1、2017 年全国硕士研究生考试数学一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1 ）若函数 在 连续，则（ ） 。1cos(),0,xfxabA. 2abB. 1C. 0D. 2ab（2 ）设函数 可导，且 ，则（ ） 。()fx()0fxA. (1)fB. C. |()|)ffD. |1|（3 ）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（ ） 。2(,)fxyzz(1,20)(1,20)nA.12B.6C.4D.2（4 ）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中，实线表
2、示甲的速度曲线 （单位：m/s） ，虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的1()vt 2()vt数值依次为 10，20 ，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s） ，则（ ） 。0A. 01tB. 52C. 0tD. （5 ）设 为 n 维单位列向量， E 为 n 维单位矩阵，则（ ） 。A. 不可逆TEB. 不可逆C. 不可逆2TD. 不可逆E（6 ）已知矩阵 ，则（ ） 。02100,2ABCA.A 与 C 相似，B 与 C 相似B. A 与 C 相似，B 与 C 不相似C. A 与 C 不相似，B 与 C 相似D. A 与 C 不相似，B 与 C 不相似（7 ）设 A，B 为随
3、机事件，若 ，且 的充分0()1,()PAB(|)(|)PAB必要条件是（ ） 。A. (|)(|)PB. |BAC. (|)(|)PBAD. |（8 ）设 来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列12,()nX (,1)N1niiX结论中不正确的是（ ） 。A. 服从 分布21()nii2B. 服从 分布211()niX2C. 服从 分布1()nii2D. 服从 分布2X二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9 ）已知函数 ，则 =_。21()fx(3)0f（10 ）微分方程 的通解为 =_。yy（11 ）若曲线积分 在区域 内与路径无关，则2
4、1Lxda 2(,)|1Dxy=_。a（12 ）幂级数 在区间 内的和函数 =_。1()nx(,)()Sx（13 ）设矩阵 ， 为线性无关的 3 维向量，则向量组021A123,的秩为_。123,（14 ）设随机变量 X 的分布函数为 ，其中 为标准正4()0.5().()2xFx()x态分布函数，则 =_。E三、解答题： 1523 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15 ） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ，求 。(,)fuv(,cos)xyfe200|,|xxdy（16 ） （本题满分 10 分）求 21li
5、mln()nk（17 ） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值。()yx320yx()yx（18 ） （本题满分 10 分）设函数 在区间 上具有 2 阶导数，且 ， ，证明：()f0,1(1)f0()limxf（）方程 在区间 内至少存在一个实根；x(,)（）方程 在区间 内至少存在两个不同实根。2()0ffx(,)（19 ） （本题满分 10 分）设薄片型物体 时圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的弧S2zy2zx度为 ，记圆锥与柱面的交线为 ，2(,)9uxyzxC（）求 在 平面上的投影曲线的方程；CO（）求 的质量 。SM（20 ） （本题满分 11 分）
6、三阶行列式 有 3 个不同的特征值，且 ，12(,)A312（）证明 ；)r（）如果 ，求方程组 的通解。123Ax（21 ） （本题满分 11 分）设 在正交变换 下的标准型为2212313132(,)8fxxaxQy，求 的值及一个正交矩阵 。yQ（22 ） （本题满分 11 分）设随机变量 和 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率XYX1(0)(2)PXY密度为 2,01()yf他（）求 ；PYE（）求 的概率密度。ZX（23 ） （本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 次测量，该物体的质量n是已知的，设 次测量结果 相互独立，且均服从正态分布 ，
