1、1图 1一道课本习题潜在价值的开发研究广东省东莞市常平镇振兴中学（523573） 郭贵锋电子邮箱：电话:13620024982稿件所属学科:数学【摘要】本文围绕着新课程理念，从分析 课本例习题入手，以问题为载体，开展多角度探究，剖析解题思路，渗透数学思想方法，并进行变式研究，培养学生的解题能力和求异思维，从而促进“学生全面、持 续、和谐的发展”。【关键字】探究 ；新课程 ；多角度 ；变式美国著名数学家 G波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。 ” 课本上例题、习
2、题的权威性、典型性和示范性无疑是创新的源泉，其内涵丰富，拓展性强，若能在平时课堂教学中，注意充分引申，挖掘其蕴含的深层潜力，做到一题多解、一题多变、一题多用，用好教材、活用教材而又不能拘泥于教材， 同时将题目之间的共性及本质的东西进行提炼、概括、升华，增强学生学习的兴趣和学习积极性，开阔视野、丰富思维，从而培养学生积极探究的精神和创新的能力，达到举一反三，触类旁通的目的。教材是课标的载体，是课程目标和课程内容的具体化，是教和学的主要依据，自然也是中考命题的主要依据。因此在习题教学过程中，教师要善于从多角度、全方位、深层次的知识领域中向学生渗透求变意识、创新意识，通过一题多解、一题多变、一题多用
3、，拓宽思维和视角，克服思维定势，促进灵活性，在变式、变法、变条件等训练中冲击思维的单一性，增强变换思维角度的能力，强化求变意识和创新意识的形成。1.题目引入：在数学课本 122 页（人教版 八年级下册 四边形）有这样的一道习题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 交于点 F。求证：AE=EF分析 本题的考查知识点有： 三角形全等的判定；正方形的性质；三角形的外角和；外角平分线等。本题的综合性较强，很有启发性，若注意从多角度、多途径、分层次入手进行分析、挖掘，无疑能帮助学生提高分析问题、解决问题的能力，促使学生的思
4、维向深层次、多角度、多方面发散，引导学生积极、主动探索知识的形成、应用过程，有意识地展现教学中师生思维互动的活动过程。2.解题思路探讨：孙维刚先生指出：“真正可靠的解题思考规律的形成，应当是在多解归一的基础上，即在挖出一道题目的不同解法的共同点的基础上，再比较一批题目的各自共同点，发现它们 的共同点，从而形成普适性的解题思考规律。 ”对于解题方法而言，变换崭新角度试试2图 2MECDBA FECDBAFN图 3 3 图4412EBCADFQ 1 图5EBCADF常常会有意外的收获。通过角度的多变、不同思路的探究、不同方法的分析比较，是形成创新意识、培养创新能力的源泉。通过一题多解，找准解题的“
5、切入口” ，优化解题思路，起到举一反三、触类旁通的目的。思路 1 （构造全等） 如图 2，在 AB 上取一点 M，使 BM=BE，证明 AME ECF，可得结论 AE=EF。证明：如图 2，取 AB 的中点 M，连结 ME. 四边形 ABCD 是正方形，AB=BC，B=DCN=90 ，点 E 是 BC 的中点， AM=MB=BE=EC在 Rt MBE 中， BME=BEM=45. AME=135；CF 是DCN 的角平分线，FCN=45.ECF=135.AME=ECF ；AEF=90 ；AEB+ FEC=90 ；在 RtABE 中， BAE+AEB=90.BAE=FEN ； AMEECF ；
6、AE=EF 。思路 2 （构造全等和三角函数结合）如图 3，过点 F 作 FNBC 交 BC 延长线于 N，证明Rt ABE Rt ENF， 可得结论 AE=EF。证明：如图 3，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点B=DCN= 90. AB=BC=2BE，BAE +BEA=90.AEF=90AEB+FEC =90.，BAE =FEN .CF 是 DCN 的角平分线，FNC=90。FCN =CFN=45.FN=CN.在 Rt ABE 和 RtENF 中tanBAE=tanFEN = = =BEABFNEN12EN=2FN，ECCN=2CN，FN =BE .Rt ABERtENF
