精选优质文档-倾情为你奉上实变函数论考试试题及答案证明题：60分1、证明 。证明：设，则，使一切，所以,则可知。设，则有,使，所以。 因此，=。2、若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集。证明：对任何正整数， 由条件存在开集，使得。令,则是可测集，又因，对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。3、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于。证明 因为，则存在，使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到， 且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集外，收敛于，就是 a.e. 收敛到。4、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数，使得 于。证明： 因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有=。 所以对任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得
