1、02017 年普通高等学校招生全国统一冲刺考试 理科数学（命题人：邢日昱） 考场：_座位号：_本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题共 60 分）选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 ，则集合 中UAB()UAB的元素共有（ ）(A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个（2）复数 ( )2i（A） （B） （C） (D)11ii（3）不等式 的解集为( )
2、x（A） （B）01x01x（C） （D）x（4）已知 tan =4,cot = ,则 tan(a+ )=（ ）a3(A) (B) (C) (D) 711713（5）设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的20xyabb ， 21y x离心率等于（ ）（A） （B ）2 （C ） （D）356（6）已知函数 的反函数为 ，则()fx()10gxx 2l )1(gf（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）1
3、80 种 （C ）300 种 （ D）345 种（8）设非零向量 、 、 满足 ，则abccba|,| ba,（A）150 （B）120 （C ）60 （D）30（9）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为1A1ABC的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）C1(A) (B) (C) (D) 34547434(10) 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为cos(2)yx(,0)(A) (B) (C) (D) 6432（11）设 满足 则 ( ),xy,12,yzxy（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值
4、（D）既无最小值，也无最大值（12）已知椭圆 的右焦点为 F,右准线 ，点 ，线段 AF 交 C 于点 B。若2:1xylAl,则 =（ ）3FAB(A) (B) 2 (C) (D) 33班级 姓名 考号 座位号 装订线装订线内不要答题班级姓名考号 座位号 装订线装订线内不要答题1第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.（13） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 _.
5、10()xy73xy37xy（14）设等差数列 的前 项和为 。若 ，则 _.nanS92249a(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆OAOAMOAM的面积为 ，则球 的表面积等于_.M3（16）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则m12:0:30lxylxy与 2的倾斜角可以是 153045675其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分 12 分)设等差数列 的前 项和为 ，公比是正数的等比数列 的前 项和为 ，已知nans
6、nbnT的通项公式.133,17,2,nabTSb求 a(18)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，SABCDABSDABC2D，点 在侧棱 上，2DCM60M（）证明： 是侧棱 的中点；（）求二面角 的大小。 （同理 18）SAB(19)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。（20
7、） （本小题满分 12 分）已知函数 .42()36fx（）讨论 的单调性；（）设点 P 在曲线 上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的方()yfxll程(21)（本小题满分 12 分）如图，已知抛物线 与圆 相交于 A、B、C 、D 四2:Eyx22:(4)(0)Myr个点。（）求 的取值范围r（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点 P 的坐标。2请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，AB 的延
8、长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE（）证明：D=E ； （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且MB=MC，证明：ADE 为等边三角形 .23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 ： ，直线 ：C2149xyl（ 为参数） .2xty（）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；Cl（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与Po30lA|P最小值.24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 ，且 .0,ab1ab（）求 的最小值；3ab（）是否存在 ，使得 ？并说明理由.,236ab32017 年普通高
9、等学校招生全国统一冲刺考试 理科数学参考答案（命题人：邢日昱） 考场：_座位号：_本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题共 60 分）选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 ，则集合 中的UAB()UAB元素共有(A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D ）6 个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。解： ， 故选 A。也可用摩根定律：,78,9A4,79()3,5
