1、1兰州大学数学第五批甘肃省重点学科简介一、学科简介兰州大学数学学科建立于 1946 年，数学科学研究始于 1955 年前后。此后兰州大学数学学科在非线性泛函分析、偏微分方程、半群代数三个主要方向上做出了非常出色的研究工作。1978 年开始招收研究生，1981年基础数学成为国家首批硕士点，1984 年获准设立基础数学博士点。兰州大学数学学科已为西北地区乃至全国培养了大批优秀人才，已有 7 人获得国家杰出青年基金。特别是最近 10 年，借助于国家相继实施的 “211工程” 和“985 工程”，兰州大学数学学科在新世纪得到了较大发展。在保持原有的非线性泛函分析、偏微分方程、半群代数等基础数学优势研究
2、方向以外，通过引进优秀人才和立足自主培养，拓展了应用型研究方向，在非局部发展方程、无穷维动力系统、偏微分方程反问题、离散数学、概率统计、数学物理方程、生物数学等方向上获得了长足发展并形成了具有鲜明特色的研究方向和稳定的研究团队。由此，兰州大学数学学科于 2001 年获准设立数学博士后科研流动站， 2003 年成功申请到了应用数学博士点，2005 获准设立了数学一级学科博士点。目前数学学科在基础数学、应用数学、计算数学和概率论与数理统计 4 个二级学科招收培养博士研究生，在数学的全部 5 个二级学科培养硕士研究生。2010 年，兰州大学数学学科在继续保持学术型研究生的培养工作基础之上，获准设立应
3、用统计专业硕士学位点，拓展了高层次应用型人才培养模式。通过近十几年的努力，目前兰州大学数学学科在师资队伍建设、科学研究、2人才培养等方面形成了协调发展的良好局面，取得了令人瞩目的成绩。数学一级学科于 2002 年 11 月被确定为甘肃高校省级重点学科 ,作为甘肃省重点学科已进入第四轮建设期。近年来,兰大数学学科在“211 工程”和“985 工程” 项目经费的支持下, 学科建设、人才培养、队伍建设、科学研究及国际交流与合作等方面取得了很大的成绩，逐步形成了结构合理、具有创新意识和科研攻关能力强的学术队伍，产生了非线性泛函分析、微分方程与动力系统、图论及其应用、偏微分方程及其反问题、代数学和应用概
4、率统计等在国内外有重要影响的学术团队和一批特色研究方向，完成一批高质量的科研成果，形成了自己的优势和特色，在国内外产生了重要的影响，拓宽了兰州大学数学学科的覆盖面，确立了数学学科在国内外数学界的学术地位。2、学科方向兰州大学数学学科的学科方向主要有：1）非线性分析及应用非线性分析研究方向历来是兰州大学数学学科的主要研究方向之一，主要研究非线性分析的基本理论与方法及其在微分方程中的应用，近年来有 6 篇文章入选 ESI 高引用论文。目前该方向的主要特色是：（1 ）研究具变指数的非线性问题。这是一个在上世纪 80 年代以后发展起来的新的研究课题。具变指数的数学问题在非线性弹性力学、电子流变流体学和
5、图像恢复学等领域有着重要的应用背景。我们主要研究变指数函数空间、变指数变分问题和变指数微分方程，重点是变指数椭圆型方程。范3先令教授是国内这一领域的学术带头人，也是国际上该领域的带头人之一，他和他的学生近年来在这一领域取得了丰硕的成果。根据国际权威Web of Science 引文报告，范先令教授及其学生在该领域的工作，近十年被引用超过 1400 次， 其中单篇最高引用超过 300 次。 （2）研究具有复杂非线性性质的椭圆型偏微分方程。借助于非线性泛函分析的工具，结合偏微分方程的各种先验估计、迹定理以及势理论等方法，使用调和分析的技巧，研究具有复杂非线性性质，以及非光滑区域上的椭圆边值问题。这
6、些问题有深刻的理论价值和丰富的物理背景，出现在很多实际问题诸如弹性力学，空气动力学，流体力学，电磁波耗散的研究里，是当前该领域的热点和难点问题。对这些问题的研究需要对非线性泛函分析的理论方法综合运用和创新发展。 2）微分方程与动力系统动力系统与微分方程是兰州大学在非线性分析和偏微分方程的基础上发展起来的一个新的研究方向，也是近年来着力支持和发展的主要研究方向之一。主要研究非局部时滞动力系统和微分方程理论及应用问题。该方向的主要特色是：（1）研究非局部时滞问题。关于局部反应扩散系统，许多著名数学家如 Fife、Lions、Nirenberg 等均做出了重要贡献。但非局部时滞反应扩散系统是近年来发
