1、 1 固体物理学 习题 1. 求 sc 晶格中沿 321321 a,a,aa,a,a , ，以及面对角线，体对角线方向，和321 aaa 3121 方向的晶列指数。 2. 设两原子间的相互作用能可表示为 mnur rr 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能； 、 、 n 和 m 均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足 n m 。 3. 原子质量为 m ，原子间距为 a 的一维单原子链，设原子间力常数为 , 在最近邻近似和最近邻近似下 （ 1）写出晶格振动的运动方程； （ 2）求出格波色散关系并画出示意图； （ 3）分析并确定波矢的独立取值范围； （ 4）分析并确定
2、波矢的具体分立取值。 4. *设晶体的总相互作用能可表示为 mnABUr rr 其中， A、 B、 m 和 n 均为大于零的常数， r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求： (1)平衡时，晶体中最近邻原 子的间距 r0和晶体的相互作用能 U0； (2)设晶体的体积可表为 V Nr3，其中 N为晶体的原子总数， 为体积因子。若平衡时 晶体的体积为 V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量 K 为 009mnUK V。 5. 画出 sc 的（ 100），（ 110），（ 111），（ 121），（ 231）晶面。 6. 证明晶面指数的两个定义等价。 7. 证明，对于立方晶系，晶向 hkl 与晶面 (h
3、kl)正交。 8. 证明： 1）、正基矢与倒基矢的关系 022 ijji ba2）、正格矢与倒格矢的关系 mhl 2R （ m 为整数） 3）、两种点阵原胞间的关系 3)2( 4）、正格子与倒格子互为对方的倒格子（倒格子的倒格子是正格子） 2 5）、倒格矢 332211 bbb hhhh 与正格子晶面族 ( 321 hhh )正交 . 9. 说明半导体 硅 单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞（ Conventional unit cell）中的 硅原子数；如果晶格常数为 a，求正格子空间原胞（ Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。 10. 说明 氯化钠 单晶的
4、晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞中包含的原子数；如果晶格常数为 a，求正格子空间原胞（ Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。 11. 求 NaCl 晶体中一个原胞的平均相互作用势能。 12. 求一维 NaCl 晶体的马德隆常数。 13. 求 NaCl 晶体的马德隆常数，仅计算至次次近邻。 14. 用 H 原子的波函数（ Rn,l, Yl,m）表示出 Px, Py, Pz 轨道波函数；写出金刚石中 C 原子的四个 sp3杂化轨道波函数。 15. 问题：证明 (2.4 5)可以等价地写成如下形式： （ 1）60120 2ijijij rrrru ， r0为两原子体系的
5、平衡距离。 （ 2） 612 2 ijijij rru ，（约化单位：能 /，长度 /r0） 16. 写出 Lennard-Jones 势。 17. 计算一位单原子晶格中格波速度（相速度） vp，证明在长波极限（ 0q ），晶格中传播的格波就象在连续介质中传播一样。 18. 计算布里渊区边界处格波的群速度，并对结果进行讨论。 19. 一维双原子晶格，对长声学波（ q0， -0），证明： 1） qvYqaMmaqMmaq 22 ， 它与连续介质的色散关系（ kv）一致，这是 -支被称为声学波的原因。 2） 1 AB表明，在长波限，两种原子振幅相同；又相邻原子的位相 aq0，故长波限声学波与连续机
6、械波类似。这是 -支被称为声学波的又一原因。 20. 一维双原子晶格，对长光学波（ q0），证明： 1.2MmABC o n sMmmM说明这结果的物理意义。 21. 求三维晶格的波矢空间 q 点的分布密度。 22. 证明声子无真实物理动 量。 3 23. 一 维 单 原 子 晶 格 中 两 个 声 子 1q 和 2q 发 生 碰 撞 后 形 成 第 三 个 声 子 3q , 求 3q 的 大 小 : 1 ）.aqq);aqq 3226 2121 24. (2013-11-27 改造 ) 二维正方格子，原胞基矢 1a ai aj， jaa 2 ，求： 1) 倒基矢 1b ， 2b ； 2) 写
7、出倒易空间中任意倒格点的位置矢量 hK 的表达式； 3) 画出第一布里渊区； 4) 写出倒易空间中 声子波矢 q 的表达式； 5) 画出 倒易空间中 声子波矢 q （点）的分布示意图 6) 设 两个声子 12,qq相撞 后变成 3q ，求 3q ： (1) 1 1 2 2 1 20 . 1 5 0 . 2 , 0 . 1 0 . 2q b b q b b ； (2) 1 1 2 2 1 20 . 3 0 . 2 , 0 . 3 0 . 6q b b q b b . 二维正方格子，原胞基矢 1a ai aj， jaa 2 ，求： 1、 1 1 2 2 1 20 . 1 5 0 . 2 , 0 .
