1、1再谈曲线割线与中切线斜率关系定理在妙解高考压轴题中的应用在函数与导数应用有关的习题中，时常会遇到这样一类题目，即给定某一函数（如图 1 所示），已知其割 线 与曲线 交于两个不同点bkxy()yfx，过 AB 中点的铅垂线与曲线交于 C 点，根据不同的函数类型，),(),(2yxBA割线 AB 的斜率 与过 C 点12)(xffk的切线（姑且称其为中切线）斜率之 间存在着某种固定关系，即有)2(1xf如下定理（估且称之为曲线的割线和其中切线的斜率关系定理，简称 为中切线定理）。曲线的割线和其中切线斜率关系定理：设函数 是定义在 实数集 R 某一子集 D 上的连续函数，其一、二阶导()yfx函
2、数在 D 上均连续且可导， 对于 ：若 单调递增，则有2121,xx且 ()f；若 为常数，则有 ；若)2()(112xfxff()f )2)(112xff 单调递减，则有 。()f )(1212xfxff笔者在专著谈 曲 线 割 线 与 中 切 线 斜 率 关 系 问 题 的 通 用 解 法 。（http:/ 给出 了 证 明 ，但 证 明 过 程 中 用 到 了 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ，对 一 般 高 中 生 而言 ，理 解 起 来 有 一 定 困 难 。为 此 ，笔 者 在 此 再 给 出 一 种 适 合 于 高 中 生BAxf(x)x2x1C图 12的 证 明 方 法 。曲线
3、的割线和其中切线斜率关系定理之证明（二）：设 ，则()(),gxfxfD().xf当 即 时， ，故 在定义域内单调()0,xf()0xf,0g()fx递增，且 在定义域内单调递减。g先讨论 的情形：当 时，因 ，故120x12(,x112xx， ，即1()()fxf 11()()g，进 而有111()()()22xxffff111111()()()()()22xxfxfffff ，所以 ，令 ，即有11()()2xxf11()2()xffxf2x设 ，则()(),gfxfxD当 即 或().xfx()0,fx()0fx,时， ， 在定义域内单调递减；反之，当0()f,()0gx即 或 时，
4、， 在定义,xf, ()xf,()gx()域内单调递增。先讨论 且 的情形：此时 单调递增， 单调递120x()0fx()fx()x增；当 时，因 ，故 ， 12(,11212ff3，即 ，进而有11()()2xg111()()()22xxfxfff111111()()()()()2 xffffff ，所以 ，令 ，即有11()()2xxf11()()22xffxf2x11111()()()222xxxxfff令 ，则 ，1()()hg 111()()0hg1()()2xx由于 的二阶导数存在，而),2()()2()( 111xfxfxfg )(xf故 在 上满足拉格朗日中值定理成立的条211
5、)(xf,1件，由此知 ，使得 ，),(1 2)()2()( 11xffxfff 即有 成立，所以)2()()(211 xfxffx ).2()( 11111 xffffg 设 则,(),2()()() 21111 xxfxfxfg 4由于 的二阶导数存在，而),2()()2()( 111xfxfxfg )(xf故 在 上满足拉格朗日中值定理成立的条211)(xf,1件，由此知 ，使得 ，),(1 2)()2()( 11xffxfff 即有 成立，所以)2()()(211 xfxffx ).2()( 11111 xffffg 若 ，则 单调递增。()fx单 调 递 增 )(,0)(0)2()(
6、 1 ggxff 故， 即 而 ，即)()()()() 11111 xfxffg ，即有,0)2()()( 2111 xfxf 令当 为常数时，上式中 ，).()()( 11212 xfff)(f )2()( 1xff显然命题中等号成立；当 时， 证法与 的情形完全相f单 调 递 减 ()fx单 调 递 增同。本文主要通过实例使读者体会该定理在解决部分高考压轴题中的巧妙应用。【例题 1】（直接应用：吉林省长春市 2014 届高三毕业班第二次调研测试题）已知函数 xfln)(（1）求 的单调区间和极值；x（2）设 ， ，且 ，证明： .1(,)Af2(,)Bxf12x2112()()fxfxf5
7、解：( )易求得 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。)(xf 1(0,)e1(,)e()由于 ，故 ，故lnf 2)ln,)0fxfxfx在定义 域 上单调递减。由中切 线定理即知，fx(0,)。2112()fxf【例题 2】(直接应用：2011 辽宁卷理科 21 题)已知函数 xaxxf )2(ln)（I）讨论 的单调性；(（II）设 ，证明：当 时， ；0aax10)1()(xaff（III）若函数 的图像与 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 ，)(fy 0x证明： 0(fx解：（I）易知：当 时 上单调增加；当 时， 上单调a()0,)fx在 0a1(),fxa在增加
8、，在 上单调减少.1(,)（II）证明略。（III）设函数 的图像与 轴交于 ，则有)(xfyx12(,)(,)AxyB。由于 故 且12()0fxf 2lna0 ,fa，故 在定义域 上单调递增。由中切线2312(),()0fxfx()fx(0,)定理即知， ，命题得证。12210()ffff【例题 3】（直接应用：2005 湖南卷理科 21 题、2010 年广东省高中青年教师命题大赛参赛试题、2013 年辽宁省重点中学协作体领航高考预测理科试题、2014 年鄂6尔多斯市高考模拟理科试题）已知 21()ln,()fxgxabx (0),()(.hxfgx （）当 时，求 的极大值点； 4ab
