1、静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（理科）（试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟） 2013.1一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1已知函数 的最小正周期为 ，则正实数 = .)72sin(1)(axxf 4a2等比数列 （ ）中，若 ， ，则 .na*N16225a123 （理）两条直线 和 的夹角大小为 .0943:1yxl 03:yxl4 （理）设圆过双曲线 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的62距离是 .5 （理）某旅游团
2、要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择6 （理）求和： = .（ ）nnnCC321 *Nn7 （理）设数列 满足当 （ ）成立时，总可以推出 成立下列四个命a2*N21)(na题：（1）若 ，则 93164（2）若 ，则 0a25（3）若 ，则 54（4）若 ，则 2)1(n21na其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）8 （理）已知曲线 的极坐标方程为 若以极点为原点，极Csi4 轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为x l 23,tyx（ 为参数） ，则此直线 被曲线 截得的线段
3、长度为 .tl9 （理）请写出如图的算法流程图输出的 S 值 .s 1 0 0YN开 始结 束输 出 sn 0 , a 1 / 9 , s 0 s s + an n + 1a 3 * a理第 9 题10 （理）已知 、 为锐角，且 2sinco1sinco1，则 = .tan11 （理）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” 如图所 示，“海宝”从圆心 出发，先沿北偏西 方向行走 13 米至点O132arcsin 处，A再沿正南方向行走 14 米至点 处，最后沿正东方向行走至点 处，点BC、B都在圆 上则在以圆心 为坐标原点，正东方向为 轴正方向，C x 正北方向为 轴正方向的直角坐标系
4、中圆 的方程为 .y12 （理）过定点 作直线 交 轴于 Q 点，过 Q 点作)0,4(Fly QTF交 轴于 T 点，延长 TQ 至 P 点，使 ，则 P 点的轨迹方程是 .x T13 （理）已知直线 （其中 为实数）过定点 ，点 在函数0)1(4)()1(ayxaaP的图像上，则 连线的斜率的取值范围是 .xyQ14 （理）在复平面内，设点 A、P 所对应的复数分别为 、 （ 为虚数单位）i)32sin()32cos(tt i，则当 由 连续变到 时，向量 所扫过的图形区域的面积是 .t124二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相
5、应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15 （理）若复数 ，则 是 成立的（ ）021z21z1z(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件16 （理）等差数列 中，已知 ，且 ，则数列 前 项和 （ ）中最小na10573a1nanS*N的是（ ）(A) 或 (B) (C) (D)7S812S13S1417 （理）函数 的值域为（ ）)5,(6)(xxf(A) (B) (C) (D) 3,2,23,74,3718 （理）已知 是 外接圆的圆心， 、 、 为 的内角，若OABCABC，则 的值为 （ ）mCBsincos
6、i(A) 1 (B) (C) (D) sicosAtanOB C北南ANS理第 11题三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19 （理） （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 5 分某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终
7、保持和 AB平行的伸缩横杆 （1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （2）求EMN 的面积 S（平方米）的最大值20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分（理）已知 a，b，c 分别为 三个内角 、 、 所对的边长，a，b，c 成等比数列ABCBC（1）求 B 的取值范围；（2）若 x = B，关于 x 的不等式 cos2x4sin( )sin( )+m0 恒成立，求实数 m 的取值范围24x21 （理） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分
