1、第 29 讲 平面向量的应用项目一 知识概要1 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：aba b(b0)x 1y2x 2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x 1x2y 1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos ( 为 a 与 b 的夹角) ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y22 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相
2、似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积即 WFs|F|s|cos (为 F 与 s 的夹角 )3 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质项目二 例题精讲任务一 平面向量在平面几何中的应用问题【例 1】
3、如图所示，四边形 ABCD 是正方形，P 是对角线 DB 上的一点( 不包括端点)，E ， F 分别在边 BC，DC 上，且四边形 PFCE 是矩形，试用向量法证明：PAEF .分析 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标 系，求 出所求线段对应的向量，根据向量知 识证明证明 建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为 1，DP(00 不等价项目四 冲刺必练A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 已知 P 是ABC 所在平面内一点，若 ，其中 R，则点 P 一定在( )CB PA PB AABC 的内部 BAC 边所在直线上CAB 边所在直线上 DBC 边所在直线上答
4、案 B解析 由题意知： ，CB PB PA 即 ， ，即 与 共线，CB BP PA CP PA CP PA 点 P 在 AC 边所在直线上2 在ABC 中，( ) | |2，则ABC 的形状一定是 ( )BC BA AC AC A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 由( ) | |2，BC BA AC AC 得 ( )0，AC BC BA AC 即 ( )0,2 0，AC BC BA CA AC BA ，A90.AC BA 又根据已知条件不能得到| | |，AB AC 故ABC 一定是直角三角形3 已知 |a| 2|b|，|b| 0 且关于 x 的方程 x2|
5、a| xab0 有两相等实根，则向量 a 与 b 的夹角是 ( )A B C. D.6 3 3 23答案 D解析 由已知可得 |a| 24ab0，即 4|b|2 42|b|b|cos 0，cos ，又0 ， .12 234 已知点 A(2,0) 、B(3,0)，动点 P(x，y)满足 x2，则点 P 的轨迹是 ( )PA PB A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案 D解析 (2x，y)， (3x， y)，PA PB (2x)(3 x)y 2x 2，y 2x6.PA PB 5 若函数 yA sin(x)(A0，0，|0.23 4 23由于 ， ， cos( ) .2 32 34 4 4 73故
6、tan( ) .4 147B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)1 设 ABC ，P 0 是边 AB 上一定点，满足 P0B AB，且对于边 AB 上任一点 P，恒有 14 PB ，则 ( )PC P0B P0C AABC90 BBAC90CAB AC DACBC答案 D解析 设 BC 中点为 M，则 2 2PB PC (PB PC 2 ) (PB PC 2 ) 2 2，PM 14CB 同理 2 2，P0B P0C P0M 14CB 恒成立，PB PC P0B P0C | | |恒成立PM P0M 即 P0MAB，取 AB 的中点 N，又 P0B AB，14则 CNAB，ACBC.故选 D.2已知点 O 为ABC 所在平面内一点，且 2 2 2 2 2 2，则点 O 一OA BC OB CA OC AB
