1、1第四章 案例一、债券定价公式：由一般原理公式到实际应用公式（一）原理有了债券预期的现金流，并选择好了恰当的必要收益率，就有了给债券定价的必要数据，于是，债券的价格就等于债券未来所有现金流量的现值之和，可以用如下公式表示： 1P=()nttCr其中， 为债券价格， 为每期的现金流， 为折现的必要收益率， 为债券的期数。t rn如果债券期数单位为年，则折现的必要收益率就是年折现率。在上面的公式中，折现的必要收益率对不同期限的现金流都是一样的，如果考虑折现率或者利率具有期限结构（即随着折现时间不一样，利率也不一样）时，上述公式也可以做适当修正，改为下面的公式，即其中的 为每期现金流折现的必要收益率
2、：tr1P=()nttCr上面所举的定价公式，实际上都假定了交割日发生在付息日，所以每笔现金流到来的时间都正好是一个计息周期或计息周期的整数倍数。然而更多的情况下，投资者会在两个付息日之间购买债券，因此要了解交割日处于付息日之间的债券的定价方法。债券的全价由两部分组成，一部分是净价，另一部分是债券应计利息。全价=净价+应计利息，应计利息=面额 票面利率 距离上次付息天数/360，若一年以 360 天计。（二）事件描述在 2015 年 2 月 21 日买入深圳证券交易所的 09 泛海债，假设此时收益率为 7%，该债券于 2017 年 11 月 13 日到期，目前剩余期限为 2.73 年，票面利率
3、为 7.2%，每年付息一次，距上次付息天数为 100 天，则我们可以依照公式，计算出该债券的全价和净价。（三）分析与思考 0.731.732.732201.91%-.9-*.6全 价净 价 全 价 应 计 利 息二、债券定价定理（一）原理2定理一：债券的市场价格与到期收益率呈反比关系。即到期收益率上升时，债券价格会下降；反之，到期收益率下降时，债券价格会上升。定理二：当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。即到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波
4、动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。即对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。即息票率越高，债券价格的波动幅度越小。（二）事件描述判断利率变化对三种到期时间不同的债券现值的影响。假设有三种 3 年期债券：每种债券的当前价格均为 1000 美元，票面利率均为 12%，但债券的到期时间不同分别
5、为 2 年、5 年、10 年。计算市场利率为 9%，12%，15%时，三种债券价格变化情况。（三）分析与思考债券到期时间市场利率 2 年 5 年 10 年债券价格（美元）9% 1053.08 1116.8 1192.1612% 1000 1000 100015% 951.12 899.24 849.28当市场利率由 12%下降为 9%，2 年期债券价格上升 5.31%，5 年期债券价格上升11.68%，10 年期债券价格上升 19.22%。当市场利率有 12%上升为 15%，2 年期债券价格下降 4.89%，5 年期债券价格下降10.08%，10 年期债券价格下降 15.07%。进一步思考：此
6、案例显示了定理二，亦请举例显示其他定理。三、利率调整引起的债券价格变动（一）原理根据债券定价定理，如果市场的折现率下降，债券的价格就会上涨；如果市场的折现率上升，债券的价格就会下跌。即债券的市场价格与折现率呈反比关系。另外，债券价格的波动幅度与债券剩余期限成正比关系。即剩余期限越长，价格波动幅度越大；反之，剩余期限越短，价格波动幅度越小。（二）事件描述2010 年 10 月 20 日，中国人民银行上调了金融机构人民币存贷款基准利率，存款利率平均上调 13.78%，贷款利率平均上调 4.04%。我国银行间债券市场受中国人民银行调整利率的影响，收益率水平变化较大。一方面，固定利率品种曲线全线大幅上
7、行；另一方面，浮动利率债券收益率全面下行。下表是银行间债券市场固定利率国债收益率曲线若干关键期限点在调整前后的比较。银行间债券市场固定利率国债收益率曲线若干关键期限点比较期限（年） 2010 年 10 月 15 日 2010 年 10 月 22 日 变动（bp）30.5 1.8929 1.9157 2.281 1.9337 2.0504 11.672 2.1616 2.3806 21.903 2.3444 2.6277 28.335 2.7686 3.0728 30.4210 3.4247 3.6358 21.1120 3.9108 4.0045 9.3730 3.9977 4.0934 9.