8、，第 2 小题满分 8 分已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 ，都有na n3321221)( na（1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 、 、 ；3 1a23（2）试求出数列 的任一项 与它的前一项 间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列nann，使得 ？若存在，求出这样的无穷数列 的一个通项公式；若不存在，说明理na20113由22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7EA BGNDMC（理 19 题）分已知椭圆 的两个焦点为 、 ， 是 与 的等差中项，其中 、 、12byax)0,(
9、1cF),(22ca2bab都是正数，过点 和 的直线与原点的距离为 c),0(A),(aB3（1）求椭圆的方程；（2） （理）点 是椭圆上一动点，定点 ，求 面积的最大值；P)2,0(1A1PAF（3）已知定点 ，直线 与椭圆交于 、 相异两点证明：对任意的 ，都存)0,1(EtkxyCD0t在实数 ，使得以线段 为直径的圆过 点kCDE23 （理） （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8 分函数 ， ，其中 若对任意 ， ，则称 在 内为)(xfyDx)(xff)(xfyD对等函数（1）指出函数 ， ， 在其定义域
10、内哪些为对等函数；3xyx2（2）试研究对数函数 （ 且 ）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；alog01a若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使 在所给集合内成为对等函数；xylog（3）若 ， 在 内为对等函数，试研究 （ ）的奇偶性D0)(xfy)(fyDx高三年级 数学试卷答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后
11、面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.答案及评分标准1 ； 264； 3 （理） ；（文）4a 653arcos14n4 （理） ；（文）同理 3 5 （理）13；（文）2 6 （理） ；（文）36 12n)3,2(7 （理） （2） （3） （4） ；（文） 8 （理）4；（文）同理 5 9 （理） ；（文）16 0a10 （文理）1； 11 （理） ；（文） ； 12 （理） ；（文）252yx142nbxy16
12、2同理 1113 （理） ；（文）1 14 （理） ；（文） .),365,15 （文理）D； 16 （理） C；（文）D； 17 （文理）A ；18 （文理）B 19（理）解：（1）如图 1 所示，当 MN 在矩形区域滑动，即 0x1 时， EMN 的面积 S= = ； 1 分x2如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即 1x 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， F 为 CD 中点，GFCD ，且 FG .3又 MNCD， MNGDCG ，即 4 分GHDCMN213xEA BGNDMC图 2HFENGDMA BC图 1故EMN 的面
13、积 S 123x ； 6 分x)(32综合可得： 7 分201313xSx， （2） 当 MN 在矩形区域滑动时， ，所以有 ； 8 分xS10S当 MN 在三角形区域滑动时，S= .x)(2因而，当 （米）时，S 得到最大值，最大值 S= （平方米）. 231x 32 ， S 有最大值，最大值为 平方米. 12 分3（文）解：（1） ，1111 3)(332 nnnnn baaab 2又 ，所以 （ ） ，11ab0n*N)2(1bn所以，数列 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列 6 分n（2） ， 8 分3bn所以数列 的前 n 项和 = a )21()(21 nbSn 213n14
14、分20（理）解：（1）a、b、c 成等比数列，b 2=ac 1 分则 cosB= = 3 分b2ac2而 a2+c22ac cosB= ，等号当且仅当 a=c 时取得，即 cosB1，得到212 7 分30（2）cos2x 4sin( )sin( )=cos2x4sin( )cos( 24x)24xx=2cosx22cosx1=2(cosx )2 11 分13x=B cos x12(cosx )2 13则由题意有：m 即 m 14 分（说明：这样分离变量 参照评分）1cos22cosxx（文）解：（1）由正弦定理 得 ，2 分CBbAainiin CABAsin53coini 又 ，所以 ，5
