1、|全等三角形知识点梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。（4）全等三角形对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的周长和面积相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）（4）两边和
2、它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找： 夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，
3、可找: 夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)|（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找: 任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS) SAHLASAS找 夹 角已 知 两 边 找 第 三 边找 直 角边 为 角 的 对 边 找 任 一 角找 夹 角 的 另 一 边已 知 一 边 一 角 边 为 角 的 邻 边 找 夹 边 的 另 一 角找 边 的 对 角找 夹 边已 知 两 角 找 任 一 对 边注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相
4、等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证 明的问题）。常见考法：（1）利用全等三角形的性质：证明线段（或角）相等；证明两条线段的和差等于另一条线段；证明面积相等；（2）利用判定公理来证明两个三角形全等；（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。老师误区提醒：（1）忽略题目中的隐含条件；（2）不能正确使用判定公理。|340B1CBAC1全等三角形常见题型分类练习全等三角形性质的应用类型一.全等三角形的基本性
5、质应用1下列命题正确的是( )A全等三角形是指形状相同的两个三角形 B全等三角形是指面积相同的两个三角形C两个周长相等的三角形是全等三角形 D全等三角形的对应边相等、对应角相等2. 如图 1，ABDCDB，且 AB、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )A.ABD 和 CDB 的面积相等 B.ABD 和 CDB 的周长相等C.A+ABD =C+CBD D.AD/BC，且 AD = BC3.（2009 海南）如图所示，已知图中的两个三角形全等，则 度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50第 2 题 第 3 题4.（2009 陕西）如图， ， =30，则 的度数为（ ）ACB
6、BCAA20 B30 C35 D40 5如图， ABC AEF， AB 和 AE， AC 和 AF 是对应边，那么 BAE 等于 ( ) A ACB B BAF C F D CAF6已知ABCEFG，有B=70，E=60，则C=（ ）A 60 B 70 C 50 D 657 （2009 清远）如图，若 ，且 ，则 = 1A 104AB， 1C8ABC 中，ABC432，且ABCDEF，则E_第 4 题 第 5 题 第 7 题 9 （2009 邵阳）如图，将 RtABC(其中B34 0，C90 0）绕 A 点按顺时针方向旋转到AB 1 C1的位置，使得点 C、A、B 1在同一条直线上，那么旋转角
7、最小等于（ ）A.56 0 B.68 0 C.124 0 D.180 0AB C C1A1B1CAB|第 9 题 第 12 题10一个三角形的三边为 2、5、 x，另一个三角形的三边为 y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_11已知 ABC DEF， DEF 的周长为 32 cm， DE=9 cm， EF=12 cm 则AB=_， BC=_， AC=_12如图，在正方形网格上有一个ABC在网格中作一个与它全等的三角形；如每一个小正方形的边长为 1，则ABC 的面积是 全等三角形的证明【基础应用】1 （2009 年江苏省）如图，给出下列四组条件： ； ；ABDECFAD， ， ABEBCE
8、F， ， ； ， ， D， ，其中，能使 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组2.如图，在ABC 与DEF 中，已有条件 AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) A.B=E,BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.A=D，B=E D.A=D，BC=EF3.（2009 广西）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB DC， AC、 BD 交于点 O，则图中全等三角形共有（ ）A2 对 B3 对 C4 对 D5 对第 1、2 题 第 3 题4.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。求证：ABEDCF。ABCOF图图19图EDCBA|5如
