1、165图 6.3.6 半带滤波器的幅频响应（a） ， （b） ， （c）()jgHe()jge ()()jjggHe我们在 6.3.2 节介绍了 QMFB，若 和 满足（6.3.2）式，即 和)(0j)(1j )(1jeH以 为对称，则称 和 镜像对称，但并没有要求 。)(0jeH21 )(0jje所以，两通道 QMFB 不一定是半带滤波器，而半带滤波器一定是正交镜像滤波器。由以上讨论，我们可把半带滤波器的特点总结如下：0 1 0 1 ) 0 4 02 4 6 8 12 0 2 4 6 8 1 02 4 6 8 12 ) 1661. 为满足（6.3.13b）式， 的通带与阻带纹波必须相等，即
2、；)(jeH212. 同样为了满足（6.3.13b）式，必有(6.3.14)1)()(22jj 0也即该频率响应相对半带频率（ ）是对称的。另外，若 的通带频率为 ，阻)(jeHp带频率为 ，则 和 对 是等距的。正因为这以特点，所以称该类滤波器为“半带sps滤波器” ；3. 除 外，其余偶序号项全为零，即（6.3.12b）式；)(nh04. 若 是非因果、零相位的 FIR 滤波器，即 ，那么， 的单边的zH)(nh)(nh最大长度为 ， 为整数，总的长度12J(6.3.15)14)2(JJN即半带滤波器的长度总是奇数，且是 4 的整数倍减 1。若将 乘以 ，即可将零相)(zH)12(J位的
3、FIR 滤波器变成因果的、具有线性相位的滤波器。5. 半带滤波器可以是因果的，也可以是非因果的。其系数可以是实的，也可以是复的。如：， 31)(zH11)(zE， ， 1)(jzjz)(1等均是半带滤波器。6.3.5 互补型滤波器1.严格互补（strictly complementary，SC ）滤波器一组滤波器 ， ， ，若它们的转移函数具有如下关系：)(0zH1)(1zHM(6.3.16)00knc则称 ， ， 是一组严格互补的滤波器。)(0z1)(1zM167假定利用 ， ， 作为分析滤波器组将 分成 个子带信)(0zH1)(1zHM )(nxM号，若把这 个子带信号相加，即M1010
4、0)()()()( MknczXzHXzzX对应的时域信号是 ，它和 仅差了一个延迟和常数倍，这对于信号的准确重0ncxx建是非常有用的。由定理 6.1， th 滤波器一定是严格互补型滤波器。半带滤波器是 th 滤波器的特例，M因此，半带滤波器也是严格互补的。给定一个低通滤波器 ，设其长度为偶数，属 FIR 线性相位滤波器，显然，我们可)(0nh把 写成 的形式，式中 为实数，可正可负。若令)(0zH)(zHezg2Nj0)(zHg，显然，1eg2Nj1 jezNjez|)(10这样， 和 是严格互补的，如图 6.3.7 所示。注意图中 并不等于 ，因此，)(0zH1 12该滤波器不是半带滤波
5、器。图 6.3.7 构造两通道严格互补滤波器的方法在进一步讨论其它类型滤波器之前，我们先给出本书常用的一些符号。若 为一矩)(zH阵，即 的各元素都是 的多项式，记)(zHz168为 的转置；)(zTH为 的共轭转置；表示将 各元素的系数取共轭；)(*z)(z表示将 各元素的系数取共轭，用 代替 ，然后取转置。*1T )(zH1z例如，令 ，式中 ， 也是矩阵，则)(zH0)(h0)(1hz10zeez1HjjHTT)()()()(*h矩阵 称为 的“仿共轭（paraconjugate）矩阵” 。若 在单位圆上取值，即z，则 。一般， 不在单位圆上，有jez)()(jHezz(6.3.17)(
