s (2)s(3-1).12123313211, ,s ss s（ ）（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ） （ ）则 是一个正交向量组,并且向量组 与 等价.12,s 12,s 12,s由式(3-1) 生成正交向量组的方法称为施密特正交化方法.定理 3.14 阶矩阵 是正交矩阵的充分必要条件为 的
6、个列向量是两两正交的单nCCn位向量.证明 由定义 3.1 有(3-2),TE比较式(3-2) 两边的对应元素 ,知 成立的充分必要条件为 的元素 满足关系式T ij,( ), (3-3)1nkijijC,12,n其中 ,而式(3-3)表示矩阵 的 个列向量是两两正交的单位向量.01ijj定理 3.22 如果 阶矩阵 与 相似,则 有相同的特征值.nAB,证明 因为 与 相似,所以存在 阶可逆矩阵 ,使得 ,而nP1BAP,所以 与EB11PE1E9有相同的特征多项式,于是 与 有相同的特征值.BAB定理 3.34 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.证明 设 是实对称矩阵, 分别是
7、 的属于不同特征值 的特征向量,12,XA12由题设知 , .于是1AX21T1212()()TTX.1221移项,得 ,但 , 所以 ,即 .所以 与121()0TX1200T12()01X正交 .2定理 3.49 对于任意一个 阶实对称矩阵 ,都存在一个 阶正交矩阵 ,使得nAnC,其中 是 的全部特征值.121TnCA 12,n证明 利用数学归纳法证明.当 时,定理结论显然成立.1n假设对 阶实对称矩阵定理已经成立,下面证明对 阶实对称矩阵也成立.n令 是一个 阶实对称矩阵,设 是 的属于特征值 的一个单位特征向量 ,现选 个A1XA11n非零向量 ,使得 两两正交.由施密特正交化方法得
8、到 个两两正交23nY 23,nY的单位向量 ,再以 为列向量构成矩阵 , 是1X 1, 12(,)nPX P一个正交矩阵,即 .由于 是 的属于特征值 的一个特征向量,于是TP11212(,)(,)nnAXA 12,nA记 .那么23,bb.12,n212(,)TT nTnPAXb.11212212TnTTTnnnbXX 121220nnnb又由于 是对称矩阵,所以 ,TPA2310,0b10且 是一个 阶对称矩阵,由归纳假设,存在一个 阶正交2323123nnnnbbB 11n矩阵 ,使得1nQ.1211Tnnn nBQ于是 1100TnnPA1100TnnnQBQ 1100TnnBQ.11Tnn2n令 .容易看出 是一个 阶正交矩阵,又 是两个正交矩阵的乘积仍是正10nQQ,PQ交矩阵.记 ,得CP121TnAC由于 与 相似,由定理 3.2, 它们有相同的特征值,因而,主对角线上的元素1C就是 的全部特征值,定理得证.2,n定理 3.517 实二次型必可由正交变换 化为标准形XCY221nyy即12(,)nfx TXA()TA