8、 1 0 . 2q b b q b b 2、 1 1 2 2 1 20 . 3 0 . 2 , 0 . 3 0 . 6q b b q b b 。 解： （ 1） 由正基矢与倒基矢的关系 ijji ba 2 可得： 1222 , ( )b i b i jaa （ 2） 倒易空间中任意倒格点的位置矢量 可表示为 1 1 2 1 1 2 22 ( ) mG m b m b m m i m ja （ 3） 如图： 4 （ 4） （ a） : 当 1 1 2 2 1 20 . 1 5 0 . 2 , 0 . 1 0 . 2q b b q b b 时， 1 2 1 2 2 0 . 2 5 0 . 4 (
9、0 . 1 5 0 . 4 )q q b b i ja 位于第一布里渊区内，所以， 3 1 2 1 2 2 0 . 2 5 0 . 4 ( 0 . 1 5 0 . 4 )q q q b b i ja (b): 当 1 1 2 2 1 20 . 3 0 . 2 , 0 . 3 0 . 6q b b q b b 时， 1 2 1 2 2 0 . 6 0 . 8 ( 0 . 2 0 . 8 )q q b b i ja 位于第一布里渊区外，所以， 3 1 2 1 , 1 1 2 1 2 1 20.6 0.8 0.4 0.22 2 2 2 0.4 0.2 ( ) 0.2 0.2q q q G b b b
10、 b b bi i j i ja a a a 25. 求一个振动模 的平均声子占有数。 26. 对于 2cq ，求振动模式密度 )(g ：（ a）三维情况；（ b）二维情况；（ c）一维情况。 27. 什么是固体热容量的爱因斯坦模型，什么是固体热容量的德拜模型？ 28. 利用晶格振动的量子理论，导出爱因思坦模型的定容热容 VC 的表示式，并进一步证明 ： （ 1） TE 时， VC 过渡到杜隆柏替定律。 （ 2） T E 时，此模型不正确。 29. 利用晶格振动的量子理论，导出德拜模型的定容热容 CV 的表示式，并进一步证明（ 1） T D 时， VC 过渡到杜隆柏替定律。 （ 2） T D
11、时，此模型严格正确。 5 30. 求一维单原子链的振动模式密度 )(g 。 31. 求德拜模型的振动模式密度 )(g 32. 计算一定模式（ 振动模）下原子的振幅与该模式中声子占有数的关系，并对结果进行讨论，说明 T 0 时也有振动。 33. 一边长为 L 的单价原子立方体金属块，由 N 个原子组成，将价电子视为自由电子。（ 1）求自由电子气的能级密度的表达式。（ 2）求 T 0K 时，电子气的费米能 0FE 的表达式及电子的平均动能。 34. 使用自由电子气模型证明绝对 0K 下 k 空间费米球的半径为 kF=(3 2n)1/3, n 为电子密度。 35. 设有二价金属原子构成的晶体，试证明
12、自由电子费米球与第一布里渊区边界相交（提示：倒格子空间离原点与最近的倒格子 间连线的垂直平分面围成的区域位第一布里渊区，也称简约布里渊区） 解：（ 1） T=0 时低于费米能 EF0 的能及全部被电子占据，而电子是费米子，每个状态只允许一个电子占据 )( 1)( 0)(00FFFF EE EEEf 在能级间隔 E E+dE 中的电子数 dN=f(E) (E)dE 23000 32)(100FEE ECdEECdEEdNN FF 其中223)2(4h mVC 带入上式得： 2302 23)()2(432 FEh mVN 设 n 为电子密度，则 n=N/V 230223 )()2(432 FEh
13、mVnV 32220 )3(2 nmEF T=0 时费米球面半径 31200 )3(2 nmEk FF 得证。 （ 2）二价金属原子构成的晶体， 其 布拉伐格子为体心立方（ bcc），其倒格子为面心立方（ fcc） 在 bcc 中 a、 b、 c 为晶胞基矢，则 a=ai, b=bj, c=ck 原胞基矢： a1=a(-i +j +k)， a2=a(+i -j +k)， a3=a(+i +j +k) 6 则 fcc 中1 2 33124 ()1244( ) 2b a a j kaab j kaa ， 在具有体心立方结构的二价金属原子的一个晶胞中，有 4 个电子 电子密度 n=4/a3，代入自由
14、电子费米球面半径 31200 )3(2 nmEk FF 得 面心立方原胞和 Wigner Seitz 原胞 12 30 (12 )Fk a 12 30 112 301( 12 ) 4.91 2 4.762( 12 ) 2 2 6.282FFbka a a akba a a 自由电子费米球与第一布里渊区边界相交。 36. 由泡利不相容原理，金属中费米面附近的自由电子容易被激发，费米能级以下的很低能级上的电子很难被激发，通常被称为费米冻结。用此物理图像，估算在室温下金属中一个自由 电子的比热。 解：电子的热容主要来自金属中费米面附近的自由电子的贡献。在室温 T0 时，能够发生跃迁的电子数为： 面心