7、. AE=EF.思路 3 （利用等边对等角） 如图 4，延长 FC、AB 交于 Q，连结 QECF 是DCN 的角平分线，3=4=45. BQC=45.AB=BC=BQABC=90，AE=EQ，BAE=1AEF=90 ；AEB+ FEC=90 ；在 RtABE 中， BAE+AEB=90. BAE=FEC= 1 ；4=FEC+F ； BQC=2+1 ；2= F ；AE=EF. 思路 4 （四点同圆 ）如图 5，连结 AC、AF，则有 AEF=FCA=90 3CDBA FE图9CDBA FEM2 图61EBCADFQN 2 图71EBCADFQN图 8图10BCADFNGE；故 A、E、C、F
8、四点同圆（以 AF 为直径的圆） ，因为 EAF=2=45（圆的内接四边形的外角等于它的内对角） ，又AEF= 90 ；.则有 AE=EF.思路 5 （构造全等）如图 6，连结 AC，过点 E 作BC 交 AC 于 Q，则有AEF=QEC=90 ；1=2，.ACB =45.，QE=EC ， EQC=FCN=45.AQE=ECF=135.AQEECF；AE =EF. 思路 6 （利用图形变换） ， 如图 6，连结 AC，过点 E 作BC 交 AC 于 Q，则有AEF=QEC=90 ；1=2，.ACB =45.，QE=EC ， EQC=FCN=45.AQE=ECF=135. ，把AQE 看作绕着点
9、 E 旋转 90.得到ECF 重合。AQEECF；AE =EF. 3、探究变式：变式 1：“定点”变“动点” （特殊到一般、动态化）变式问题设计价值取向：展现“动点”问题，培养学生的直觉能力，动中有变，变中有觉，觉中生悟，悟中得法，促使学生积极找寻解决问题的手段和方法，培养学生反思 、批判、优化、创新意识。通过贯穿于动一“点”而牵起“全面” ，让学生领略数学“动”之精彩， “动”之魅力，来激活、改变学生的原有的认知结构，从而培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。问题提出：如图 8，引导学生进一步考虑当点 E 不是 BC 的中点时，AE 和 EF 有怎样的数量关系？分析 动态探究分三种情况：点
10、 E 在 BC 上，如图 9，在 BA 边上截 AM=CE，连接 ME，B=90 ，BM=BE，BME=45，AME=135，CF 平分外角，DCF=45，ECF=135，AME= ECF，AEF+FEC=ABE+BAE，易得MAE= CEF，AMEECF（ASA） ，AE=EP； 点 E 是 边 BC 延 长 线 上 的 一 点 ， 如图 10，证明：在 的延长线上取一点 使 ，连ANAC接 N 45PE4图9CDBA FEM图1BCADFEFMM PNCFDEBA图 12四边形 是正方形，ABCDENF（ASA） A 点 E 是 边 CB 延 长 线 上 的 一 点 ， 如图 11，在 A
11、B 的延长线上取一点 M使 BM=BE，则有 AM=EC，连接 ME BM=BE， 45FEMAE+AEB=FEC+ AEB ， AFC（ASA） AE 变式 2、条件与结论交换（互逆式、开放式）新课标指出：“要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生得到充分的发展。 ”互逆式，实质是把题目中条件和结论进行适当互换或用等价条件、结论置换而开展的基本性教学方式，给学生提供从事数学活动和探究数学问题的时间和空间，给学生“做数学”的机会，从而促进学生对数学知识和数学方法的掌握、巩固和提高。如图 9，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 边上的一点，现有以下三个条件：AEF=9
12、0， 正方形外角的平分线 CF， AE=EF请把其中的的两个作为已知条件，另一个作为结论，是否都成立？解：（1） （已知 ， 证 明 成 立 ）如图 9，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 边上的一点，AEF=90，AE=EF，求证：CF 是正方形外角的平分线。分析 在 BA 边上截 AM=CE，连接 ME，AEF+FEC=ABE+BAE，易得MAE= CEF，AE=EPAME ECF （SAS） ，B=90 ，BM=BE，BME=45，ECF= AME=135 ，DCF=45，CF 平分外角（2） （已知 ， 证 明 成 立 ）如图 12，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边
