1、1项目名称： 数学机械化方法及其在数字化设计制造中的应用首席科学家： 高小山 中国科学院数学与系统科学研究院起止年限： 2011.1 至 2015.8依托部门： 中国科学院2二、预期目标(一)总体目标： 针对数字化设计制造与数控系统核心问题，继续数学机械化理论与方法的研究，在基于混合计算的误 差可控算法、微分差分方程求解的符号算法、高 级几何不变量算法、有限域理论 与算法、构造性代数几何若干前沿问题上取得重大创新性突破，提高计算机符号 计算、几何推理与可信 计 算的能力，保持我 们在这一领域的特色与在若干方面的领先地位。以此为基础，解决数字化设计制造和数控系统的若干关键理论与算法问题，包括复杂
2、曲面造型与分析、几何特征识别、数字化制造中的路径规划与干涉分析、数控系统中的插补、刀补与误差补偿，以此为基础开发性能指标国际先进的数字化设计制造与数控系统核心功能模块，为高速、高精数字化设计制造与数控系统的商业开发提供支撑，为提升我国制造业水平、打破国外封锁做出贡 献。五年预期获得重要奖励 5 项左右，发表 300 篇左右高水准 SCI 论文，申请20 项关键技术专利，出版 10 部左右专著。在人才培养方面，预期培养 200 名左右优秀研究生，为数学机械化与数字化设计制造培养后备人才。参加 项目的青年人获得国家杰出青年基金以及其他为青年人设立的奖项 5-10 项左右。在基地建设方面，进一步加强
3、承担项目的重点实验室与国家工程中心的学术地位，加强在数学机械化研究、数字化 设计制造领 域的引领作用。(二)五年预期目标: 1. 数学机械化理论与算法:在若干既有理论意义又在数字化设计制造和数控系统中有明显应用前景的理论问题上，包括基于混合 计算的误差可控算法、微分差分方程求解的符号数值算法、高级几何不变量算法、有限域理论与算法、构造性代数几何若干前沿 问题，争取取得重大突破，在算法的实时性、精确性、完全性、系统性和自动化程度等方面，满 足今后一个时期内的实际需求。具体包括： 在方程求解的理论与符号算法方面，建立微分差分方程组的 Chow 形式，微分差分混合型方程组的分解的高效算法，微分差分方
4、程的 Galois 理论与符号求解的高效算法；在微分维数猜想、Ritt 问题、Jacobi 界等著名难题研究方面取得重要进展。建立齐性空间的整系数上同调环计算算法，代数 flag 流形中结构常数的机器计算方法，由半稳定曲线簇确定的 Higgs 丛之不稳定性的精确上界以及特征非零代数曲面纤维化理论。3 在误差可控算法方面，针对若干代数基本运算，包括多项式运算、大 规模矩阵运算、方程求解、全局优化，发展基于符号数值混合 计算的误差可控算法。特别地，设计更稳定和快速的混合计算与验证方法。完成包括实代数数、复代数数由数值与近似计算恢复精确解的可信算法，提高精确算法的效率。研究数字化设计制造中出现的半代
5、数系统，发展和设计高效、稳定和可信的求解算法，应用于代数曲面的拓扑确定、曲面求交、曲面间距离的可信计算。 在有限域上多变量代数方程的求解、多变量多项式函数分解、多变量多项式同构构造的有效方法与计算复杂度分析方面取得突破，成功应用于若干重要密码的破解，给出用于有限域的并行算法及软件实现。 在面向高档数控的几何计算与优化计算方面，通过对三维几何推理和多项式系统的研究，提出高级代数和微分不变量理论与算法，设计面向高档数控仿真系统的可信模型和设计优化方法，并应用于解决数控中的有关问题。五年预期获得重要奖励 5 项左右， 发表 150 篇左右高水准 SCI 论文，10 部左右专著， 预期培养 100 名
6、左右研究生。2. 数学机械化与数字化设计制造：围绕提高复杂曲面类零件设计制造精度和效率的“两高” 目标，研究基于数学机械化的复杂曲面设计和计算机辅助制造的核心算法，研制开发复杂曲面零件逆向设计及计算机辅助制造集成核心模块，与其他课题组合作完成典型复杂曲面类零件设计和制造的实验验证和应用示范。包括： 建立 T 网格上多项式样条空间的维数计算与基函数的构造方法，完善有理曲线和曲面的 mu 基理论，并应用于曲面隐式化、曲线和曲面性质分析，给出基于 UV 系统的复杂曲面群组的正交重构及群组整体频谱分析理论及算法；对曲面的交线计算和拓扑分类进行分析，给出基于“ 吴方法”参数曲面拼接方法；建立起圆纹样条曲
