1、第一章 矢量场 1.1 zyxCzyxBzyxA 3;2;32 求 :(a) A ； (b) b ； (c) AB ； (d) B C ； (e) ( ) A B C (f) ( ) A B C 解： (a) 14132 222222 zyx AAAA; (b) )2(61 zyxBBb ( c) 7BA ; (d) zyxCB 47 (e) zyxCBA 422)( (f) 19)( CBA 1.2 A z 2 ; B z 3 2 求 :(a) A ； (b) b ； (c) AB ； (d) B A ; (e) BA 解： (a) 25 A ;(b) )23(141 zb ;(c) 43
2、BA (d) zAB )6(3)23( (e) zBA )3( 1.3 A r 2 2 ; B r 求 :(a) A ； (b) b ； (c) AB ； (d) B A ; (e) A B 解： (a) 254 A ； (b) )(1 1 2 rb； (c) 22 BA ； (d) 322 2 rAB ; (e) 23 rBA 1.4 A x y z 2 ; B x y z 3 当 AB 时，求 。 解：当 AB 时， AB =0, 由此得 5 1.5 将直角坐标系中的矢量场 F x y z x F x y z y1 2( , , ) , ( , , ) 分别 用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量
3、表示。 解： (1)圆柱坐标系 由 (1.2-7)式， s inc o s1 xF ; c o ss in2 yF (2)圆球坐标系 由 (1.2-14)式 , s inc o sc o sc o ss in1 rxF c o ss inc o ss ins in2 ryF 1.6 将圆柱坐标系中的矢量场 F z F z1 22 3( , , ) , ( , , ) 用直角坐标系中的坐标分量表示。 解：由 (1.2-9)式， )(2s i n2c o s22221 yyxxyxyxF )(3c o s3s i n33 222 yxxyyxyxF 1.7 将圆球坐标系中的矢量场 F r r F
4、r1 25( , , ) , ( , , ) 用直角坐标系中的坐标分量表示。 解：由 (1.2-15)式， )(5)c o ss i ns i nc o s( s i n52221 zzyyxxzyxzyxF )s ins inc o sc o s( c o s2 zyxF 22222 zyx zzyyxxyx yxxyr )(11 2222222 zyxyyzxxzyxzyx 1.8 求以下函数的梯度： (a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6 (b) f z z( , , ) s in 2 4 (c) f r r( , , ) c o s 2 5 2 解： (a) zxyxxzy
5、f 10)105( (b) zzf c o s2 (c) s in5s in2c o s2 rrf 1.9 求标量场 f x y z xy z( , , ) 2 2在点 (1,1,1)沿 )(21 yxl 方向的变化率。 解： )(21 xylflf 1.10 在球坐标中，矢量场 Fr() 为 F r kr r( ) 2 其中 k 为常数，证明矢量场 Fr() 对任意闭合曲线 l 的环量积分为零，即 F dll 0解：由斯托克斯定理 , sl SdFldF 因为 0)(2 rrkF所以 F dll 01.11 证明 (1.3-8e)、 (1.3-8f)式。 1.12 由 (1.4-3)式推导
6、(1.4-4a)式。 1.13 由 (1.5-2)式推导 (1.5-3a)式。 1.14 计算下列矢量场的散度 a) F yzx zy y xzz b) F z z sin 2 c) F r r r 2 c o s 解： (a) zxF (b) c o s2 zF (c) s ins inc o s4 2 rF 1.15 计算下列矢量场的旋度 a) F xyx yzy z 2 b) F 2 sin c) F rr sin 解： (a) zxxyF 2 (b) zFsin(c) )s inc o s2(1 rrF 1.16 计算 a) , ,r ekr b) ( ), , ( ) r ke kr
7、 c) , , ( )r z 解： (a) ; zz;s in rrrrrr krkrkrkr kerrkekree )( (b) ;2)(1 ;3)(1 22 rrrrr krkrkrkrkr kerkekkeekek )( (c) )(;0;0 zr 1.17 已知 A yx xy ，计算 A A ( ) 解： 0)(;2 AAzA 1.18 已知 F x y z F ( ) ( ) ( ), ,0计算 F 解：根据亥姆霍兹定理，因为 0 F ，所以 0A VV rdzdydxR zyxdVR rFr 4 1)()()(4 1)(4 1)( 24 rrF 1.19 已知 F F z x y
8、 z0 , ( ) ( ) ( ), 计算 F 解：根据亥姆霍兹定理，因为 0F ，所以 0 rzdzdydxR zzyxdVR FA VV 4 )()()(4 14 1 24 )11(4 14 1 r rzzrzrrzAF 1.20 求矢量场 zzF 穿过由 1 0 0 1, , z确定的区域的封闭面的通量。 解：根据高斯定理，矢量场 zzF 穿过由 lz 0,0,1 确定的区域的封闭面的通量 S V dVFSdF 因为 31)(1 zFFFF z 所以 V lVdVF 233 2 第二章习题解 2-1.已知真空中有四个点电荷 q C1 1 ， q C2 2 ， q C3 4 ， q C4
9、8 ，分别位于 (1,0,0)， (0,1,0)，(-1,0,0,)， (0,-1,0)点，求 (0,0,1)点的电场强度。 解：设 zr , yrxryrxr , 2321 zyrrRzxrrRzyrrRzxrrR ; 44332211 84 1563)(4 1024442333222221110 zyxR RqR RqR RqR RqE 2-2.已知线电荷密度为 l 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求 P 点的电场强度。 (a) (b) (c) 题 2-2 图 解： (a) 由对称性 04321 EEEEE (b) 由对称性 0321 EEEE (c) 两条半无限长线电荷产生的电场为