13、 BC 边上的一点，CF 是正方形外角的平分线，AE=EF，求证：AEF=90。分析 在 BA 边上截 AM=CE，连接 ME，B=90 ，BM=BE，过点 F 作 FNBC 交 BC 延长线于 N，FN=CN，设 AM=CE=m, BM=BE=n, FN=CN=a, , ,AE=EF,22AEB2F5图13CAB PFEE图15ABCDGFEM13 图14246CAB PFEM5图16ABCDGFEM ,解得：n=a,所以 BE=FN，AB=ENRt ABERtENF.22(mn)(a)MAE= CEF，AEF+FEC=ABE+BAE，AEF=90变式 3、多题一解：（规律探究、类比思想）多
14、题一解（证）实质上是将同一类型题目进行分析、归类，从而揭示条件和结论的之间存在的必然联系和规律。在教学中教师应积极地引导学生从已知条件出发，结合求解（证）的结论，用相关知识思考、分析问题。这样，通过现象看透本质，既可暴露 解题的思维过程，熟练掌握知识的内在联系，提高解题的效率。（1）若将 “正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 13） ，F 是ACP 的平分线上一点，则当AEF=60时结论 AE=EF 是否还成立？请说明理由。证 明 ： 如图 14，在 AB 上 截 取 MA=EC， 连 接 EM， 得 AEM 1=180- AEB- AEF， 2=180- AEB- B， AEF
15、= B=60， 1= 2 又 CF 平 分 ACP， 4= ACP=6012 BCF= 3+ 4=120又 BA=BC， MA=EC， BA-MA=BC-EC， 即 BE=BM BEM 为 等 边 三 角 形 6=60 5=180- 6=120 由 得 ECF= 5在 AEM 和 MCN 中 ，12 AE=MC ， ECF5 AEM ECF （ ASA） AM=MN（ 2） 如 果 将 原 题 中 的 条 件 “正 方 形 ”改 为 “正 五 边 形 ”， 请 你 模仿 原 题 写 出 一 个 真 命 题 ， 并 在 右 图 中 画 出 相 应 的 图 形 已 知 ： 如图 15，点 E 是正
16、五边形 ABCDE 边 BC 边上的一点，F 是外角平分线上一点，则当AEF=108时，求证：AE=EF思 路 分 析 在 AB 上 取 MA=EC， 连 接 EM， 得 AEM 通 过证 明 AEM ECF （ ASA） 推 出 AM=MN（ 3） 若将变式 1 中的“正方形 ABCD”改为“正 边形 ABCD”，n请你作出猜想：当AEF= 时，结论 AE=EF 仍然成立。 （不需要证明）简 答 ： AEF=0218(n)6图 17法 国 数 学 家 笛 卡 儿 说 过 ： “我 所 解 决 的 每 一 个 问 题 都 将 成 为 一 个 模 式 ， 以 用 于 解决 其 他 相 关 的 问
17、 题 。 ”因 此 ， 对 于 课 本 的 例 、 习 题 有 必 要 进 行 反 思 和 更 深 层 次 探究 ， 将 题 目 之 间 的 共 性 、 本 质 的 东 西 进 行 抽 象 、 概 括 、 推 广 ， 能 更 好 帮 助 学 生感 受 知 识 的 生 成 与 发 展 ， 提 高 学 生 探 究 创 新 能 力 。4、拓展变式数学的知识结构，总是由简单到复杂、由易到难、由具体到抽象，循序渐进，呈螺旋上升的。如果我们能对题目作进一步的挖掘、探究，并适当改变题设条件或结论，作必要演变和拓展，可设计出别出心裁、有丰富内涵的“问题链” ，能激起学生认知冲突，体现创新意识，能达到“讲一题，
18、带一串，做一题，会一片，懂一法，长一智”的效果。变式 1、 （延伸结论）（ 2010日 照 改编） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 a 的 正 方 形 ， 点 G， E 分 别 是 边AB， BC 的 中 点 ， AEF=90， 且 EF 交 正 方 形 外 角 的 平 分 线 CF 于 点 F（ 1） 求 AEF 的 面 积 ； （ 2） 求 EC： CF 的 值 ； （3）图中共有哪些对相似三角形？请一一写出，并把其中一对给予证明。评析 变式 1 在原题的基础上探究新问题新结论，它将探索和证明结合于一体，通过设计问题串，引导学生步步深入、层层递进，使题目具有较好的层次性，