9、， h（）设函数 的图象 与函数 的图象 交于 、 两点，过线段 的()fx1C()gx2CPQP中点做 轴的垂线分别交 、 于点 、 ，证明： 在点 处的切线与 在2MN1M2C点 处的切线不平行.N解：（I）易知当 时， 的极大值点为 .42ab， ()hx54（II）依题意设 ，记 ，则 。由12(,),PxyQ120x00(,),()MfxNgx于 故 且 ，故 在定义()ln,f0,(),fx23(),)ffxf域 上单调递增。由中切线定理知， 。另(0,)12210()()xffxff一方面，由于 为常数，由21()(),(,()gxabgaga中切线定理知， 。由于 为曲线122
10、10()xx12(,)(,)PxyQ的交点，故有 ， ，由12,C1122(),()fgfg2121)ffgx此知 ，命题得证。21210 0() ()fxfxf x【例题 4】（微变应用：2014 届杭州市高考模拟考试样题理科 22 题）已知函数 ，21()ln,(),afxagxR（）已知 求 的单调区 间；2,hfh（）已知 若 ， ，求证：1,a120x1212() ()fxfftxt712xt解：（I）略。（II）依题意，由于 故 且1,()ln1afx0,x1(),fx21()0,fx，故 在定义域 上单调递 减， 单调递增。由中切线32()0fx()f(,)()f定理知， ；又因
11、为 单调递减，即知命题成立。2112()()fxfxftf()fx【例题 5】（变式拓展：2009 辽宁卷理科 21 题、2010 年广东省高中青年教师命题大赛参赛试题）已知函数 。21()(1)ln,fxaxxa（）讨论函数 的单调性；（）证明：若 ，则对任意 ，有 。5a1212,(0,)xx12()1fxf解：（I）易知当 时， 在 单调递 增，在 单调递减；2()f,a(,)a当 时， 在 单调递增，在 单调递减.1a()fx0,1)a(1)（II）依题意，由于 故 且2(ln,5xx0,x，故 在定义域(),fxax23()()1,)aff()f上单调递增。由中切线定理知，0,211
12、21212() ()()fxfxxaf x；而当 时，1212()aax(1,5)a。综上所述知， 成立。()(,012fxf8【例题 6】（变式拓展：2010 天津卷理科 21 题）已知函数 ()()xfeR（）求函数 的单调区间和极值；（）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当()ygx()yfx1x时， ；1x()f（）如果 ，且 ，证明 。2x12()ffx12x解：（）易知 在 上单调增加，在 上单调减少； 有唯一极大f,(,)()fx值点， 。(1)e（）证明略。（）证明：由于 在 上单调增加且 ， 在 上单调减少()fx,1)(0)f()fx1,)且 ，若 ，则必有
13、 。()0fx12f12x（1）若 ，则 显然成立；2x（2）若 ，则 故(),(),()3)0,xxxfefefe在 R 上单调递增。由中切 线定理知， ，因为()fx 2112f，所以 即12()ff12121()()0,xxf e成立。0,x12【例题 7】（变式拓展：2010 辽宁卷理科 21 题）已知函数 ，1ln)(2axxf（I）讨论 函数 的单调性；（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取 值1a),0(,21x1212|()|4|fxfxa范围。9解：（I）略。（II）由于 故 且2()1ln1fxax0,x1()2,afxx；又因为 ，故2(),f3()af()0,(),f
14、f在定义域 上单调递减。若 ，则 可取题设要求的任,()fxf(0,12xa意值；若 ，不妨设 ，则 。由中切 线定1212x1212|()|()fxfffx理知， 。依题意，2112()()fxff1212()()()axax因为 ，故只需 即 结合 得12|()|4ffx()4,(),1，即 的取值范围为 。a(,2【例题 8】（变式拓展）已知函数 的图像与 轴交于 两点，证明：(),xfeaRx12(,0),AxB。122x证明：由于 与 轴有两个交点，易知 ，且(),xfeax1132,xe故 在 R 上单调递增。由中切线定理知，(),xf()0,xffe()f；又因为 是 与 轴的交
15、点，所以2112f12,0ABx()fx，由此知 ， 。12()0fxf1212()xfea1212,xxea另一方面，仍由 知12)0fxf120,0,xx，故11(xea22,()ea12212()()1x，即 ，命题成立。1220x122x10【例题 9】（变式拓展：2015 届成都七中阶段性测试题)已知函数 ，()ln,fxaR（）若曲线 的图 像过点 ，求曲线 在该点处的切线方程；y(1,)P()yfx（）求函数 在区间 上的最大值；()fx,e（）若函数 有两个不同的零点 ，求证： 。12,x21xe解：（I）、（II）略。（）证明：由于 与 轴有两个交点，易知 ，且()ln,fx
16、aR0a故 在定义域 上单调递增。1(),fxa231,()0,ffx()fx(,)由中切线定理知， ；又因为 是 的零点，所以1122()fff12,()fx，由此知 ， 。12()0fxf1212()0xfax12x另一方面，仍由 知12)0ff1ln,ln0,a1ln,xa代入上式有 ，所以2ln,xa121212 12lll()axxa，证毕。2121l,e【例题 10】（变式拓展）已知函数 ，2(),lnxafR（）当 求 的单调区间；0a(f（）已知 设函数 的 3 个极值点分别1,()fx为 ，且 ，求 证： 123,x123x132e解：（I）略。（II）依题意，由于 知0,a2(),lnxaf