7、展的新的课题。其主要背景来源于Britton 的非局部时滞单种群模型、Smith 的具有年龄结构的单种群模型以及 Bates 和 Fife 在流体力学中导出的流变模型。非局部时滞问题具有较局部时滞问题更复杂的性质，会出现许多的新的奇特现象，这使得在对非局部时滞问题的研究中必须在理论和方法上进行大的创新。因此这是一4个具有重要理论和实际意义的课题。我们在非局部时滞发展系统的行波解和整体解问题研究中，把行波函数视为有序 Banach 空间的抽象混合时滞系统的无穷边值问题的解，由此发展了一套抽象行波解存在性理论，被审稿人称为“novel idea”。在应用于生态模型时发现了时滞降低了行波传播的速度而
8、种群移动加速了行波解速度的新现象。对于不满足上述单调条件的系统，通过引入弱拟单调等概念，建立了存在性理论，在应用中发现种间竞争时滞不影响行波解的存在性，而种内竞争时滞则相反，并在整体解的存在性和稳定性等方面的研究中，给出了新方法，获得了一系列深刻的成果。 （2）在时滞动力系统的研究中，提出拓扑度理论并结合 Lyapunov 泛函研究周期解存在及稳定性的方法，并借助于分支理论考虑时滞和扩散对系统行为的影响，研究结果为解释种群生灭问题提供了理论依据。在时滞系统正解渐近分类课题研究中，利用单调动力系统理论并结合非线性分析方法，对时滞单调系统得到了著名的三分性定理，并给出了正解存在的充要或充分条件。对
9、于不满足单调性的时滞中立型系统，通过引入比较变元，导出了正解的四分性定理。在非线性系统振动问题的研究中，借助于利用临界点理论的思想，提出了非线性系统区间振动的概念，得到了与著名 Sturm 比较定理相一致的仅仅依赖有限区间的 Sharp 结果，应用到整个区间时使此领域的许多结果变为特例，为振动性研究开辟了一条新途径。近年来有 7 篇文章入选 ESI 高引用论文。3）代数学与图论本方向主要研究半群代数理论、图与图的自同态半群及图的子结构上的代数结构，以及 Rota-Baxter 代数及其应用。半群代数理论是兰州大5学基础数学的传统研究方向之一。代数图论是代数学与图论的交叉融合，是近年来发展的新方
10、向。Rota-Baxter 代数及其应用则是由国家 “千人计划”入选者郭锂教授在本学科发展起来的新方向。 （1）半群代数理论。半群同余是联系半群的内部结构与外部环境的桥梁，同余理论构成了半群代数理论的重要研究内容。目前正则半群的同余已形成了系统、成熟的理论体系，我们在正则半群的同余格方面作出了较好的工作。关于广义正则半群同余的研究是一个非常困难的课题，需要在方法上有大的突破和创新。我们提出了毕竟正则半群同余的核超迹方法，刻画了毕竟正则半群上的最大幂等元分离同余和纯整同余等，刻画了 E-inversive 半群上的正则同余。自从 Blyth 与 McFadden 1982 年引入并研究了具有逆断
11、面的正则半群以来，关于半群的各种断面的研究方兴未艾，取得了一系列重要的成果。我们提出了富足半群的拟适当断面的概念，统一了现有的半群的各种断面的概念，给出了具有乘拟适当断面的富足半群的结构，研究了富足半群的乘拟适当断面的性质及关系，建立了所有乘拟适当断面的矩形带结构。 （2）图与自同态半群。图的自同构群和自同态半群是沟通图论与代数学的一个桥梁。主要研究了一些图类的自同态半群及同态谱，刻画了所有半强（局部强、拟强）自同态成为半群的分裂图，刻画了一些自同态正则（纯整）的图类。 （3）图的匹配与分配格。匹配理论是图论研究的重要领域之一， Thomas 在 2006 年世界数学家大会的 45分钟报告介绍
