1、需课件联系 QQ 1165557537（五）矩阵的秩定义在矩阵 A 中任取 k 行 k 列，这些行列交叉处的元素按它们在 A 中的排列所构成的行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。m n 矩阵共有 CkmCkn个 k 阶子式。定义如果在矩阵 A 中有一个 r 阶非零子式 Dr ，而所有 r + 1 阶子式全等于 0 ，那么 Dr 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为 A 的秩，记作 R ( A ） 。零矩阵没有非零子式，规定零矩阵的秩为 0。定理若 A B ，则 R ( A ) = R ( B ） 。这一定理说明初等变换不改变矩阵的秩，因此，当把矩阵变为行阶梯形，即可看出矩阵的秩，因为
2、行阶梯形的秩就等于非零行的行数。由此还可知，若 R ( A ) = r ，则 A 的标准形左上角为 r 阶单位阵，矩阵的标准形由其行数 m 、列数 n 及秩 r 所完全确定。（六）例题【 例 1-8 -5 】设 A 、 B 为 n 阶方阵，AB O ，则( A ) A = O 或 B = O ( B ）BA O( c ) （BA） 2 = O ( D ) ( A + B ) 2 = A2 B 2【 解 】 由两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，知（ A ）不成立；由矩阵乘法不满足交换律，估计（ B ） 、 （ D ）不成立；而（ BA ) 2 BABA BOA O 知（ C ）成立，故选 ( C
3、） 。因此三、 n 维向量（一） n 维向量n 个有序数 a l , a2 ， ，a n所组成的数组=（ 1， 2 n）称为 n 维向量。为了沟通向量与矩阵的联系， ，维向量亦记作并把 称为行向量， a 称为列向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩阵，规定向量与矩阵一样进行运算， T = a , aT = “；行向量与列向量不能相加。m 个 n 维列向量所组成的向量组可对应一个 nm 矩阵反之，一个 mn 矩阵 A 有 m 个 n 维行向量，这些行向量所组成的向量组称为矩阵 A 。的行向量组；同时， A 又有 n 个 m 维列向量，这些列向量所组成的向量组称为 A 的列向量组。（二）向量组的线性相
4、关与线性无关定义 设有向量组 A : 1, 2， ， m 与向量 ，如果有一组数 k l , k2， ， k m使则称向量 是向量组 1, 2， ， m的线性组合，或称 可由 1, 2， ， m，线性表出定义设有向量组 A : 1, 2， ， m，如果有一组不全为 0 的数 k l , k2， ，k m使则说向量组 A 是线性相关的，否则说向量组 A 是线性无关的。这时，向量组 A 线性相关，也就是线性方程组。有非零解，而向量组 A 线性无关也就是上列线性方程组没有非零解。这时，向量组 A 是否线性相关，也就是线性方程组是否有非零解。定理设向量组 1, 2， ， m线性无关，而向量组 1, 2
5、， ， m， 线性相关，则 可由 1, 2， ， m线性表示，且表示式是唯一的。（三）向量组的秩定义设有向量组 A ( A 可以含有限个向量，也可以含无限多个向量） ，如果在 A 中能选出 r 个向量 1, 2， ， r，满足( i ) 1, 2， ， r线性无关；( ii ) A 中任意 r 十 1 个向量都线性相关。则向量组 1, 2， ， r称为向量组 A 的最大线性无关向量组（简称最大无关组） ，数 r 称为向量组 A 的秩。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0。按此定义可知：向量组 A 线性相关的充分必要条件是 A 的秩小于 A 所含向量的个数；线性无关的充分必要条件是
6、 A 的秩等于 A 所含向量的个数。定义设有两个向量组 A 与 B ，如果 A 中每个向量都能由向量组 B 线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。如果向量组 A 与 B 能相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价。显然，一个向量组与它自己的最大无关组等价。定理 若向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则向量组 A 的秩不大于向量组 B 的秩。若向量组 A 与 B 等价，则它们的秩相等。注意向量组等价与矩阵等价是两个不同的概念，不要混淆。定理 若矩阵 A 经行变换变为矩阵 B ，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价；若矩阵 A 经列变换变为 B ，则 A 与 B 的列向量组等
7、价；矩阵 A 的行向量组的秩以及列向量组的秩都等于矩阵 A 的秩。由上述两定理可推知( i ）设 n 个 n 维向量构成方阵 A ，则此 n 个向量线性相关的充分必要条件是| A | =0。( ii ）设 Dr 是矩阵 A 的最高阶非零子式，则 Dr 所对应的 r 个行向量即是 A 的行向量组的最大无关组， Dr 所对应的 r 个列向量即是 A 的列向量组的最大无关组。( iii ）设 C AB，则 R（ C ） R ( A ) , R ( C ) （ B ） 。当 B 可逆时， R ( C ) = R ( A ) ，当 A 可逆时， R ( C ) = R ( B ） 。（五）例题 例 1 - 8 - 9 设 A 为 n 阶方阵，且| A | =0，则必有( A ) A 中某一行元素全为 0 ( B ) A 的第 n 行是其余，n - 1 行的线性组合 ( C ) A 中有两列对应元素成比例 ( D ) A 中某一列是其余 n - 1 列的线性组合【 解 】 | A | =0 是 A 的、行（列）线性相关的充分必要条件，而前三项都是充分条件而是非必要条件，只有（ D ）是充分必要条件，故应选（ D ） 。