8、5750 4.0812 4.1817 10.05（三）分析与思考请根据上述资料，利用债券定价和债券投资的原理并结合我国实际，分析债券收益率的变动情况。第一，2010 年 10 月 20 日我国央行提高利率。根据债券定价定理，固定利率债券价格下降，收益率曲线上移。但在预期通货膨胀及央行将进一步提升利率的情况下，投资者在债券投资中更偏好浮动利率债券，结果使浮动利率债券价格上升，收益率下行。第二，10 月 15 日和 10 月 22 日分别处于央行提高利率的前后，利率提高带动各关键期限点债券收益率全面上扬（即流通市场债券交易价格下跌）。不过，从 0.5 年到 5 年的数值看，基本上符合债券定价定理所
9、描述的债券久期越长收益率变动越大的情形；但对于10 年以上的长期债券，与债券定价定理所描述的不相符合。估计的原因是因为我国长期债券存量少，交易不多，投资者单一，且长期债券主要用于资产配置所需。四、债券价格的影响因素（一）原理影响债券价格的因素分为基本因素和一般因素两类。影响债券价格的基本因素有：1、债券剩余时间以及债券付息方式债券剩余时间影响到债券最后本金现金流到来的时间长短。如果两个债券未来有名义上相等的现金流，若采用相同的折现率，但剩余时间不同，则价格就会有差异。同时，债券未来的现金流量除了本金还有利息，因此不同的付息方式会影响利息现金流的到来时间。比如一次还本付息债券的利息都是到债券偿还
10、时才向债券持有人支付，而附息债券在债券存续期内不断向债券持有人支付，所以即使其他条件相同，这两种债券的价格也会有差异。2、债券票面利率决定债券价格时，涉及债券未来现金流量的大小，而债券未来现金流量由债券面值和利息组成。而债券利息则是债券面值与票面利率的乘积，因此债券票面利率是决定债券价格的重要因素。3、债券定价的折现率折现率的高低会影响到债券价格，因为债券定价就是对债券未来现金流量的折现。影响债券价格的一般因素则包括外部因素和内部因素，前者是指经济环境方面的因素，后者指与债券本身特性相关的因素。其中外部因素有：市场利率、债券供求关系、社会经济发展状况、财政货币政策、汇率和国际间利差的变化等。内
11、部因素有：税收待遇、流动性、信用等级、提前赎回条款。（二）事件描述判断利率变化对三种支付方式的债券现值的影响。假设有三种 3 年期债券：每种债券的当前价格均为 1000 美元，到期收益率均为410%，但现金流动方式不同。债券 A：期末一次还本付息。债券 B：3 年内平均还款，类似于一种抵押债券。债券 C：每年支付票息 100 美元，到期还本。当市场利率由 10%上升为 11%，三种债券价格变化情况。（三）分析与思考债券 A 债券 B 债券 C当前价格（美元） 1000 1000 1000现金流第一年 0 400 100第二年 0 400 100第三年 1331 400 1100到期收益率（ %
12、） 10 10 10市场利率为 11%时的债券现金流现值第一年 0 360 90第二年 0 325 81第三年 972 292 803总计 972 977 974价格变化比例（%） -2.8 -2.3 -2.6显然，利率变动对三种支付方式不同的债券的影响是不一样的。五、歌华转债的定价（一）原理可转换债券的价值包含债券价值和期权价值两部分，债券价值取决于可转换债券的纯债券价值和转换价值较大者，而期权价值是转换成股票的选择权价值。1、 纯债券价值 如果不考虑可转换性的影响，我们可以把可转换债券视为一般的债券，可以采用普通债券价值方法现金量贴现法，计算可转换债券纯债券价值部分，即不管可转换债券市场价
