1、毕业论文例谈幂级数的应用DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘 要幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数，由于其本身具有很多便于运算的性质，因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。利用幂级数的分析性质，通常可以使形式进行转化，使复杂问题得以化简。本文通过归纳和举例，从幂级数的定义出发，对幂级数的重要性质进行总结性证明，举例分析幂级数在各种计算中的应用，包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不等式，结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。本文还举例介绍了如何应用复数范围内的双边幂级数求解复积分和某些实积分。
2、进一步地，本文对于代数学中的形式幂级数进行了初步说明。关键词：幂级数； 函数； 应用 ABSTRACTPower series is a kind of series of functions with simple form and extensive application, which can be used to solve many problems powerfully in terms of the function because of its calculated properties. By the analysis properties of power series,
3、many problems usually can be transformed their form such that the complex problem can be simplified. With the beginning of the definition of power series , this paper summarizes the proofs of important properties of power series. Furthermore, all sorts of computing applications with power series are
4、 illustrated, including calculating limit, seeking derivative, computing integration, solving differential equations, and inequalities proving, which are elaborated with examples of power series methods and techniques in the application. This paper also describes an example of how to compute complex
5、 integration and some real integration by means of bilateral power series within the scope of complex. At last, a preliminary description of formal power series is given in algebra. Key word： Power Series; function; application目 录1 前言 .31.1 背景和意义 .31.2 本文研究的主要内容 .32 幂级数相关的基本知识 .32.1 幂级数的定义 .32.2 幂级数
6、相关定理及推论 .32.3 留数的基础知识 .33 幂级数在近似计算与级数求和中的应用 .33.1 计算常数 e 的问题 .33.2 幂级数在计算级数和中的应用 .34 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用 .34.1 幂级数在求极限中的应用 .34.2 幂级数在求导中的应用 .34.3 幂级数在积分运算中的应用 .35 幂级数在求解微分方程中的应用 .35.1 求解常微分方程 .35.2 求解偏微分方程 .35.3 实际问题中的微分方程的解 .36 幂级数在证明不等式中的应用 .37 代数学中的形式幂级数 .37.1 斜幂指数诣 Armendariz 环 .37.2 多项式环 .3结论 .
7、3参考文献 .3致谢 .31 前言1.1 背景和意义说到幂级数的来历，肯定要提到最基础的级数的来源。亚里士多德早在公元前 4 世纪就知道公比小于 1 的几何级数有和，而级数的发展可以追溯到几千年前的中国，在当时生产力不发达的南北朝时代，伟大的数学家，天文学家，科学家祖冲之就发现了圆周率的计算方法，并且运用计算圆面积中，在这其中与魏晋时期数学家刘徽在求解圆面积中应用到的割圆法异曲同工，这种算法已经形成了级数的初步思想和方法。与此同时的外国学者也纷纷对级数有了初步的认知，古希腊哲学家芝诺，在对二分法的研究上把 1 表达成为了23411的这种无穷级数的形式，而中国伟大的思想家、哲学家、文学家庄子提出
8、了“ 一尺之锤，日取其半，万世不竭” 的辩证理论，这其中也隐约包含着极限的思想，与芝诺的理论如出一辙。随着时间的发展，级数也在发展和进步。到了 14 世纪，印度的马德哈瓦首先发展了幂级数的概念，把芝诺提出的理论进一步展开，完善了无穷级数的概念，并且研究了无穷级数、泰勒级数，麦克劳林级数的有理逼近，发现了正弦、余弦等函数的泰勒展开。17 世纪到 18世纪，牛顿和莱布尼兹都在级数的研究中得到了相同的结果，后来这个结论被称为牛顿莱布尼兹公式。同一时代，詹姆斯格里高开始研究无穷级数，他公开了一些函数的麦克劳林展开；布鲁克泰勒对一般解析函数的泰勒展开进行了研究并给出了结论。欧拉发展了几何级数和 q级数理