15、 分BACscs)sin(i 8s5可得 7 分4coita（2）若 ，则 ， ， ，得 ，可得 ，0623sin21cosA3tan43tanB194cosB 10 分193sinB，38195sincosin)i(i BAC由正弦定理 得来CBbaiisi， 14 分19nc 2sinc21（理）解：（1）当 时， ，由 得 1 分312a011a当 时， ，由 得 或 当 时，232)(a223n，若 得 或 ；若 得 ； 5 分33)(a2332a综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3 或 1，2，2 或 1，1，1 6 分（2）令 ，则 （ ） nnaaS21 33212naaS
16、 *N从而 7 分332)( n两式相减，结合 ，得 8 分01n 1n当 时，由（1）知 ；当 时， = ，即a)(1nnSa )()(212nnaa，所以 或 12 分)(nnan1又 ， ，所以无穷数列 的前 2012 项组成首项和公差均为 1 的等差数列，从第120113 2013 项开始组成首项为2012，公比为1 的等比数列故 14 分)()nna（说明：本题用余弦定理，或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得，请参照评分）（文）解：（1）如图 1 所示，当 MN 在正方形区域滑动，即 0x2 时， EMN 的面积 S= = ； 2 分x2如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即
17、 2x 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， F 为 CD 中点，GFCD ，且 FG .3又 MNCD， MNGDCG ，即 5 分GFHDCMN3)2(x故EMN 的面积 S )(1 ； 7 分xx)32(综合可得： 8 分32,)321(0, xxS说明：讨论的分段点 x=2 写在下半段也可（2） 当 MN 在正方形区域滑动时， ，所以有 ； 10 分S20S当 MN 在三角形区域滑动时，S= .xx)31(2因而，当 （米） ，S 在 上递减，无最大值， 231x,(20S所以当 时，S 有最大值，最大值为 2 平方米. 14 分22解
18、：（1）在椭圆中，由已知得 1 分2bac过点 和 的直线方程为 ，即 ，该直线与原点的距离为 ，),0(bA),(aB1byax0yx 23由点到直线的距离公式得： 3 分232ENGDMA BC图 1EA BGNDMC图 2HF解得： ；所以椭圆方程为 4 分1,32ba 132yx（2） （理） ，直线 的方程为 ， ，当椭圆上的点 到直线)0,(1F1AF61AFP距离最大时， 面积取得最大值 6 分1A1P设与直线 平行的直线方程为 ，将其代入椭圆方程 得：1 dxy2132yx， ，即 ，解得 ，当 时，椭圆02372dx0283872d7上的点 到直线 距离最大为 ，此时 面积为
19、 9 分P1AF721PAF1436（文）设 ，则 ， ，其中 6 分),(yxM)(322y 2)(22 yyxMy当 时， 取得最大值 ，所以 长度的最大值为 9 分21y2A9A（3）将 代入椭圆方程，得 ，由直线与椭圆有两个交点，所以tkx 036)31(22tkx，解得 11 分0)(312)6(2tt 12t设 、 ，则 ， ，因为以 为直径的圆过 点，),(1yxC),(2yxD22136ktx2213)(ktx CDE所以 ，即 ， 13 分0E0)(2121y而 = ，所以)(2121tkxty 2)(txtkx，解得 14 分01363)( 22 ttk tk31如果 对任
20、意的 都成立，则存在 ，使得以线段 为直径的圆过 点12t0t CDE，即 所以，对任意的 ，都存在 ，使得以线9)(3)( 222 ttt 312tk0tk段 为直径的圆过 点 16 分CDE23（理）解：（1） ， 是对等函数； 4 分xy3（2）研究对数函数 ，其定义域为 ，所以 ，又 ，所以当且alog),0(xaalogl0la仅当 时 成立所以对数函数 在其定义域 内不是对等函数0logxa)(xff y),(6 分当 时，若 ，则 ，此时 是对等函数；11,(0logaxalog当 时，若 ，则 ，此时 是对等函数；a)xxy总之，当 时，在 及其任意非空子集内 是对等函数；当
21、时，在 及其0,0( xal 1a),任意非空子集内 是对等函数 10 分xyalog（3）对任意 ，讨论 与 的关系Dx)(f)xf1）若 不关于原点对称，如 虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数； 11 分y2）若 ，则 当 时， 既是奇函数又是偶函数；当 时，00)(ff 0)(f)(xf 0)(f是偶函数 13 分)(xf3）以下均在 关于原点对称的假设下讨论D当 时， ；00)()(xffxf当 时， ，若 ，则有 ；此时，当 时，x)(xff)(xff0x，令 ，则 ，且 ，由前面讨论知， ，从而 ；ttx)(t)(f综上讨论，当 时，若 ，则 是偶函数 15 分00)(f)(xf若当 时， ，则 ；此时，当 时， ，令x)(xf )(xf0xx，则 ，且 ，由前面讨论知， ，从而 ；tt(ttf )()(ff若 ，则对任意 ，都有 0)(f Dx)(xf综上讨论，若当 时， ，且 ，则 是奇函数若 ，则 不是奇函0)(f0(f 0)(f)(xf数也不是偶函数18 分