13、格如何变化，发行者都定期支付利息和到期偿还本金。 1IPV=+()ntnt Mr其中：PV 为债券价格；I 为各期利息；M 为债券面值；r 为无风险利率；n 为债券期限。 2、 转换价值 转换价值是指可转换债券按市价兑换成股票的价值，即由可转换债券兑换股票的数量和标的股票现价的乘积。转换价值的计算公式为： 转换价值=普通股票市场价格转股比例 转股比例=单位可转换债券面值转股价格 当转股比例或转股价格未作调整时，转换价值的变化与标的股票市场价格走势密切相关，即转换价值的变化趋势实际上就是标的股票价格的变化趋势。由此可见，转换价值波动主要取决于股票价格变化。当可转换债券价格低于转换价值时，投资者购
14、入可转换债券并用来兑换该公司股票，然后将该股票售出，这样投资者可以从中获利，这种套利的结果是可转换债券的市场价格总趋向于大于转换价值。53、 期权价值 可转换债券的价值通常会超过纯粹的债券价值和转换价值。投资者之所以愿意支付这部分额外的费用，是因为他们预期随着时间的推移和市场价格的变动，自己能在纯债券价值和转换价值之间进行比较，选择有利于自己的策略，即可转换债券具有期权价值。对于期权价值的确定，一般有两个途径：一是根据市场预测法来计算转股权价值，二是通过期权定价法来计算转股权价值。市场预测法通过对基准股票价值的预测来确定可转换债券期权价值，而通过期权定价方法有 BS 模型等。综上所述，我们可以
15、得出可转换债券价值： 可转换债券价值=MAX(纯债券价值，转换价值)+期权价值。（二）事件描述歌华有线股份有限公司 2010 年 11 月份发行了可转换债券。歌华转债于 2010 年 12 月10 日在上交所上市交易，规模 16 亿元。歌华转债初始转股价格为 15.09 元/股，转股期于2011 年 5 月 26 日开始至 2016 年 11 月 25 日，对正股的稀释率为 9.09%。转债期限为 6 年，票面利率分别为 0.6%、0.8%、1.0%、1.3% 、1.6%和 1.9%，到期赎回价 105 元（包含最后一年利息） ，无担保，信用评级 AAA.债券。请估计该债券的发行价格。（三）分
16、析与思考1、歌华转债债券部分价值的计算 歌华转债的面值为 100 元，6 年的票面利率分别为 0.6%、0.8% 、1.0%、1.3%、1.6%和 1.9%，到期按照 105%赎回。贴现率参考 6 年期固定利率企业债的到期收益率，为 5.55%。如不考虑赎回条款，那么转债发行时的债券价值如下： 234560.60.811.1.610PV=(15%)(15)(5.%)(5)(%)(.)PV=80.34 元 故歌华转债上市时债券部分价值大约为 80.34 元。2、转换价值根据条款，该债券在发行日时不能转换为股票，因此无转换价值。3、歌华转债期权部分价值的计算 根据测算，歌华有线股票过去一年的历史波
17、动率在 =45%左右，歌华转债发行时，歌华有线股票的价格为 S=14.29 元，转换价格 K=15.09 元，无风险利率选择国债利率为标准r=3.0%，为年复利，转债的发行期限 T=6 年。将这些数据带入 BS 模型之中，可以得到歌华转债中包含的单位买入期权价值 c： 21ln(4.29/5.0)(3%.45/)60.56d2.38查标准正态分布数值表可以得到： ， ，所以单位买入期10.746Nd20.3d权的价值 c=6.501。 歌华转债的期权总价值：C=100/15.09*6.501=43.08 元6因此歌华可转换债券的理论价值是债券部分价值与期权部分价值之和：P=PV+C=80.34
18、+43.08=123.42 元实际上歌华转债上市当天就达到了 128.5 元的最高价格，收于 126.98 元。我国上市公司为了发行可转债筹集资金，一般都依照债券面值进行发行，然而每种可转债的理论价值是不同的，如歌华转债的理论价格高于面值（100 元）23.42 元，如果是为了吸引更多的投资者，达到顺利完成发行的任务，这无疑是比较有效的手段。然而如果不存在这种意图，那么 100 元的发行价是失败的，因为公司完全可以提高发行的价格以筹集更多的资金。债券理论价值的确定十分重要，它不仅是公司发行债券的理论依据，也是投资者进行投资的依据，只有可转债的供给方与需求方均能够利用合理的理论对债券的价值进行评