7、面的构造技术，提出高精度的计算方法；给出三维区域的稳定高质量网格化算法。 建立更为精确的定位优化模型，提高定位的精度和计算效率；设计模型驱动的复杂曲面加工质量综合评估；提出工艺优化模型和协调的数值求解策略；进行几何仿真与物理仿真的集成技术；建立基于 T 网格上样条的等几何分析的框架。 建立海量数据非线性降维与自动特征提取的新方法；给出结合流形学习与多概念学习的识别与检索方法；提出融合多模态特征的混合排序模型的构建方法，并应用于复杂曲面特征识别与产品图像识别与检索。五年预期发表 80 篇左右高水准 SCI 论文， 10 项关键技术专利，预期培养 50名左右研究生。3. 数学机械化与数控系统：4在
8、 5 轴联动数控机床的运动插补、空间刀补与误差补偿方面取得突破，实现具有自主知识产权、性能指 标国际先进的高速高精数控系统核心模块，并与高档数控机床进行配套验证。 建立基于数学机械化方法的数控系统核心算法，包括：各种加工路径与各种加速模式下的最优插补算法，新的工件程序前瞻处理方法，支持空间刀补的工件程序描述方法与工艺解释方法，五轴数控系统非线性加工误差模型与补偿方法和基于加速度约束的误差控制方法。 以本项目的工作为基础，开 发支持高速、高精、高效加工，性能指 标国际先进的高档数控系统核心模块，包括最优插补、空间刀补与误差补偿功能。并与高档数控机床进行配套验证，加工航空航天等领域所需的 1-2类
9、复杂工件。 建立针对光刻机动态流场模型，实现微扰动流场下亚纳米精度测量补偿。建立光刻机工件台多自由度运动之间的测量耦合模型与空间精度修正算法。完成纳米运动系统的多场耦合动力学建模、复杂流场建模，解决纳米精度的同步运动控制问题，完成基于 65 纳米光刻机工件台样机系统的实验验证。五年预期发表 80 篇左右高水准 SCI 论文， 10 项关键技术专利，预期培养 50名左右研究生。5三、研究方案1、学术思路： 本项目的特色是跨学科、交叉性强、 应用性广。本项目是在数字化设计制造、数控系统等方面的研究中抽象出具有共性的数学与算法问题，建立数学模型，利用数学机械化思想和方法给予解决。具体地讲，复 杂曲面
10、特征识别、 设计与加工方法、数控系统中的插补等可以归结为大规模方程组求解；数控系统的空间刀补需要用到曲面重构；数控系统的最优插补与动力学研究需要微分方程理论与构造性算法；曲面求交需要用到混合计算与半代数系统求解算法等。2、技术途径： 本项目目标清晰、分工明确。数字化设计制造与数控系统课题组提出的理论与算法问题将及时与数学机械化理论与算法课题组交流，双方共同攻关解决问题，在实 践中检验实际效果；多次往返，直到问题圆满 解决。具体讲，数字化设计制造与数控系统的很多核心问题可以归结为数学与算法问题。我 们将通过研究方程求解的误差可控算法提高数字化设计的精度与可信度、误 差补偿的能力以及数字化制造算法
11、的效率，通过研究几何算法与微分方程构造性方法得到若干情形下的最优插补方法，通过研究曲面拟合新方法提出新的空间刀补方法与插补方法。承担本项目的中科院数学院、中科院成都计算机所、中国科技大学、北京大学团队在理论与算法研究方面具有优势，中科院沈阳自动化所、中科院沈阳计算所、清华大学团队在数字化设计与制造方面具有技术与设备优势。双方的紧密配合可以保障项目的顺利实施。3、创新点与特色： 数学机械化是具有我国特色并获得国际学术界的高度评价的研究方向，是为数不多的中国自己的学派。我们的研究团队在几何自动推理、方程求解的特征列方法、计算微分代数方面在国际上有明显优势。本 项目将在此基础上开拓新的研究方向，包括
12、：代数基本运算的误差可控算法、高 级几何不变量方法、微分差分方程、有限域与半代数系统的机械化方法，争取通过我们的研究，努力保持我 们的特色与优势。本研究团队在信息领域的应用方面也有自己的特色。我们关于数字压缩的算法作为重要内容进入 JPEG2000 国际标准，关于数字隐藏的工作被重要国防部门采用，关于并联数控机床的工作入选“国家十一五重大成就展 ”。本项目面向国家重大需求，在数字化设计制造与数控系统方面将进一步扩大数学机械化在信息领域的应用。64、可行性分析： 本项目所研究的代数基本运算的误差可控算法、高级几何不变量方法、新的方程类型的机械化方法是本领域的前沿课题。项目承担人员在这些问题的研究