19、使不同思维层次的学生都能够得到充分的展示。第（1）问答案是 S AEF= a2，第（2）问是 1： ，第 三 问852是开放题，如B GE AE F。变式 2、 （研究存在性问题）（ 2013呼 和 浩 特 ） 如 图 ， 在 边 长 为 3 的 正 方 形 ABCD 中 ， 点E 是 BC 边 上 的 点 ， BE=1， AEP=90， 且 EP 交 正 方 形 外 角 的平 分 线 CP 于 点 P， 交 边 CD 于 点 F，（ 1） 的 值 为 ；（ 2） 求 证 ： AE=EP；（ 3） 在 AB 边 上 是 否 存 在 点 M， 使 得 四 边 形 DMEP 是 平 行 四 边 形
20、 ？若 存 在 ， 请 给 予 证 明 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 分析与简解：（1）由正方形的性质可得：B=C=90，由同角的余角相等，可证得：BAE=CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；sinBAE= =sinFEC= ， = ，（2）在 BA 边上截取 BK=NE，连接 KE，根据角角之间的关系得到AKE=ECP，由AB=CB，BK=BE，得 AK=EC，结合KAE=CEP，证明AKEECP，于是结论得出；（3）作 DMAE 于 AB 交于点 M，连接 ME、DP，易得出 DMEP，由已知条件证明ADMBAE，进而证明 MD=EP，四边形 DMEP 是平行四边形即可证出
21、变式 3、 （代数几何综合）7（ 2011赤 峰 ） 如 图 （ 图 1， 图 2） ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， 点 E 在线 段 BC 上 ， AEF=90， 且 EF 交 正 方 形 外 角 平 分 线 CP 于 点 F， 交 BC 的 延 长 线于 点 N， FN BC（ 1） 若 点 E 是 BC 的 中 点 （ 如 图1） ， AE 与 EF 相 等 吗 ？（ 2） 点 E 在 BC 间 运 动 时 （ 如 图2） ， 设 BE=x， ECF 的 面 积 为y 求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ； 当 x 取 何 值 时 ， y 有 最 大
22、 值 ， 并 求 出 这 个 最 大 值 （ 2013孝 感 ） 如 图 1， 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1， 点 E 在 边 BC 上 ， 若 AEF=90， 且 EF 交 正 方 形 外 角 的 平 分 线 CF 于 点 F（ 1） 图 1 中 若 点 E 是 边 BC 的 中 点 ， 我 们 可 以 构 造 两 个 三 角 形 全 等 来 证 明AE=EF， 请 叙 述 你 的 一 个 构 造 方 案 ， 并 指 出 是 哪 两 个 三 角 形 全 等 （ 不 要 求 证 明 ） ；（ 2） 如 图 2， 若 点 E 在 线 段 BC 上 滑 动 （ 不 与 点 B，
23、 C 重 合 ） AE=EF 是 否 总 成 立 ？ 请 给 出 证 明 ； 在 如 图 2 的 直 角 坐 标 系 中 ， 当 点 E 滑 动 到 某 处 时 ， 点 F 恰 好 落 在 抛 物 线 y=-x2+x+1 上 ， 求 此 时 点 F 的 坐 标 评析 著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休”，数形结合思想能使问题渐进明晰，易找到问题的“突破口” 、 “切入点” ，老师要给予学生拓展、探究、创新的空间，引导学生多角度、多方位、多层次地思考问题，以求得多种结论、独特感知体验，在优化思路、深化思维、提升能力的同时，升华对数学的认识。变式