9、图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为 E、F，ME=MF。求证：MB=MC6.如图，1=2，ABC=DCB。求证：AB=DC。7. 已知 BE=ED，1=2,求证：ABECDE8.如图；AB=AC，BF=CF。求证：B=C。9.如图：在ABC 中，ADBC 于 D，AD=BD，CD=DE，E 是 AD 上一点，连结 BE 并延长交 AC 于点 F。求证：（1）BE=AC， （2）BFAC。B CMAFEAB CD1 2F图图17图ED CBAFEDCBA|CEB FDA【能力提高】类型一、平行线性质的应用1.如图：ACEF，AC=EF，AE=BD。 求证：ABCEDF。2.如图（8）
10、A、B、C、D 四点在同一直线上，AC=DB，BECF，AEDF。求证：ABEDCF。3.(2009 武汉)如图，已知点 E、C 在线段 BF 上，BE=CF，ABDE，ACB=F求证：ABCDF 4.如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA=OC,OB=OD.求证 DCAB.5.如图，点 B,E,C,F 在一条直线上，FB=CE,ABED,ACFD.求证 AB=DE,AC=DF.FE图图2图 DCBADAB F C ED COA B|AB C F ED6.（2009 黄石）如图，C、F 在 BE 上，A=D，ACDF,BF=EC求证：AB=DE7.如图（16）ADBC，AD=BC，AE=CF
11、。求证：（1）DE=DF， （2）ABCD。类型三、角平分线性质应用1如图， ABC 中， C = 90， AC = BC， AD 是 BAC 的平分线，DEAB 于 E，若 AC = 10cm，则 BD+DE=（ ）A10cm B8cm C6cm D9cm2尺规作图作AOB 的平分线方法：以为 O 圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 C、D，再分别以点C、D 为圆心，以大于 12D长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP,由作法得 OP 的根据是( ）ASAS BASA CAAS DSSS 3.如图, C=90,AD 平分BAC 交 BC 于 D,若 BC=5cm,BD=3cm,则点
12、 D 到 AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定第 1 题 第 2 题 第 3 题 4如图， OP 平分AOB，PAOA，PBOB 垂足分别为 A， B下列结论中不一定成立的是（ ）APA=PB BPO 平分APB COA=OB DAB 垂直平分 OPEDCBAABC DF图图16图ED CBA|5如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90AD 平分BAC，BEAD 交 AC 的延长线于 F，E 为垂足则结论：AD=BF；CF=CD；AC+CD=AB；BE=CF；BF=2BE，其中正确结论的个数是( )A1 B.2 C3 D46.如图,在ABC 中,C=
13、90,AC=BC,AD 平分BAC 交 BC 于 D,DEAB 于 E,且 AB=5cm,则DEB 的周长为 _第 4 题 第 5 题 第 6 题7.如图，在 ABC 中， AD 为 BAC 的平分线， DE AB 于 E， DF AC 于 F。求证： DE=DF8.如图， OM 平分 POQ， MA OP,MB OQ， A、 B 为垂足， AB 交 OM 于点 N求证： OAB= OBA9.已知：AC 平分BAD，CEAB，B+D=180，求证：AE=AD+BE10.如图， ABC 中， AD 是 CAB 的平分线，且 AB=AC+CD，求证： C=2 BO BAPABCDEAEB D CF
14、|ADCEB类型四、垂直平分线性质应用1如图，在 RtABC 中，B=90，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知BAE=10，则C 的度数为（ ）A 30 B 40 C 50 D 602如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，若 AB=5，AC=3，则 AD 的取值范围是 。第 1 题 第 2 题 3.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD4.如图：A、E、F、B 四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：ACFBDE类型五、添加辅助线（一） 连接四边形的对角线1. 如图，AB/CD，AD/BC
15、，求证：AB=CD。DC BAA BCEFD|EDCBA DOECBA（二）作垂线，利用角平分线的知识1. 如图，AP,CP 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的平分线，它们交于点 P。求证：BP 为MBN 的平分线。2.如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证： AC1803.如图， 中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDACABC（三） “截长补短”构造全等三角形1.如图，ADBC， AE, BE 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC2.如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;ABACPBPC3.已知ABC 中，A=60，BD、CE 分别平分ABC 和ACB，BD、CE 交于点 O，试判断 BE、CD、BC 的数21DAB CPDBACABDC