13、中已经做出重要贡献，有一套独特的方法。特别是在几何计算推理与方程求解的特征列方法方面，我们始终在国际上具有领先地位，在混合计算方面也有雄厚的基础。通过本项目的执行，有望进一步取得突破。 数学机械化方法是国际上几何建模的主要方法之一。吴特征列方法被用于曲面计算、机器人、数控系统，几何约束求解方法被用于智能 CAD 与机器人，共形几何代数被应用于模式识别与计算机图形学。近年来，我们在数控系统的空间刀补与样条插补方面取得重要进展，显示了数学机械化方法在数控系统关键技术方面的潜力。本项目将以此 为基础， 进一步研究数控系统中的关键问题，有望为开发高速、高精的数控系 统做出贡献。在数控系统理论与研制方面
14、，项目参加单位中科院沈阳计算所、清华大学制造工程研究所具有雄厚的实力与多年的技术积累并承担了国家相关领域的重大专项。通 过与数学机械化方法的交叉融合，有望在数控系统的基础理论与算法方面取得突破，为重大专项的 实施提供支撑。本项目承担单位有很好的合作基础，所有参与单位都与项目主持单位共同承担过较大规模的科研项目。此外，通过上期 973 项 目的支持， 产生了一支充满活力的科研队伍，为项目的 执行打下了基础。7四、年度计划研究内容 预期目标第一年在数学机械化方面，研究微分差分方程组的高效整序算法以及方程组阶数的计算与估计，研究 微分方程组的 Chow 形式及其应用；研究有限域方程求解与函数分解及复
15、杂度分析；研究齐性空间的整系数上同调环的计算。在误差可控算法方面，研究大规模矩阵特征问题、奇异值分解问题的有效可靠数值求解；研究大规模线性方程组的有效稀疏近似逆预处理技术；研究基于结构矩阵的多项式基本计算混合算法；设计基于结构矩阵的最小二乘法、快速正交分解、奇异值分解问题的混合算法；研究高效代数数准确表示及其在运算和方程求解过程的误差控制问题。研究三维欧氏几何和射影几何的高级不变量。在数字化设计与数控系统方面，研究 T 网格上新型样条基函数，基于 T 网格的 IGA 算例；研究海量数据的非线性降维方法、平面特征提取算法；研究圆纹样条曲面构造方法；研究参数曲面拼接方法与基于特征与约束的曲面建模。
16、研究最 优插补与空间刀补方法，建立高档数控系统的开发环境与实验环境；研究面向一般动力学仿真的可信模型化简方法；进行纳米运动系统的多场耦合动力学建模。在数学机械化理论与算法方面，开展若干基础性研究并取得重要进展。包括：给出微分差分方程整序高效方法与阶的估计方法，建立微分Chow 形式，给出有限域上的特征列方法、多元多项式分解方法，给出齐性空间整系数上同调环计算方法；在非准确方法收敛性问题上取得实质性突破，给出近似多项式基本运算的快速混合算法，实现通过给定代数数的近似值进行准确运算的方法。在数字化设计制造与数控系统方面，开展基本理论与算法研究并取得重要进展，为核心模块 的开发做好准备。包括：给出
17、T 网格上新型样条基函数，基于 T 网格的 IGA 方法；给出海量数据非线性降维方法；给出圆纹样条曲面构造方法与参数曲面拼接方法，实现基于特征与约束的曲面建模。解决加加速度控制下微小直线段的最优插补问题，建立多轴数控机床系统的动力学模型。发表 50 篇左右高水平论文，申请1 项关键技术专利，培养研究生 30名。8研究内容 预期目标第二年在数学机械化方面，研究差分Chow 形式、微分结式，微分差分方程组分解，微分差分方程符号求解的高效算法;研究代表性多变量公钥密码的等价密钥问题；将上同调环结果应用于示性类理论，研究代数 flag流形结构常数计算方法。在 误差可控算法方面，继续研究基于大规模结构稀