7、该n12,nX 2(,)N工程师记录的是 次测量的绝对误差 ，利用 估计|,(12,)iiZ 12nZ（）求 的概率密度；1Z（）利用一阶矩求 的矩估计量；（）求 的最大似然估计量。2017 年全国硕士研究生考试数学一答案1、 【答案】A【解析】由连续的定义可得 -+00lim()li()xxff，而+200011cosli()lilixxxfaa， -0lim()xfb，因此可得 12a，故选择 A。2、 【答案】C【解析】令 2()Fxf，则有 ()2()Fxfx，故 ()F单调递增，则(1)，即 1f，即 |1|f，故选择 C。3、 【答案】D【解析】 2,gradfxyz，因此代入 (
8、,20)可得 (1,20)|4,gradf，则有14,0,|3fu 。4、 【答案】C【解析】从 0 到 t时刻，甲乙的位移分别为 01()tvd与 02()tv，由定积分的几何意义可知， 2510()(20vdt，因此可知 05t。5、 【答案】A【解析】因为 T的特征值为 0（n-1 重）和 1，所以 TE的特征值为 1（n-1 重）和0，故 E不可逆。6、 【答案】B【解析】A 和 B 的特征值为 2,2,1，但是 A 有三个线性无关的特征向量，而 B 只有两个，所依 A 可对角化，B 不可，因此选择 B。7、 【答案】A【解析】由 (|)(|)PB得 ()()()1PABPAB，即 (
9、)()PAB，因此选择 A。8、 【答案】B【解析】 (0,1)iXN，故 21()()niiXn， 1(0,2)XN，因此1(,)2n，故 2()()n，故 B 错误，由 221()niiSX可得，21()()(1)niiSX， 1(0,)XNn，则有 ()(0,)N，因此 2。9、 【答案】0【解析】 246222 001() ()(1)nnnfxxxx，因此230()()nnf，代入可得 (3)f。10、 【答案】 12cosi)xex 【解析】由 230y，所以 30，因此 21i，因此通解为：1(cosin)xex。11、 【答案】1【解析】设 22(,),()11xayPyQx，因
10、此可得：2222,()()yyxx，根据 PQyx，因此可得 1a。12、 【答案】 21()x【解析】 1121()()()nnx。13、 【答案】2【解析】因为 123123(,)(,)AA，而000，因此 ()2rA，所以向量组123,A的秩 2。14、 【答案】2【解析】 2222 4()(4)11()0.50.510.5. xxxxfFeee因此可得 EX。15、 【答案】 01|(,)xdyf，2 0112|(,),(,)xdyfff【解析】因为 ,cosfe，所以 12sinxfe，因此 01|(,)xdyf2 1212122(in)(i)cosxxxdyffff因此得： 011
11、22|(,),(,)xfff16、 【答案】 4【解析】由定积分的定义可知， 1201limln()ln()nkxd，然后计算定积分，211 12 2000 1ln()ln()ln()|()2xxdxdxdx 10417、 【答案】极大值为 (1)y，极小值为 (1)0y。【解析】对 320x关于 x求导得： 2330xy，令 0y得 2，因此 x，当 时， ，当 1时， 。对 233xy关于 再次求导得： 26()xyy，将y代入可得 26()0x当 1x时， y时，代入可得 1y，当 x时， 0y时，代入可得 2y，因此有函数的极大值为 (1)，极小值为 ()。18、 【答案】（）证：因为
12、 0()limxf，由极限的局部保号性知，存在 (0,)c，使得 ()0fc，而 (1)f，由零点存在定理可知，存在 (,1)c，使得 f。（）构造函数 ()()Ffx，因此 0(),()()FFf，因为 0()limxf，所以 (0)f，由拉格朗日中值定理知，存在 (0,1)，使得1)ff，所以 ()0f，因此根据零点定理可知存在 (,)，使得 1(f，所以 11()F，所以原方程至少有两个不同实根。19、 【答案】 （）20xyz；（）64。【解析】 （） C的方程为2x，投影到 xOy平面上为2(1)0xyz（） 22(,)9MuxyzdSyzdS， 22()dxxy因此有 2cos2
13、32014918cos64Mxydrdd。20、 【答案】 （）略；（） (,)(,)TTkkR。【解析】 （）证：因为 A有三个不同的特征值，所以 A不是零矩阵，因此 ()1rA，若()1rA，那么特征根 0 是二重根，这与假设矛盾，因此 ()2r，又根据 32，所以 2，因此 ()2r。（）因为 ()，所以 Ax的基础解系中只有一个解向量，又 312，即1230，因此基础解系的一个解向量为 (1,2)T。因为 3，故Ax的特解为 (1,)T，因此 x的通解为 (,)TkkR。21、 【答案】 2a，正交矩阵32603326Q【解析】二次型对应的矩阵为214Aa，因为标准型为 21y，所以 0A，从而 46a，即 2a，代入得240412EA，解得 ,36；当 0时，142EA，化简得 0，对应的特征向量为1,2Tk；当 3时，5124EA，化简得120，对应的特征向量为