24、4、 （改变问题背景）如 图 1， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， G 在 BC 的 延 长 线 上 ， 点 E 是 边 BC 上 的 任 意 一 点（ 不 与 B、 C 重 合 ） ， AEF=90， 且 AE=EF， 连 接 CF（ 1） 求 证 ： FCG=45；（ 2） 如 图 2， 当 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 且 AB=2AD 时 ， 点 E 是 边 BC 上 的 任 意 一 点（ 不 与 B、 C 重 合 ） ， AEF=90， 且 AE=2EF， 连 接 CF， 求 tan FCG 的 值 评析 本题在拓展的基础上设置新背景，探究新图形下的新结论，将证明与
25、计算相结合，8利用相似模型演译，重点考查学生的综合推理能力，启发学生思维的独创性、广阔性和深刻性，透过现象看本质,有利于培养学生的思维迁移能力,增强化生为熟、化繁为简的转化意识。5.反思与收获：5.1 教师在处理教材时，要从全局的观点看问题，注重知识的整体性和系统性，注重例习题的全方位反思，把学习内容视作一个整体，从整体性和全局性的角度进行课堂教学，精选课本例习题并作必要的演变和拓展，活化习题，以“题链”形式作铺垫，分层次、小步伐、由易到难、由具体到抽象，循序渐进，实现教学效益的最大化。5.2 教师在处理教材时，要将例习题教学“思想化” ，不能只停留在讲授表层知识，要注重渗透数学思想和方法，使
26、解答数学问题变成一个知识探索发现的过程，通过学习，感悟知识、加深理解的同时，拓宽视野，丰富思维，使得学生在质疑、推理、探究过程中提高分析问题、解决问题的能力。 5.3 教学过程中要注重几何图形的内涵与拓展，改变问题的呈现方式，关注学生的疑错点、困惑点，更要关注问题的“生长点” 、 “发展点” 、 “延伸点” ，充分体现探究性和思考性、针对性，要体现常规的解题思路和分析方法，寻求“通性通法” ，从而梳理知识网络、完善知识结构，发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维等多角度、全方位考虑问题的能力。5.4 题目应有思维的创新性和延续性，要重视课本例习题的引领作用，要引导学生从不同角度思考问题，注重思
27、维的广阔性，积极探索一题多解、一题多变、一题多用，不但挖掘知识内容，而且优化习题效能，既加深巩固基础知识，开拓解题思路，又提高了发现问题、分析问题、解决问题的能力，同时达到了举一反三，触类旁通的目的。5.5 让学生成为课堂的主人，提倡“广开言路” ，培养学生多说、多动手，多动脑，多交流，让课堂成为师生互动、生生互动的大舞台，让学生揭示思考方法、思维过程，使学生能更好理解问题的实质性，使探究活动更有时效性。同时教师要在每个教学环节中细心观察、引导学生进入思考探究活动中，避免无用功和低效的现象发生，在学生进入困惑时要舍得花时间讲解讲透，不要为了赶时间而失去了宝贵的训练机会。5.6 众所周知，中考试
28、卷中不少试题选用于课本的原题或改造题，其既源于课本又活于课本。这就要求我们在课堂教学上，紧扣教材中的重点例题习题，进行适当引申、拓展，结合学生熟悉的生活背景、赋予新意。课本中重要的例题和习题、数学活动的材料等都反映数学理论的本质属性，通过类比、延伸、拓广、提出新的问题加以解决，能有效地巩固基础知识、发展数学能力。因此，注重课本中的例题、习题的练习题与变式题，不仅能训练学生的理解和表达能力，还能训练学生解决问题和触类旁能的能力。6.结束语就题讲题，教学枯燥，创新处理，师生活跃。孙维刚先生主张“一题多解，达到熟悉；多解同一，寻求共性；多题归一，形成规律。 ”通过一道题的多种解法，活跃学生思维，又从
29、多种解法中归纳出共同的本质，使学生形成良好的认知结构，同时以问题解决为核心，渗透相应的数学思想和方法，引导学生关注原题尤其是课本的例习题，进行分析、引申、类比、综合，培养学生触类旁通的能力和创新思维。课本上例题、习题不仅起到知识的示范和巩固作用，还有着大量的潜藏的价值等待我们去开发，挖掘这些潜在功能的过程，正是学生获得认知和能力的过程，因而教师研究课本，用好用活用足课本，注意挖掘课本例、习题的全方位功能和价值所在，对于课堂教学效益的提高，开拓解题思路，培养学生解题能力都有着深远的意义。【参考文献】91 詹泳佐 初中数学变式练习的设计研究 数学教学通讯 2011.42 张小民 一题多变 精彩立现 数理化学习 2013.13 王红霞 创造性使用初中数学新教材的策略探究 数理化学习 2013.94 全日制义务教育数学课程标准北京师范大学出版社，2001.7
