1、 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型 1 )(nfan解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。1nfa例 1. 已知数列 满足 ， ，求 。n221na变式: 已知数列 ，且 a2k=a2k1 +(1) K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,.1a中（I）求 a3, a5；（II ）求 an的通项公式.类型 2 来源:Zxxk.Comnnf)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘
2、法) 求解。1fan例 1:已知数列 满足 ， ，求 。na321na1例 2:已知 ， ，求 。31n)(变式:（2004，全国 I,理 15 ）已知 数列 an，满足 a1=1， (n2) ，则a n的通项 1321 )(na 1_na2类型 3 （其中 p，q 均为常数 ， ） 。pann1 )0(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。1tatnn pqt1例:已知数列 中， ， ，求 .na132nan变式:（2006，重庆,文,14）在数列 中，若 ， 则该数列的通项 _n11,(1)nna变式:（2006. 福建.理 22.本小题满
3、分 14 分）已知数列 满足na*11,2().naN（I）求数列 的通项公 式；（II）若数列b n滿足 证明：数列b n是等差数列；121*4(),nnbbba（）证明： *231. .2naN类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或 ,其中 p，q, r 均为常数） 。nnpa1 )01)(qp1nnaprq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再待定1nann1 nbnaqbpnn11系数法解决。例:已知数列 中， , ，求 。na65111)2(3nnana变式:（2006，全国 I,理 22,本小题满分 12 分）设数列 的前
4、 项的和 ，na14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明：1nnTS,132niT类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。nnapa12解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 )(112nnsatsa其中 s，t 满足 qt解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。nnqapa12 21,na02qpxna若 是特征 方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即把21,x1x121nxA21,a和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ；当 时，数列 的通项为 ，其中a,1n12nnBA1n
5、 1)(nnxBAA，B 由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。21 1,xa,)(nnxa解法一（待定系数迭加法）:数列 ： ， ，求数列 的通项公式。na ),0(5312 Nnan b21,na例:已知数列 中， , , ，求 。2naa3变式:1.已知数列 满足na *1221,3,().nn（I）证明：数列 是等比数列；（II ）求数列 的通项公式；na（III）若数列 满足 证明 是等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nb121*4.(),nnbbbaNnb2.已知数列 中， , , ，求a12annn3123.已知数列 中， 是其前
6、 项和，并且 ，nnS 142(,)Sa设数列 ，求证：数列 是等比数列； 来源:学,21N 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分 14 分）已知 a1=2，点(a n,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+a n)是等比数列；（2） 设 T n=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn 及数列a n的通项；记 bn= ，求b n数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n 3T类型 9 解法：这种类型一般 是等式两边取倒数后换元转化为 。)()(1hagfnn qpan
7、n1例：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。1,31an变式:（2006，江西,理,22,本大题满分 14 分）1.已知数列a n满足：a 1 ，且 an2n12N （ ， ） （1） 求数列a n的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数 n，不等式 a1a2an2n！2、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式。113,()nA3、已知数列 满足 时， ，求通项公式。na2,1nnaa1124、已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。1,31an5、若数列 a 中， a =1， a = nN ，求通项 a 来源:Zxxk.Comn12n类型 10 来源:Z#xx#k.
8、Comhrqpnn1解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且na1aNnhrapnn1） ，那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的rhrqph1,0 hrxqp0x01nax根 、 时，则 是等比数列。1x212nax例：已知数列 n满足性质：对于 且 求 的通项公式. ,324,N1nna,1na例：已知数列 满足：对于 都有na, .51n（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？,51;n,1a;n,61a;n1ana变式:（2005，重庆,
9、文,22,本小题满分 12 分）数列 记).(05268111 annn且满 足 ).(2nbn（）求 b1、b 2、b 3、b 4 的值； （）求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和nbna.nS类型 11 或qpnan1 nnpqa1解法：这种类型一般可转化为 与 是 等差或等比数列求解。2n2例：（I）在数列 中， ，求 （II ）在数列 中， ，求n6,11 nananna3,1a类型 12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国 II,理,22,本小题满分 12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn， 且 方程 x2a nxa n0 有一根为 Sn1，n1，2，3，（）
10、求 a1，a 2；（ ） a n的通项公式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 类型 13 双数列型解法 ：根据所 给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加 、累乘、化归等方法求解。例：已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， , ，求 , .来源:Zxxk.Comn1anb012n)2(311nnba)2(31nbana类型 14 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列 满足 ，若 ，则 的值为_。na)12(,0,1nnna76120a变式:（2005，湖南,文，5）已知数列 满足 ，则 = （ ）na)(13,0*11 Nnan 20aA0 B C D33附件 1：律师事务所反盗版维 权声明来源 :学科网附件 2：独家资源交 换签约 学校名录 （放大查看）学校名录 参见 ：http:/
