1、第二十四章 圆 知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣1一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹
2、是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；r2、直线与圆相切 有一个交点；d3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、圆与圆的位置关系(选记)外离 无交点 ；Rr外切 有一个交点 ；d相交 有两个交点 ；内切 有一个交点 ；内含 无交点 ； r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
3、的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， O弧 弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周
4、角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或AB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABO 是直角三角形或 90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定
5、理。八、圆内接四边形rddCBAOOE DCBAOC DA BFEDC BAOCBAOD CBAOCB AOCB AOEDCBA第二十四章 圆 知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣2圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过
6、圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O十一、圆幂定理(选记)（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，ABCDP P（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，OAB 2CE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
7、即：在 中， 是切线， 是割线PAB 2PACB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：在 中， 、 是割线 OEPCBD十二、两圆公共弦定理(选记)圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12AB即： 、 相交于 、 两点 垂直平分O2 12OAB十三、圆的公切线(选记)两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtC221ABC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半O2O径之和 。十四、圆内正多边形的计算(选记)正多边形计算的解题思路： 直 角 三 角 形等 腰 三 角
8、形正 多 边 形 转 化作 垂 线 段转 化连 接 ODOAB可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：CRtB:1:32ODB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2AEO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .tB:3B十五、扇形、圆柱、圆锥和弓形的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 2136SlNM AOPBAOPO DCBAO EDCB AD EC BPAOBAO1 O2CO2O1BADCB AOECBA DOBAOS
9、 lBAO第二十四章 圆 知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣3：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRlS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： V3、圆锥（1）侧面展开图 =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 213h4、弓形（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB 的面积和AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示，
10、当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，圆有关问题辅助线的常见作法半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线
11、垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm.2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在 中，弦 ，且 ，垂足为 ， 于 ，OCDABHABOE于 .
12、CDOF（1）求证：四边形 是正方形.EHF（2）若 ， ，求圆心 到弦 和 的距离.394、已知：ABC 内接于 O，AB=AC ，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求AB 的长5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点， A 是 的中点，ADBC 于D，求证：AD= BF.21 C1D1DCBAB1RrC BAO 第二十四章 圆 知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣4例题 3、度数问题已知：在 中，弦 ， 点到 的距离等于 的一半，求： 的度数和Ocm12ABOABABAOB圆的半径.例题 4、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm
13、，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题 5、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、 D 两点，设大圆和小圆的半径分别为 .求证： .ba, 2baBA例题 6、利用切线性质计算线段的长度如图，已知：AB 是O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，又PC=4，O 的半径为 3求：OD 的长例题 7、利用切线性质计算角的度数如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，AECD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且 AF=BF求：A 的度数例题 8、利用切线性质证明角相等如图，已知：AB
14、 为O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN=MDN例题 9、利用切线性质证线段相等如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD 切O 于 D，AD 交 CO 于 E求证：CD=CE第二十四章 圆 知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣5例题 10、利用切线性质证两直线垂直如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于E求证：DEAC例题 11、有关阴影部分面积计算如图，线段 AB 与O 相切于点 C，连结 OA，OB ，OB 交O 于点 D，已知 6AB， 3（1）求O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积COA BD
