第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 2.1 常微分方程的解(复习) 2.2 二阶线性偏微分方程分类 2.3 二阶线性偏微分方程简化 2.4 三类方程的简化形式2.1 常微分方程的解(复习) 一. 二阶常系数线性方程的标准形式二. 二阶常系数线性齐次微分方程的解 特征根： (1)有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 齐次方程 ： 特征方程：齐次方程的通解为 ： 特解为： (3)有一对共轭复根时 齐次方程的通解为 特征根为： 特解为： (2)有两个相等的实根时小结：二阶常系数线性齐次微分方程解 特征根： 齐次方程 ： 特征方程： 利用了欧拉公式例: 求下列方程的通解 解 (1)特征方程为 所以方程的通解为 解得所以方程的通解为 解得 (2)特征方程为 所以方程的通解为 (3)特征方程为 解得解 特征方程为 即 特征方程有两个不相等的实数根 所以所求方程的通解为 对上式求导,得 例:求 满足初始条件 的特解. 将 、 代入以上二式,得解此方程组，得 所以所求特解为(2)对应齐次方程为 ： (3)通解结构: 三. 二阶常系数非齐次线性方程 (1)非齐次线性方程通式：
