1、键入文字 西安交通工程学院高等数学教案1 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组时间-月-日星期-课题 3.1 微分中值定理教学目的 理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教学重点 罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点 罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课 型 基础课 备课组教法选择 讲 授 教 学 过 程 教法运用及板书 要点一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点,bax的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点 C，使得其x)(xf切线平行于 轴。CA B从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明
2、罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理 设函数 在点 的某邻域 内有定义 并且在)(xf0)(0xU处可导 如果对任意 有 (或 ) 那么0xU)(f(0f )(f证明：不妨设 时， （若 ，可以类似地)(0x)(0xf)(0xfab12yo键入文字 西安交通工程学院高等数学教案2 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组此表 2 学时填写一份， “教学过程”不足时可续页证明）.于是对于 ,有 , 从而当 时, )(00xU)(00xff; 而当 时, ;)(0xf根据函数 在 处可导及极限的保号性的得)(f00 xf 0)(limxff，所以 , 证毕.)(0 0x 0
3、)(xf定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续 （2）在开区)(f ,ba间 内可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在),(ba )(f内至少在一点 使得函数 在该点的导数等于零，即)(ba)(xf 0)(f证明：由于 在 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 ，于是)(xf, m有两种可能的情形：（1） ，此时 在 上必然取相同的数值 M，即mM)(f,ba .)(xf由此得 因此，任取 ，有.0)(xf ).0)(f（2） ，由于 ，所以 M 和 至少与一个不等于 在()fm)(xf区间 端点处的函数值.不妨设 (
4、若 ,可类似证明),则必定,ba)af)f在 有一点 使 . 因此任取 有 , 从而由费马引),(f)(,bx(x理有 . 证毕0f【例 1】 验证罗尔定理对 在区间 上的正确性32)(xf ,1解 显然 在 上连续，在)(2xf )(3,上可导，且 , 又 , 取)3,1(0)3(1f )1(2xf键入文字 西安交通工程学院高等数学教案3 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组,有 .)31(,0)(f说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的 可能多于一个，也可能只有一个.【例 2】 证明方程 有且仅有一个小于 1 的正实根.015x证明：设 ,
5、 则 在 上连续，且)(xf )(f, .3)1(,0ff由介值定理存在 使 , 即 为方程的小于 1 的正实根.,00x0设另有 使 因为 在 之间满足罗)1(x.)(1f)(xf0,尔定理的条件, 所以至少存在一个 （在 之间）使得 .0,f但 , 矛盾, 所以 为方程的唯一实根.)(5)4xf )(,00x2、拉格朗日（Lagrange）中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii) ，然而对一般的函数，)(bfaf此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理 2：若函数满足：(i) 在 上连续 ； )(xf,ba(ii) 在 上可导
6、； )则在 内至少存在一点 ，),(使得 。abff)(即 ()()ffx-=-若此时，还有 ， 。可见罗尔中值定理是拉格0)(f朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。证明：上式又可写为 (1)(abff作一个辅助函数： (2)()(xxF显然， 在 上连续，在 上可导，且)(x,ba),(-2 -1 1 2-0.75-0.5-0.250.250.50.75键入文字 西安交通工程学院高等数学教案4 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组)()()( afabffaFb，所以由罗尔中值定理，在 内至少存在一点 ,使得)(),(b。 又 0(FaffxfF)(或 。0)(abf
7、f abff)()(注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成 ，)()(fafb)此式也称为拉格朗日公式，其中 可写成：()(01)a(3)()fbfba若令 (4),h()()hfh3：若 ，定理中的条件相应地改为： 在 上连续，在a(x,ab内可导，则结论为： ),(b )(faf也可写成 ()b可见，不论 哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时， 为介于a,之间的一个数，(4)中的 不论正负，只要 满足条件，(4)就成立。b, h)(xf4：设在点 处有一个增量 ，得到点 ，在以 和 为端点xxx的区间上应用拉格朗日中值定理，有 xfff )()()10(
8、即 这准确地表达了 和 这两个增量间的xyyx关系，故该定理又称为微分中值定理。5：几何意义：如果曲线 在除端点外的每一点都有不平行于)(fy轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。y键入文字 西安交通工程学院高等数学教案5 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组由定理还可得到下列结论：推论 1：如果 在区间 上的导数恒为 0，则 在 上是一个常数。)(xfyI)(xfI证明：在 中任取两点 ， 在 连续，在I12()x， )(fy12,可导，由拉格朗日中值定理，则在 内至少存在一点 ，使得12(,)x 12,12()()ffxfx由假设可知在 上， ，从而在 上， ，
9、I012(,0)(xf， 所以 ，)(f 0)xf )f可见， 在 上的每一点都有： （常数） 。xI )(f【例 1】 【例 3】 证明当 时 . 0ln(1)xx+证： 设 ，显然 在0 ，x上满足拉格朗日中值定()ln(1)fx=f理条件，故至少存在一点 使0,x()0()fx-=由于 ， ， ，代入上式有1()fx=+()f=1()f+即 ln()1Lnxx- ln()1x=又由于 所以0+即 11x+ln(1)xx(1)xlnx+注：（1）构造辅助函数 ；（2）正确确定区间左右端点，利用 TH2 可()f得.三、 三、柯西中值定理定理 3：若 满足：)(,xFf(1)在 上连续； (
10、2)在 内可导；(3) ba),(ba(,)xab(0Fx键入文字 西安交通工程学院高等数学教案6 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组则在 内至少存在一点 ，使得 。),(ba)()(aFbff证明：令 ，显然， 在 上连)()( xfFafxx,续，且 在 内可导，更进一步还有 ，事实上， ,ba)(ba)()()()()( afFfbaFf 0)()( afbFf所以 满足罗尔定理的条件，故在 内至少存在一点 ，使得x,b，0)(又 )()()( xfFabfx因为 ， 0)()(fFabf 0)(F)()(ff注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令 ，xF)(就得
11、到拉格朗日中值定理；2：几何意义：若用 （ ）表示曲线 ，则其几何)(xFYfXbxac意义同前一个。【例 4】 【例 4】 证明 （ ） 。2arcosrsin1证：令 ，xxf)(，01 22f由推论知 f(x)=常数！再由 ，故 。)(f 2arcosrsinx键入文字 西安交通工程学院高等数学教案7 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组【例 6】 【例 5】若方程 有一个正根 ，0110 xaxann 0x证明方程 必有一个小于 的正根。)(21证明：令 ，在闭区间 上满足罗xaxaxf nn110)( ,0x尔定理的三个条件，故 )(f)01210( nnn axx)(1210 nna上式表明 （ ）即为方程x0x的根。110ann