12、图的完美匹配计数的代数方法。图的完美匹配集合上建立若干结构使得匹配理论研究取得了重大进展。Wolf 奖获得者 Lovsz 等刻画了匹配格及其基和确定了完美匹配多胞形的维数。我国学者张福基教6授等于 1988 年引入了六角形系统的完美匹配集合上的 Z-变换图，为图的完美匹配研究开辟了新的途径。 我们通过给出了 Z-变换图的定向建立了平面二部图的完美匹配集合的“分配格”，它深刻地揭示共振图的距离特征，提出了挑战性的问题：如何刻画这种分配格。该研究工作起源于化学图论，揭示了平面二部图的匹配集上的代数结构特征，既有很强的化学背景，又形成了较深刻的数学理论。4）偏微分方程及应用偏微分方程理论及其应用的研
13、究一直是兰州大学数学学科的主要研究方向之一，主要研究无穷维动力系统的全局吸引子问题、偏微分方程反问题的理论和计算。该方向的主要特色是：（1）在关于无穷维动力系统的研究中，运用非紧性测度方法，给出了全局吸引子的充要条件，为非一致紧半群的全局吸引子存在性问题的研究开辟了新的途径。在随后的具体问题和应用研究中，提出了强弱连续半群和关于时间的一致连续半群等概念，提出了非标准能量估计和渐近先验估计等方法，解决了带有超临界 Sobolev 指数增长非线性项和广义导数项的反应扩散方程以及带有临界 Sobolev 指数项的非经典反应扩散方程的全局吸引子的存在性问题 。在非自治的无穷维动力系统一致吸引子的研究中
14、，针对外力项在通常拓扑下非平移紧的全局一致吸引子的存在性问题，给出了新的研究方法，获得了一系列深刻的研究成果。 （2 ）在数学物理反问题的研究中，比较系统的发展了处理不适定问题的一些新的有效的理论和方法，包括 Fourier 正则化理论、小波正则化理论、算子扰动理论和最优逼近理论等。同时，在正则化理论指导下，围绕椭圆方程的柯西问题、逆热传7导问题、未知源识别问题，拉普拉斯方程和热方程的边界辨识问题建立高精度及稳定的有效算法，包括基本解方法、矩方法、磨光化方程等，取得了一系列有意义的成果。近年来有 3 篇文章入选 ESI 高引用论文.5）科学与工程计算方法科学计算近年来发展迅速，获得多项国家基金
15、项目的支持并在兰州大学多次举办重要的学术会议，研究方向主要包括：非线性微分方程理论与数值方法、分数阶微分方程的数值计算、数值代数、数值代数在图像处理中的应用、并行计算等。近年来在线性或非线性微分方程以及时滞微分方程的数值求解方面也作了大量的研究工作，特别是在非线性Galerkin 方法、时滞微分方程求解的单块算法( One-block method)稳定性方面；在刚性常微分方程系统的并行算法和时滞微分方程的数值处理方面作了很好的工作。利用奇异值分解的办法给出了矩阵 Moore-Penrose 逆在Frobies 范数下的最优扰动界；利用广义 Schur 补的极大极小秩方法给出了矩阵各种广义逆反
16、序率成立的可容易验证的秩等式条件；研究了奇异鞍点问题的参数化 Uzawa 算法和大型秩亏损最小二乘问题的多项式加速求解方法。在数字图像处理乘性噪声去除方法的研究中取得了重要进展。在分数阶微分方程的科学计算方面取得了一系列研究成果，其中包括高阶有限差分方法、间断有限元方法、谱方法等。首次提出新的离散格式实现了二阶收敛、进一步提出了紧的差分算子，将该算子应用到新的格式上算法的收敛阶提高到三。成功的将间断有限元的离散格式应用到分数阶算子，建立了理论框架。近年来有 3 篇文章入选 ESI 高引用论文。6）统计模型与数据分析8统计学是收集数据、分析数据，并由数据进行推断和预测，从而为相关决策提供依据的一
17、门交叉学科。它已被广泛应用于生物、医学、经济、金融、管理、环境、水文、农学、心理学、社会学、语言学等诸多领域，几乎覆盖了自然科学和社会科学的各个领域。目前，科学研究、管理决策以及社会生活中人们对统计数据和统计方法的依赖越来越强烈，统计学受到了越来越多的重视。经过十年来的持续努力建设，概率统计学科取得了长足的进步，研究团队获得了多项国家基金的资助，也多次成功举办了全国性的概率统计学术会议，扩大了其知名度。目前的研究方向主要为：时间序列、非参数统计及在金融和高维数据的统计推断、随机过程及在风险和营销管理中的应用、生存分析等。近年来，在上述领域取得了大量好的研究成果。具体为：在时间序列方面，系统研究
