1、高等代数中概念、实例、定理的 内涵、 背景与应用 陈尔明华侨大学 数学系高等代数教学内容中 , 有一些内容表面上是孤立的 , 但实际上很多这样的内容都有其生动的背景与应用 . 这反映了数学个学科间的广泛联系 . 了解有关的联系 , 提高我们的综合数学修养 , 会使我们得到对教学内容更精确与深入的理解 , 更好的掌握教学 , 得到更丰富的与学生交流的素材 .下面我们列举若干这类内容 , 以说明这方面的问题 .1. 向量空间的概念我们常把向量空间的概念与中学里平面解析几何的内容做类比 . 但有的学生也问 : 为什么向量空间的理论中不研究坐标平移 . 实际上向量空间的概念是纯代数的 . 回答上面的问
2、题 ,我们需要其几何化的概念 , 这就是仿射空间的概念 . 在微分流形、张量分析的教材中有相应的公理化的定义 .D.1 设 V是 n维向量空间 , A是一个非空集 ,A中的元素称为点 ,如果存在映射 , 使得 A中任意一对有序点 P,Q映为 V中的一个向量 ,且满足 :(1)(2) 存在唯一的一点 ,使得(3) 恒成立则称 A是 n维 仿射空间 . V是其伴随的向量空间 . 在 A中任取一点 P, 及 V中一个基底 ,则 为 A中一个标架 .利用 n维 仿射空间的理论与中学里平面解析几何内容相类比 , 就可以很好的回答上面的问题了 .2. Vandermonde 行列式的应用在一般教材中 ,
3、Vandermonde 行列式常作为一个行列式计算的实例而出现 . 实际上它本身有许多重要的应用 . 我们举一例 . 把 Vandermonde 行列式应用于下面拓扑学定理的证明 ,可以得到非常简洁的陈述 .下述定理中的 n维单纯复形 K是指 : 次数不超过 n的一些不同维数的单形的集合 , 他们要规则放置 .定理 2 任意 n维单纯复形 K可以嵌入 中 .证明 : 因为 K可以与一个抽象复形同胚 , 我们考虑 K为抽象复形 . 设 K的全部顶点为 , 选择 中 m+1个点 , 他们有性质 : 其中有 2n+2个是独立的 . 注意 m可能比 n大很多 . 这件事这样办到 : 取 m个点 , .
4、利用 Vandermonde 行列式可知 : 方程组 :只有 0解 , 所以上面 m+1个点中任意 2n+2个都是独立的 . 也称为这 m+1个点处于一般位置 . 然后把这 m+1个点与 K的 m+1个顶点对应 ,再按 K的单形相对应的单形 . 这些单形是否构成一复形 ,只需证明 : 任意两个单形的交如果不空 , 则其交是他们的公共面 . 由于复形 K是 n维的 , 其单形的最大维数是 n, 所以两个单形的顶点的总和不超过 2n+2, 从而在我们构造中是独立的 .他们张成中一个单形 ,上面所述两单形是此单形的两个面 , 这两个面的交当然是这两个面的公共面 , 如同正4面体的任意 2个 2维面的交若不空 , 是 1维的公共棱 , 或 0维的公共顶点 , 而不会是其它的任意的情形 . 证毕 .这个结论是比较深刻的 . 他体现在复形的维数固定 , 他的顶点个数可以是任意大的有限数，所以其证明有一定难度 .