10、8UABAB()()UUB（2） （2） 复数 ( )32i（A） （B） （C） (D)11ii【解析】本小题考查复数的运算，基础题。解：选 C。（3）不等式 的解集为( )1x（A） （B ）0x01x（C） （D）1x【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解： ，040)1()(|1|1 22 xxxx故选择 D。（4）已知 tan =4,cot = ,则 tan(a+ )=a3(A) (B) (C) (D) 711713【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题 ， ，故选择 B。3tan 17234tant)t( （5）设双曲线 的渐近线与抛物
11、线 相切，则该双曲线的离心20xyabb 1 ， y x率等于（A） （B ）2 （C） （D ）356【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理20xyabb 1 ， abxy得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即 ，02a 042b552ec故选择 C。（6）已知函数 的反函数为 ，则()fx()1gxx 2l )1(gf（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ，故lg2x11)(f)(g2)1(gf选择 C。（7）甲组
12、有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各班级 姓名 考号 座位号 装订线装订线内不要答题班级姓名考号座位号装订线装订线内不要答题班级姓名考号 座位号 装订线装订线内不要答题4选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有 ，故选择 D。34526151265C（8）设非零向量 、 、 满足 ，则abccba|,| ba,（A）150 （B）120 （C）60 （D）30【解析】本小
13、题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为起点处的abab对角线长等于菱形的边长，故选择 B。（9）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的1AC1ABC中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为(A) (B) (C) (D) 34547434【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7）解：设 的中点为 D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,BC1A1ABAB1C由三角余弦定理，易知 .故选 D113cocs4os(10) 如果函数 的图像关于点 中心对
14、称，那么 的最小值为3(2)yx4(,0)3(A) (B) (C) (D) 642【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数 的图像关于点 中心对称cos2yx 3 43， 0由此易得 .故选 A42k1()6kZmin|6（11）设 满足 则 ( B ),xy24,1,yzxy（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值【解析】本小题考查线性规划，中等题。解：选 C。（12）已知椭圆 的右焦点为 F,右准线 ，点 ，线段 AF 交 C 于点 B。若2:1xylAl,则 =3FAB(A) (B) 2 (C)
15、 (D) 3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点 B 作 于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 ,故Mll 3FAB.又由椭圆的第二定义,得 .故选 A2|32|3BF|2F第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.（13） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 _.10()xy73xy37xy【解析】本小题考
16、查二项展开式通项、基础题。 （同理 13）解: 因 所以有rrrCT101)( 3731010()24C5（14）设等差数列 的前 项和为 。若 ，则 _.nanS97249a【解析】本小题考查等差数列的性质、前 项和，基础题。解: 是等差数列,由 ,得n97259,8。24924564()()32aaaa(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆OAOAMOAM的面积为 ，则球 的表面积等于_.M3【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为 ，圆 M 的半径为 ，则 ，即 由题得 ，所Rr322r3)2(R以 。16422（16）若
17、直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则m2:0:30lxylxy与的倾斜角可以是 153045675其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜角为21|3|dm1lo301l，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写或o45m07540o 053o三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分 12 分)设等差数列 的前 项和为 ，公比是正数的等比数列 的前 项和为 ，已知na
18、nsnbnT的通项公式.133,17,2,nabTSb求 a【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 项和，基础题。n解：设 的公差为 ，数列 的公比为 ，nadnb0q由 得 317b2317得 2TS4q由及 解得02,d故所求的通项公式为 。11(),32nn nab(18)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面SABCDABSD， ， ，点 在侧棱 上，ABCD22MC60M（）证明： 是侧棱 的中点；SC（）求二面角 的大小。 （同理 18）AB解法一：（I）作 交 于点 E，则 ， 平面 SADMECDSME连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯
19、形作 ，垂足为 F，则 AFME 为矩形FAB设 ，则 ，xSx22()DAx2(),EBx由 2tan60()3()MFB。 得解得 1x即 ，从而E12DC所以 为侧棱 的中点S6（） ，又 ,所以 为等边三角形，2MBC60,2ABMABM又由（）知 M 为 SC 中点，故,6,SA22,90SS取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则 ,由此知,BGAH为二面角 的平面角BHB连接 ，在 中，23122,2AMSBA所以226cos 3BGH二面角 的大小为SAarcos()解法二:以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D
20、-xyz设 ，则(2,0)A(2,0)(,)(0,2)BCS（）设 ,则SM(,),(,)11又 0260ABAB故 |cos即 2224()()11解得 ，即SMC所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由 ，得 AM 的中点(0,1)(2,0)MA21(,)G又 3(,),(,)(,)GBSAM0,0A所以 MS因此 等于二面角 的平面角,GBAB6cos, 3|SS所以二面角 的大小为AMBarcos()(19)（本小题满分 12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独
21、立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第 局甲获胜”为事件 ， “第 局乙获胜”为事件 。i )5,43(iAj(3,45)jB（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则，由于各局比赛结果相互独立，故4343BA734343434()()()PABPAB(52.0.60.（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而，由于各局比赛结果相互独
22、立，故54354343 AAB)()P648.0.60.4.06. )()()()()( 535433 5 APBP（20） （本小题满分 12 分）已知函数 .42()3fx（）讨论 的单调性；（）设点 P 在曲线 上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的方程()yfxll【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（） 36()46()2fxx令 得 或 ；()0f0令 得 或()fx2626x因此， 在区间 和 为增函数；在区间 和f)0,(),()26,(为减函数。)26,0(（）设点 ，由 过原点知， 的方程为 ，)(,0xfPll0()yfx因此 ，即 ，0
23、)64(6330204 x整理得 ，)1(x解得 或200因此切线 的方程为 或ly2yx(21)（本小题满分 12 分）如图，已知抛物线 与圆 相交于 A、B、C、D 四个2:Ex22:(4)(0)Mr点。（）求 的取值范围r（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。解：（）将抛物线 代入圆2:Eyx的方程，消去 ，2:(4)(0)Mxr2y整理得 2716x与 有四个交点的充要条件是：方程 有两个不相等的正根E 12x、由此得22122()4()076rxA解得 54r又 08所以 的取值范围是r15(,4)2（II） 设四个交点的坐标分别为 、 、
24、、 。1,Ax1(,)Bx2(,)Cx2(,)Dx则由（I）根据韦达定理有 ，212127,6r5,4则 21212|()|()Sxxx2 2112()4)76(415)r令 ，则 下面求 的最大值。6rt22(7)Stt2S方法 1：由三次均值有： 221(7)()7(14)Stttt33428当且仅当 ，即 时取最大值。经检验此时 满足题意。721tt7615(,4)2r方法 2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、1(,)Ax1(,)Bx,Cx2,)Dx则直线 AC、BD 的方程分别为 )(),( 11211121 xyxxy 解得点 P 的坐标为 。0,2设 ，由 及（）得21t6rt
25、7(0,)2t由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)(22121xxS则 4)(2121211 x将 ， 代入上式，并令 ，得721xtx21 2)(Stf，)7034988)()() 23 tttttf ，24569(7)6fttt令 得 ，或 （舍去）()0ft7t2t当 时， ；当 时 ；当 时，6t()0ft67t()0ft276t()0ft故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为7t)(tf)0,67(请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）
26、选修 41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE（）证明：D=E； （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且MB=MC，证明：ADE 为等边三角形 .解：（）证明：由题设得，A，B，C，D 四点共圆，所以， DCBE由已知得 ，故 .BEDE（）设 BC 的中点为 N，连结 ，则由 知 ，故 在直线 上MBMNOMN9又 不是 的直径， 为 的中点，故 ，即ADOMADOMADN所以 ，故/BCBE又 ，故 ，由（）知， ，所以 为等边三角形EE23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已
27、知曲线 ： ，直线 ：C2149xyl（ 为参数） .2xty（）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；Cl（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小Po30lA|P值.解：（）曲线 的参数方程为 （ 为参数）C2cs,3inxy直线 的普通方程为l 60（）曲线 上任意一点 到 的距离为(2cos,i)Pl5|43sin6|d则 ，其中 为锐角，且2| |sin()|sin30PA 4tan3当 时， 取得最小值，最小值为 i()1|PA2524. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 ，且 .0,ab1ab（）求 的最小值；3ab（）是否存在 ，使得 ？并说明理由.,ab236b解：（）由 ，得 ，且当 时等号成立1ab2a2ab故 ，且当 时等号成立3324ab所以 的最小值为 2（）由（）知， 3643ba由于 ，从而不存在 ，使得 .46,6b