9、论。直到 19 世纪，柯西利用极限理论对无穷级数的一般性推广建立了完善理论，级数理论在此之后逐渐的完善至今。到了现代，幂级数的研究也没有止步不前，由于幂级数的性质已经日益完善，所以学者们纷纷把研究方向由对幂级数性质的研究渐渐地转向利用幂级数的性质对其他数学领域进行研究，比如在对幂级数环的研究，对非线性椭圆方程型方程的边值问题的研究，对循环码等重要的码的研究，它们都应用到了幂级数的性质或者函数的幂级数展开，通过了对幂级数性质的扩展利用，不仅是数学中，在物理，土木工程等跨学科领域中也广泛发展。就幂级数来看，它是一类形式简单而应用广泛的函数项级数，基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数。幂级数有许多
10、方便的运算性质，在函数运算等方面是一个很有力的工具。将函数展开称为幂级数形式，利用幂级数和函数的分析性质等，常常能解决许多疑难问题，并且幂级数也可以应用到工程力学中，用幂级数表示力学方程的解。由于幂级数的基础性和实用性，在数学分析天津科技大学 2014 届本科生毕业论文2和高等数学中都进行初步的学习。本文对幂级数的重要性质进行了归纳，给出幂级数在数学和物理中的若干应用，并结合例题阐述幂级数在各方面应用中具体的技巧和方法。虽然关于幂级数的文章，期刊不胜枚举，但是其中多为简单，分散的内容，不能全面立体的介绍幂级数的应用，本文写作的意义就是要对其他的学者的期刊、著作进行分析，利用现有的知识和理论对例
11、子进行归纳，并分析总结例子中应用到的性质和技巧，尽量把将幂级数的应用系统的展现出来。1.2 本文研究的主要内容本文共分为八个部分，第一部分前言讲解幂级数的来源和研究意义，说明幂级数的前世今生及写本文的缘由。第二部分将对幂级数相关的基本性质进行介绍和证明，第三部分至第六部分将举出实例讲解幂级数在近似计算；求极限，求导，积分运算问题；求解微分方程；证明一些不等式等数学问题，并对每个例子进行分析和总结，并提出一个跨学科问题对幂级数的应用，说明幂级数的应用的广泛性和实用性。第七部分讲解了幂级数在当今时代中的发展应用，举出了两篇近期的期刊中提出的理论，了解现在幂级数的发展现状，第八部分对整篇文章进行总结
12、，总结这篇文章的内容，阐述写作的意义。天津科技大学 2014 届本科生毕业论文32 幂级数相关的基本知识2.1 幂级数的定义在函数级数中有一类结构简单，应用广泛的特殊的函数项级数 20120n nn nayayaya (2-1)称为幂级数，其中 01,n 都是常数，称为幂级数的系数，若 x，则可将上述幂级数转化为最简形式的幂级数 2010n naxax (2-2)2.2 幂级数相关定理及推论2.2.1 幂级数的收敛域对于幂级数 2010n naxax 在 0 都收敛，幂级数(2-2)的收敛有以下定理：定理 2.1 若幂级数(2-2)在 0收敛，则 x 满足 0:x，反之，若幂级数(2-2)在
13、0x发散，则 x 满足 0:。证明：设级数 0na收敛，则 0limnax，可知存在 0M对于任意的,12n都有数列 0nxM，设对于任意的 x 满足 01，则有00nnaxx，因为级数 0nnx收敛，所以幂级数(2-2)在0时绝对收敛：反过来，看后半部分，我们设幂级数(2-2)在 0x时发散，若存在 1x满足 0x，使得级数 01nnxM收敛，定理第一部分中 0时，幂级数(2-2) 收敛，与假设相矛盾，所以幂级数(2-2) 对于任意的 x 满足 0x都发散。天津科技大学 2014 届本科生毕业论文4定理 2.2 对于幂级数(2-2)，即 0nax，若1limnl（或 inal） ，则幂级数(
14、2-2)的收敛半径为 ,0,.lrl证明：根据柯西判别法可知对于正项级数 0nax可得知，11limlinnul1） 0l，当 lx时，幂级数(2-2)绝对收敛：当 1lx，幂级数(2-2) 发散，故收敛半径 1rl。2） l，对于任意的 xR都有 01lx，即对于任意 xR幂级数(2-2)都收敛，所以收敛半径 r。3） l，对于任意的 且 都有 l，即对于任意 ，0x幂级数(2-2)发散，故收敛半径 0r。2.2.2 幂级数和函数设幂级数(2-2)，即 0nax的收敛半径 r,幂级数(2-2) 在收敛区间确定了一个和函数 Sx，即 0nSxa. (2-3)定理 2.3 若幂级数(2-2) 的
15、收敛半径 r，则幂级数(2-2)在任意闭区间,ar都一致收敛。证明：令对于任意的 ,xa，即 (0)xar，有 nnax，因为级天津科技大学 2014 届本科生毕业论文5数 0na，根据 M 判别法，幂级数(2-2)在闭区间 ,a内一致收敛。定理 2.4 若幂级数 0nax与 10nnx的收敛半径分别是正数 1r与 2，则 12r。证明：首先要证明 12r，令任意的 0x满足 01r，存在 1x满足 01xr，已知级数 10nax收敛，对于任意的 nN，都有 01nnaa。已知极限 01limn，可知数列 01x有界，即存在这样的 0M和任意的N，使得 01nxM，然后可得 01nnax，根据比较判别法，级数 10na绝对收敛，故 12r。然后我们需要证明 12，对于任意的 0x满足 02r，存在 1x满足012xr，已知级数 1nax收敛，对于任意的 nN都有101nnna，已知极限10limnx，可知10nx有界，即存在这样的 M和任意的 N使得10nMx，所以可得10nnaxx，然后根据比较判别法，级数 0na绝对收敛，所以 12r，根据两个证明综合可得 12r。推论 2.4： 若幂级数 0nax与 100xnnatdx的收敛半径分别是 1r与 2，则 12r。