18、了能源经济分析和预测理论，特别是针对电网安全管理中如何检测异常数据提出了一些切实可行的模型和方法，并成功应用于中国财政收入分析与预测、电网管理、CPI 相关分析、能源分析（电力需求、电价及电力负荷预测）及中国风电场风能资源的评估与预测中；在非参数统计方面，同彭亮教授、荆炳义教授等国际知名概率统计专家进行了有效的合作，建立了一系列很好的非参数统计推断方法。例如，研究了金融时间序列 ARCH/GARCH 模型中的估计问题，构建了基于这些模型的条件风险价值(Conditional Value-at-Risk)的经验似然区间估计，证明了所提统计量的渐近卡方性质，这一结果能有效的应用于金融风险度量的估计
19、。同时，在病例-对照研究中，合理利用对照组中基因和环境因子独立(gene-environment independence)的信9息，建立了感兴趣参数的有效区间估计，论证了其渐近性质，并通过模拟研究展现其优势；在金融统计中，深入研究了高频数据中的估计问题，做出了关于波动率(Volatility)估计的一些出色的工作；在生存分析方面，也取得了重要的进展，研究了半参数比例模型在删失数据场合的变量选择问题、系统研究了协同系统中关于剩余寿命和休止时间的问题、探讨了冗余分配问题及其在保险中的应用，获得了一系列研究成果。这些研究成果以论文的形式在概率统计、经济等领域的重要学术期刊上发表多篇。本方向研究时间
20、序列及在能源数据的识别、预测；随机过程及在风险和营销管理中的应用；生存分析及在删失数据的统计推断；非参数统计及在金融和高维数据的统计推断。这些研究成果能应用到环境、能源、金融、风险管理、生物等领域科学研究和决策中。三、主要建设内容（从学术团队、人才培养、科学研究、学术交流、建设规划和基础条件建设以及服务于甘肃省经济建设的情况等方面论述）1学术团队目前本学科专职教师队伍有 81 人，其中教授 18 人，副教授 23 人，博士生导师有 14 人。李万同教授、张和平教授分别获得了教育部第二届和第三届 “高校青年教师奖”，并于 2010 年分别入选甘肃省领军人才（第一和第二层次） ；魏婷教授、赵敦教授
21、、邓伟华教授、王智诚教授、孙春友教授和孙红蕊教授入选教育部新世纪优秀人才支持计划。另外，聘请中组部“ 千人计划” 特聘教授一人（Rutgers University at Newark，郭锂教10授） ，教育部 “长江学者” 讲座教授两人（法国国家科研中心研究员李皓博士，香港科技大学荆炳义教授） ，兰州大学萃英学者讲席教授 9 人。目前专职教师中具有博士学位教师有 69 人，占总数的 85%。40 岁以下的老师 54 名，占总数的 67%。借助于国家留学基金委西部计划项目以及国家建设高水平大学的博士研究生联合培养项目，在学科点任教的年轻老师中大多数具有一年以上的国外大学学习和研究经历。除此之外
22、，通过国家建设高水平大学的公派研究生项目，有多名教师获得美国（耿俊副教授） 、法国（赵学靖副教授、何源博士）等国外大学的数学专业博士学位。通过兰州大学萃英人才建设计划，引进了多名从国内著名大学获得博士学位的年轻老师到本学科点工作 （如中国科学院、香港浸会大学、香港中文大学等） 。通过近五年的师资建设，教师队伍更趋年轻化，知识结构和学缘结构也趋合理,这也促进了我们传统优势学科的发展。目前数学学科主要学术带头人（博导）有：李万同教授（甘肃省数学会理事长） 、张和平教授（中国数学会常务理事、中国组合与图论学会常务理事） 、罗彦锋教授（甘肃省数学会常务理事） 、伍渝江教授、魏婷教授（中国计算数学会常务理事、中国工业与应用数学学会理事） 、赵培浩教授、赵敦教授、张国凤教授、孙春友教授、王智诚教授、邓伟华教授、王建州教授、孙红蕊教授、郑兵教授等。学术带头人或学术骨干有：周宇斌教授、李维德教授、王业娟教授、林国教授、焦桂梅副教授、徐守军副教授、杨璐副教授、高兴副教授、程锡友副教授、马闪副教授、陈建文副教授、黄玉梅副教授、宋伦继副教授等。