15、立方原胞和 Wigner Seitz 原胞 7 023230000 49FBE TkEE TkE E TkNdEECdNN FBFFBF （ N 为自由电子总数） 每个电子具有的能量为 TkB23 N个可发生跃迁的电子总能量02)(82723 FBB E TkNTkNE 20274 BV FkTECNTE金属中一个自由电子的比热 2027 4VBV FC k TC NE36-1. （ 2015 加 ）证明对金属自由电子气的热容量有贡 献的电子数约为总自由电子数目的 1%。 36-2. （ 2015 加 ） 根据 金属 热电子发射的电流密度 的 查孙 -杜师曼公式： B-W / k T2j =
16、AT e， 证明两块金属 I 和 II 的接触电势差是， ( ) / I I I I I IV V V W W e 36-3. （ 2015 加 ） 一个 电子具有的固有磁矩叫什么，用什么符号表示。电子气磁化率的经典理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？电子气磁化率的 量子 理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？ 37. （ 20 分）六角 晶体的原胞 基矢是 jiaa 2123 ， jiab 2123 ， kcc 。 8 （ 2015-6-29 说明 ：以上有误，应该为1 3122a ai aj，2 3122a ai aj ， 3a ck ，相应地以下求解
17、也要改。） 求其倒格矢。 解： 原胞 体积 )( cba acicjacjiakcjiajia23)2123()2123()2123()2123(由倒格子基矢的定义 )(2* cba )3(32)2123(34)2123(232jaiaicjacackcjiaac)(2* acb )3(32)2123(34)2123(232jaiaicjacacjiakcac)(2* bac 9 kckakaacjiajiaac2)4343(34)2123()2123(232倒格矢 321 blbkbhG h （ h,k,l 为整数） kcljkhikhakcljaiakjaiah2)(2)(322)3(32
18、)3(3238. 证明布洛赫定理 39. 一电子在如图所示的周期势场 )nax(V)x(V 中运动，这里， axc cxV)x(V 0 00 。 求： 1） 、 将 )x(V 的展为傅立叶级数，并计算展开系数 Vm； 2） 、 计算 dxVH )(kL *)(kkk 00 0 ?dxVV )(kL *)(k 00 0 ； 3）、写出一般微扰理论的二级修正本征能量和一级修正波函数。说明为什么一般微扰理论不适于描述晶格周期场中电子amk 的状态； 4）、对本题周期势场 )x(V 中运动的单电子，设 是一小量（ 1 ），对于接近 am 的态 )(amk 1 ，利用 简并微扰理论求其本征能量表达式；
19、5）、 对 0 的情况，求电子能量表达式 E ； 6）、求第一能带宽度和第 二带隙 Eg。 解： 1）于是， nxain n eV)x(V 2，其中， a *nxain dxe)x(VaV 021 10 利用 nanbGn 2， nV 可以写为 11 0 0 ciGa n*xiGn nn eaG iVdxe)x(VaV 2） )amkk()amkk(Vd)(VeaH ma aimkk 202102 3）一级微扰修正的波函数： k kkk kkkkkk EE H )0()0()0()0()1()0( = xamkimmi k x eLamkkmVeL)2(2221)2(21 .e)amk(kmV
20、eL mxamimi k x 2222 2211 二级微扰修正的能量为： mm)(k)(k )amk(kmVVmkEE)k(E22222220222 表示对 0m 的所有整数求和。 二级微扰修正的能量 )2(kE 在 amk 处发散。显然，这结果没有意义。换句话说，上述计算结果在 amk 处没有意义，不适于描述晶格周期场中电子的状态。出现这种情况的原因是，当 amk 时，存在另一状态 amk ，有矩阵元0 mkk VH ，且这两个状态的能量相等。即态 amk 和态 amk 是能量简并的。 行波 k= am 与其（布拉格）反射波 k/=- am 的迭加形成驻波。 由量子力学知，对于能量简并问题，需用简并微扰来求解（上述计算利用了非简 并微扰理论）。 4）设 是一小量（ 1 ），对于接近 amk 的态， )(amk 1