6、)(*z1H若 是 的有理多项式，则)(zH(6.3.18)()1*z表示将 的系数取共轭，再用 代替 ，例如：)(z1z若 ， 则 123zHzH23)(若 ， 则 )()()1dzcba )()*zdcba2. 功率互补滤波器（power complementary，PC）若 个滤波器的频率响应满足M(6.3.19)ceHMkj102|)(|式中 为常数，则称 ， 是功率互补的。该式又可表示为c)(0z1z169(6.3.20)czHMkk10)(下面的定理给出了功率互补滤波器和 th 滤波器之间的关系：定理 6.2 给定一转移函数 ，其多相表示为 ，再令)(z10)()(MllzEz，当
7、且仅当 是一 th 滤波器时， ， 是功率互)()(zHzGGM0E1补的。证明：为证明上述结论，我们定义一组滤波器(6.3.21)10)()()Ml Mlklkk zEWzH将其写成矩阵形式，有(6.3.22) )()()()( )()( zM10z1M1z1M0 Ez0zHz 式中 是 DFT 矩阵，满足 如果 要满足功率互补关系，则应有WIWH，由（6.3.22）式，有cz)(E(6.3.23)()()()( zMzzzHEE（1）若 是功率互补的，则)( )(cz因为(6.3.24)|)(|)(zHz1M0k2所以， ， ， 也是功率互补的。由 的定义，即)(0zH11G170，那么，
8、 ，因此有)()(zHzG)()(zHzWGkM(6.3.25)10102|kkc即 满足（6.3.6）式，由定理 6.1，所以 为一 th 滤波器。)(z )(z（2） 反过来，若 是 th 滤波器，则（6.3.25）和（6.3.24）式成立，从而)(zG，对（6.3.22）式中的 求逆，即 。Mcz)(H)()()()(zz1HWE用上述同样的方法可证明 ，从而 是功率互补的，证毕。常 数)(zE若 ，即 、 是功率互补的，我们有2)(0z1H(6.3.26)czHz)()(10该式在两通道滤波器组的准确重建中有着重要的作用。由定理 6.2， 应)()(zHzG是一半带滤波器，并有 。如果
9、我们希望能设计出符合功率互补的滤波器czG)(，则应首先设计出半带滤波器 ，由 ，显然 是 的)(0zH )()(zHz)(0z一个谱因子，因此，对 作谱分解，然后对极-零点重新安排，即可得到 。)(z3 全通互补滤波器（Allpass Complementary，AC）若一组滤波器 ， ， 满足)(01H)(1zM0kA式中 为一全通滤波器，则称这一组滤波器是全通互补滤波器。利用全通互补滤波器可)(zA消除信号重建时的幅度失真。一组严格互补的滤波器也是全通滤波器，但不一定是功率互补的。如果一组滤波器既是全通互补的，又是功率互补的，则称其为双互补（Doubly Comlementary，DC）
10、滤波器。 有关以上各种类型的互补滤波器，我们将在以后的章节里陆续遇到。1716.4 半带滤波器设计半带滤波器在两通道滤波器组的分析与实现中具有重要的作用，本节讨论其设计方法。由上节所述，半带滤波器的单位抽样响应 除 以外的偶序号项皆为零，且其频率)(nh0响应有着（6.3.14）的对称性。至今，人们已提出了多种设计方法，现择其主要讨论之。1.窗函数法假定要设计的半带滤波器的截止频率 ，令理想滤波器的 ，对c21|)(|jdeH，其余为零，则|2(6.4.1)2njdde1nh)si()(显然， ， ，所以， 是一个零相位的半210hd)( 0)(4khddd )(nhd带滤波器。但它是非因果的
11、， 从 ，且频率特性不好。我们可以仿照用窗函数法设计 FIR 滤波器的方法来改造之 19。即选一窗函数 ，令)(nw(6.4.2)()(1J2nhd式中 为 的长度。14JNn2.利用 Lagrange 插值法文献129提出了一个用 Lagrange 插值法设计半带滤波器的方法。首先由， (6.4.3)12(!()!5.01)2(21nJnjkhJk J,2求出半带滤波器的单位抽样响应， 的总长度为 。h4JN例如，当 时，所求出的 的值如下：15N)(n 0 1 2 3 4 5 6 7h(n) 0.5 0.299 0 -0.0598 0 0.01196 0 -0.00122172然后用 (6