10、yayxyxaEEE lla 2)()(4 0021 半径为 a 的半圆环线电荷产生的电场为 yaE lb 2 0 总电场为 0 ba EEE 2-3.真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒上电荷密度为 s ，求轴线上的电场强度。 解 :在无限长的半边圆筒上取宽度为 ad 的窄条 ,此窄条可看作无限长的线电荷 ,电荷线密度为 adsl ,对 积分 ,可得真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为 ydxyadraE sss )c o ss i n(22 0 000 0 题 2-3 图 题 2-4 图 2-4.真空中无限长的宽度为 a 的平板上电荷密度为 s ，求空间任一点上的电场强
11、度。 解 : 在平板上 x 处取宽度为 dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为 dxsl ，在点 ),( yx 处产生的电场为 2 1),( 0 dxyxEd s其中 22)( yxx ；22)()( yxx yyxxx 对 x 积分可得无限长的宽度为 a 的平板上的电荷在点 ),( yx 处产生的电场为 )2/2/(2)2/( )2/(ln4),( 22 220 yaxa r c tgyaxa r c tgyyax yaxxyxE s 2-5.已知电荷分布为 ra r ar a220 ; s b r a ; r 为场点到坐标原点的距离， a， b 为常数。求电场强度。 解：
12、由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理 s qSdE 0 等式左边为 rs ErSdE 24 半径为 r 的球面内的电量为arbaaararq;554;542325因此，电场强度为 arrbaaararE r;5 5;52023203 2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为 ra r ar a;0 r 为场点到 z 轴的距离， a 为常数。求电场强度。 解 : 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理 s qSdE 0 等式左边为 rs ErSdE 2半径为 r 的圆柱面内的电量为araarar
13、q;32;3223因此，电场强度为 arraararEr;3;30202 2-7. 在直角坐标系中电荷分布为 ( , , ) ;x y z x ax a 00 求电场 强度。 解 : 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性， 取一对称的方形封闭面 ,利用高斯定理 ,穿过面积为 S 的电通量为 SEx2 ,方形封闭面内的电量为 axaS axxSq ;2 ;200 因此，电场强度为 axaaxxE x;0000题 2-9 图 题 2-7 图 2-8. 在直角坐标系中电荷分布为 ( , , ) ;x y z x x ax a 0 求电场强度。 解 : 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也
14、具有面对称性，取一对称的 方形封闭面 ,利用高斯定理 ,穿过面积为 S 的电通量为 SEx2 ,方形封闭面内的电量为 axSa axSxq ;22 因此，电场强度为 axaaxxE x;20;202002axaxaxE x;20;20202 2-9.在电荷密度为 （常数）半径为 a 的带电球中挖一个半径为 b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为 c(b+ca r rbaadrrbaar 0 2320 23 5 55 5)( 对于 ra 2040202203202320205 555 5)( arabaadrardrrbaar aar 2-15.半径为 a，长度为 L 的圆柱介质棒均匀极化
15、，极化方向为轴向，极化强度为 P Pz 0 (P0 为常数）。求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。 解 : (1)介质中的束缚电荷体密度为 0 P (2) 介质表面的束缚电荷面密度为 Pns 在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零 ;在上下端面上束缚电荷面密度分别为 0 Ps . (3) 上下端面上束缚电荷产生的电场 由例题 2.2, 圆盘形电荷产生的电场为 0);1(20);1(2)(220220zazzzazzzEssz式中 a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。 对上式做变换 , 2/ Lzz , 0Ps ,可上端面上束缚电荷产生的电场为 2/);)2/(2/1(2
16、2/);)2/(2/1(2)(220022001LzaLzLzPLzaLzLzPzE z同理 ,做变换 , 2/ Lzz , 0Ps ,可下端面上束缚电荷产生的电场为 2/);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(220022002LzaLzLzPLzaLzLzPzE z上下端面上束缚电荷产生的总电场为 2/);)2/(2/)2/(2/(22/2/);)2/(2/)2/(2/2(22/);)2/(2/)2/(2/(2222200222200222200LzaLzLzaLzLzPLzLaLzLzaLzLzPLzaLzLzaLzLzPE z2-16.半径为 a 的介质球均匀极化， P P
17、z 0 ，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。 解 : (1)介质中的束缚电荷体密度为 0 P (2) 介质表面的束缚电荷面密度为 c o s 00 PPrzPns 题 2-16图 (3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场 在介质球表面取半径为 sinar 宽度为 addl 的环带 ,可看成 半径为 sinar , cosaz ,电荷线密度为 daPl cos0 的线电荷圆环 ,例 2.1给出了线电荷圆环的电场 ,对 积分得 0002000 2/3222300 3c o sc o s2)c o s()s i n( c o ss i n2 PdPaa daPE z 2-17.无限长的线电荷位于介电常数为 的均匀介质中，线电荷密度 l 为常数，求介质中的电场强度。 解 : 设无限长的线电荷沿 z 轴放置 , 利用高斯定理 ,容易求得介质中的电场强度为 2 lE 为场点到线电荷的距离 . 2-18. 半径为 a 的均匀带电球壳，电荷面密度 s 为常数，外包一层厚度为 d、介电常数为 的介质，求介质内外的电场强度。 解 :由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，利用高斯定理 S qSdD 上式左右两边分别为 sr aDr 22 44 由此得 22raD sr