18、疏矩阵的误差可控算法，研究代数、微分和差分方程求解的误差可控算法，研究重零点和重特征值的误差可控算法，研究多 项式全局最优解的可信计算，研制代数曲线曲面的可信逼近算法与软件。继续三维欧氏几何和射影几何的高级不变量研究。在数字化设计与数控系统方面，研究基于 IGA 分析的实体参数化方法，研究应用 T 网格样条 实现自适应参数曲面造型方法；研究复杂曲面加工定位优化与自动刀具序列生成。研究复杂曲面加工轨迹规划与干涉；完善已有的 U研究综合各轴运动的交叉耦合协调同步控制算法。在数学机械化理论和算法方面取得阶段性结果。包括：微分差分Chow 形式与微分结式，微分差分方程整序快速算法与阶的估计；有限域方程
19、求解与分解及其在密码上的应用，代表性多变量公钥密码 的等价密钥问题；结构稀疏矩阵的误差可控算法与代数曲线曲面的可信逼近方法，重零点和重特征值的误 差可控算法;计算齐性空间的整系数上同调环理论,代数 flag 流形结构常数计算方法。在数字化设计与数控系统方面取得阶段性成果。包括：基于 IGA 分析的实体参数化方法与自适应参数曲面造型方法，复杂曲面加工定位优化、自动 刀具序列生成、轨迹规划与干涉检验， U 研究有限域多项式同构和可证明安全性，多变量密码等价系 统；多项式同构和可证明安全性；研究代数flag 流形结构常数计算，Higgs 丛之不稳定性精确上界;研究大规模矩阵的计算的误差可控方法，研究
20、多项式全局优化的相关问题。在数字化设计与数控系统方面，研究流形学习、曲面特征提取和相关检索模型；研究 IGA 算法协调性和稳定性，研究基理论在曲面隐式化、曲线 和曲面方面的应用；研究三维区域的六面体网格剖分方法；研究数控加工自动工艺规划技术；实现最优插补模块和空间刀补模块与数控系统的集成，开发高档数控系 统的样机; 研究亚纳米的精度补偿对于课题的核心理论与算法问题开展攻关并在若干方向取得突破。包括：偏差分方程的整序原理，微分差分方程 Galois 理论，非平凡保持映射的计算，代数 flag 流形结构常数的计算， Higgs 丛之不稳定性的精确上界。设计新的误差可控算法，解决传统方法不能解决的优
21、化问题。建立三维欧氏几何和射影几何的高级不变量理论与算法。流形学习、曲面特征提取；IGA算法框架的协调性和稳定性分析；三维区域网格剖分方法。数控加工自动工艺规划技术。研究支持最优插补与空间刀补功能的高档数控系统样机。发表 60 篇左右高水平论文，申请 5 项专利。第四年在数学机械化方面，研究 Ritt 问题，微分差分方程混合算法与软件；研究多项式同构和多变量密码体制分类，方程求解算法的复杂 度估计；研究特征非零代数曲面纤维化，代数流形切丛的半稳定性。在 误差可控算法方面，研制程序模块 ，进行性能测试， 结合应用问题考察其实际应用效果。在数字化设计与数控系统方面，研究几何造型中非典型曲线和曲面表
22、示形式所对应的 IGA 框架；实现U&V 系统的正交重构计算平台处理复杂曲面能力；研究曲面交线的计算与拓扑分类方法。针对叶轮 、叶片与飞机机身等复杂工件，开展最 优插在课题的核心理论与算法问题取得突破与进展，解决应用 问题中提出的问题。包括：微分差分方程的混合算法，Ritt问题，多 项式同构与多变量密 码体制的分类，代数流形切丛的半 稳定性。误差可控软件系统。非典型曲面 IGA 框架；实现U&V 系统平台，在普通微机上达到100 万个三角片；曲面交线拓扑分类。完成支持最优插补与空间刀补功能的高档数控系统。完成同步运动控制的模型建立，为最终实验 奠定基础。发表 60 篇左右高水平论文，申请 5
23、项专利。10研究内容 预期目标补与空间刀补的工程化实验，实现高档数控系统的定型。研究光刻机的纳米精度系统设计优化、纳米精度的同步运动控制。第五年总结前几年工作。根据情况确定几个遗留的关键问题，组织 人力进行攻关。在理论方面取得重大突破，形成新的研究方向。在应用方面争取有基于本项目研究成果的新技术问世，核心模块在若干重要问题上取得成功应用。研究光刻机的纳米精度制造系统的安装优化问题。进 行纳米精度的同步运动控制的测量系统设计和实验。完成本项目总体目标: 在数学机械化理论与算法方面做出原创性重大成果；以此为基础解决数字化设计制造、数控系统中的若干核心问题，发展新技术，开发数字计划设计制造与数控系统两个核心模块，并进行验证与应用示范。发表 60 篇左右高水平论文，申请5 项专利。