12、.4.4)JnnzhzH112)(25.0)(可求得半带滤波器得转移函数。3. 用单带滤波器来设计半带滤波器欲设计一个半带滤波器 ，假定其长度为 ，截止频率为 ，阻带频率为 ，)(zNps为了达到设计的目的，文献15提出了一个用单带滤波器来设计半带滤波器的方法。首先用Chebyshew 最佳一致逼近法设计出一个“单带”滤波器 。所谓“单带” ，是令 的)(zG)(zG通带频率为 ，阻带频率 ，从 是其过渡带，因此， 只有一个通带，p2s2p )(z没有阻带。令 的长度为 ，因为所需半带滤波器的长度 ，所以)(ng)1(N14JN的长度为 ，即始终为常数。)(J及 求出后，再对 作二倍的插值，并
13、令插值后序列的中心点为 0.5，即zG)()(ng(6.4.5)2)1(21NzGzH这样， 是一半带滤波器，通带截止频率在 ，其通带和阻带的纹波分别是 的一)(zHp)(zG半。文献15称该方法为一个“trick” 。例 6.4.1 试通过单带滤波器来设计一半带滤波器，要求半带滤波器的 ，4.0p的长度 （即 ） 。)(nh19N5J按上面讨论的思路，我们首先设计单带滤波器 ，令其通带截止频率为)(zG， ，长为 。8.02ps102J图 6.4.1（a）是 的图形，图（b）是 ，图 6.4.1（c）是所要求的半带滤波|)(|jeG)(ng器的幅频响应 ，图（d）是 ，显然除中心点外， 为偶
14、序号项皆为零。|jH)(h173图 6.4.1 半带滤波器的设计（a） ， （b） ， （c） ， （d）|)(|jeG)(ng|)(|jeH)(nh0 2 6 8 105 15 ) 0 2 4 6 8 02 4 6 8 ) 0 2 4 6 8 05 1 0 5 02 4 6 ) 1746.5 抽取、插值及滤波器组的应用现举例说明信号抽取、插值及滤波器组的应用。例 6.5.1 语音系统 一般，语音、音乐信号等的频谱 的主要能量集中)(jX在 ，那么，对这一类信号抽样时，取 应能满足需要。KHz20 KHzfs4但在抽样前，应加抗混迭滤波器 以去除 在 以上的频率成份，从而)(ja)(j2保证抽
15、样时不发生混迭失真。显然，对 ，我们希望它：通带尽量地平；过渡H带尽量地窄；阻带衰减足够大；最好能具有线性相交。对模拟滤波器来说，要想做到通带尽量平，阻带尽量小并不困难，但如果要求过渡带又特别窄就比较困难，进而，要求具有线性相位几乎是不可能的。那么，解决的方案是将提高一倍，即取 ，这样， 的过渡带即可加宽，这样 的设sf Kzfs8)(ja )(jHa计就比较容易，并努力使相频响应在通带内接近线性相位（如利用 Bessel 滤波器） 。显然，的过渡带加宽，使抽样后的信号 含有频率大于 的噪声，但由于 提)(jHa )(nxKz2sf高了一倍，因此不会引入混迭失真。由于这时 工作在高抽样率状态，含有信息的冗余，我们可对其作二倍的抽取。在抽取之前，我们用截止频率为 的数字滤波器 对Hz4)(z滤波，从而既消除了由于 过渡带过宽引入的噪声，又防止了抽取后的混迭 15。)(nx )(jHa我们知道，设计出高性能、线性相位的数字滤波器要比设计模拟滤波器容易的多。以上过程如图 6.5.1 所示。图 6.5.1 语音系统中的抽样在第五章开头时已述及，在语音系统中存在着多种抽样率。如立体声，通常是 ，KHz48而 CD 唱盘（或数字磁带） ，所采用的抽样率是 ，而数字广播所用的抽样率是KHz1.4Ha(j) A/D H(z) 2)(tx ()xn)(nxkz8kz4