19、估，通过双方的竞争，才能形成真正合理的价格，也有利于证券市场的健康发展。六、债券的无套利定价（一）原理所谓债券的无套利定价，原指相同风险、相同期限、相同票面利率的债券的债券价格应该是一样的，是一价定理的延伸。但现实当中很少存在完全相同的债券。因此，这里的无套利定价是指，能够在未来产生相同现金流的债券或债券组合应该有相同的价格。无套利定价原理有以下特点：其一，无套利定价原理首先要求套利活动在无风险的状态下进行。当然，在实际的交易活动中，纯粹零风险的套利活动比较罕见。因此实际的交易者在套利时往往不要求零风险，所以实际的套利活动有相当大一部分是风险套利。其二，无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，
20、即用一组证券来复制另外一组证券。复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。由此得出的推论是，如果有两个金融工具的现金流相同，但其贴现率不一样，它们的市场价格必定不同。这时通过对价格高者做空头、对价格低者做多头，就能够实现套利的目标。套利活动推动市场走向均衡，并使两者的收益率相等。因此，在金融市场上，获取相同资产的资金成本一定相等。产生完全相同现金流的两项资产被认为完全相同，因而它们之间可以互相复制。而可以互相复制的资产在市场上交易时必定有相同的价格，否则就会发生套利活动。其三，无风险的套
21、利活动从即时现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持成本。（二）事件描述假设 3 种零息票的债券面值都为 100 元，它们的当前市场价格分别为：1 年后到期的零息票债券的当前价格为 97 元；2 年后到期的零息票债券的当前价格为 94 元；3 年后到期的零息票债券的当前价格为 90 元。并假设不考虑交易成本和违约。问题：如果息票率为 10，1 年支付 1 次利息的 3 年后到期的债券 A 的当前价格应该为多少？ 如果息票率为 10，1 年支付 1 次利息的 3 年后到期的债券 A 的当前价格为 120 元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？（三）
22、分析与思考第一，看一个息票率为 10，1 年支付 1 次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为 100 元，息票率为 10，所以在第 1 年末、第 2 年末和第 3 年末的利息为1001010 元，在第 3 年末另外还支付本金面值 100 元。我们可以构造相同损益的复制组合为：7（1）购买 0.1 张的 1 年后到期的零息票债券，其损益刚好为 1000.110 元；（2）购买 0.1 张的 2 年后到期的零息票债券，其损益刚好为 1000.110 元；（3）购买 1.1 张的 3 年后到期的零息票债券，其损益刚好为 1001.1110 元。因此，该债券当前价格为：0.197+0.194+1.190=118.1 元。第二，由于当前 A 债券价格为 120 元，高于 118.1 元，当前债券价格被高估，存在套利机会。我们应该卖空 A 债券，买进上述复制组合。基本的套利策略为：（1）卖出 1 张息票率为 10，1 年支付 1 次利息的三年后到期的债券 A；（2）买进 0.1 张的 1 年后到期的零息票债券；（3）买进 0.1 张的 2 年后到期的零息票债券；（4）买进 1.1 张的 3 年后到期的零息票债券。套利收益为 120-118.1=1.9 元。
