1、第 1 页（共 40 页）初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：边边边（ ）：三边对应相等的两个三角形全等.S边角边（ ）：两边和它们的夹角对应相等的两个
2、三角形全等.A角边角（ ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.角角边（ ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.S斜边、直角边（ ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形HL全等.4.角平分线：画法：性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.第 2 页（共 40 页）5.证明的基本方法：明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.初二全
3、等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)一选择题（共 14 小题）1（2013西宁）使两个直角三角形全等的条件是（ ）A一个锐角对应相等 B两个锐角对应相等C一条边对应相等 D两条边对应相等【解答】D、若一直角边对应相等，一斜边对应相等，可证全等，故 D 选项正确故选：D【点评】HL 可全等2（2013安顺）如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADFCBE 的是（ ）AA=C BAD=CB第 3 页（共 40 页）CBE=DF DADBC【分析】求出 AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可【解答】解：AE=CF，AE+EF=C
4、F+EF，AF=CE，A、在ADF 和CBE 中ADFCBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据 AD=CB，AF=CE，AFD=CEB 不能推出ADFCBE，错误，故本选项正确；C、在ADF 和CBE 中初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题知识点：1.基本运算：同底数幂的乘法： mna幂的乘方： n积的乘方： b2.整式的乘法：单项式 单项式：系数 系数，同字母 同字母，不同字母为积的因式.单项式 多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.多项式 多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：平方差公式： 2abab第 4 页（共 40 页）完全平方公式
5、： ；22abab22ab4.整式的除法：同底数幂的除法： mn单项式 单项式：系数 系数，同字母 同字母，不同字母作为商的因式.多项式 单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.多项式 多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：提公因式法：找出最大公因式.公式法：平方差公式： 2abab完全平方公式： 22立方和： 3()立方差： 22abab十字相乘法： 2xpqxpxq拆项法 添项法初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题一选择题1（2015甘南州）下列运算中，结果正确的是（ ）Ax 3x3=x6 B3x 2+
6、2x2=5x4 C（x 2） 3=x5 D（x+y） 2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断【解答】解：A、x 3x3=x6，本选项正确；B、3x 2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x 2） 3=x6，本选项错误；D、（x+y） 2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选 A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键第 5 页（共 40 页）2（2008南京
7、）计算（ab 2） 3的结果是（ ）Aab 5 Bab 6 Ca 3b5 Da 3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可【解答】解：（ab 2） 3=a3（b 2） 3=a3b6故选 D【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘3（2011呼和浩特）计算 2x2（3x 3）的结果是（ ）A6x 5 B6x 5 C2x 6 D2x 6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案【解答】解：2x 2（3x 3），=2（3） （x 2x3），=6x 5故选：A【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性
8、质4（2005茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）Aa（x+y）=ax+ay Bx 24x+4=x（x4）+4C10x 25x=5x（2x1） Dx 216+3x=（x4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解【解答】解：A、是多项式乘法，故 A 选项错误；B、右边不是积的形式，x 24x+4=（x2） 2，故 B 选项错误；C、提公因式法，故 C 选项正确；D、右边不是积的形式，故 D 选项错误；故选：C【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断5（2017 春 薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解
9、因式的是（ ）Aa 2+（b） 2 B5m 220mn Cx 2y 2Dx 2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反【解答】解：A、a 2+（b） 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 A 选项错误；B、5m 220mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故 B 选项错误；C、x 2y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 C 选项错误；D、x 2+9=x 2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故 D 选项正确故选：D【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反6（2013张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式
10、分解的是（ ）Ax 2+x+1 Bx 2+2x1 Cx 21 Dx 26x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、x 2+x+1 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故 A 错误；B、x 2+2x1 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故 B 错误；C、x 21 不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故 C 错误；D、x 26x+9=（x3） 2，故 D 正确第 6 页（共 40 页）故选：D【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记7（2009眉山）下
11、列因式分解错误的是（ ）Ax 2y 2=（x+y）（xy） Bx 2+6x+9=（x+3） 2 Cx 2+xy=x（x+y） Dx 2+y2=（x+y） 2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解【解答】解：A、是平方差公式，故 A 选项正确；B、是完全平方公式，故 B 选项正确；C、是提公因式法，故 C 选项正确；D、（x+y） 2=x2+2xy+y2，故 D 选项错误；故选：D【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握8（2015菏泽）把代数式 ax24ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是（ ）Aa（x2） 2 Ba（x+2） 2 Ca（x4） 2
12、 Da（x+2）（x2）【分析】先提取公因式 a，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：ax 24ax+4a，=a（x 24x+4），=a（x2） 2故选：A【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底9（2016 秋 南漳县期末）如（ x+m）与（x+3）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ）A3 B3 C0 D1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把 m 看作常数合并关于 x 的同类项，令 x 的系数为 0，得出关于 m 的方程，求出 m 的值【解答】解：（x+m）（x+3）=x 2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
13、又乘积中不含 x 的一次项，3+m=0，解得 m=3故选：A【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于 0列式是解题的关键10（2009 内江）在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ab）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A（a+b） 2=a2+2ab+b2 B（ab） 2=a22ab+b 2Ca 2b 2=（a+b）（ab） D（a+2b）（ab）=a 2+ab2b 2第 7 页（共 40 页）【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是 a 的正方形的面积减去边长
14、是 b 的小正方形的面积，等于 a2b 2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（ab）的长方形，面积是（a+b）（ab）；这两个图形的阴影部分的面积相等【解答】解：图甲中阴影部分的面积=a 2b 2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（ab），而两个图形中阴影部分的面积相等，阴影部分的面积=a 2b 2=（a+b）（ab）故选：C【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式11（2013 枣庄）图（1 ）是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方
15、形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）Aab B（a+b） 2 C（ab） 2 Da 2b 2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是 a+b2b=ab，则面积是（ab） 2故选：C【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键12（2012 枣庄）如图，从边长为（ a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形（a0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A（2a 2+5a）cm 2 B（6a+15）cm 2 C（6a+9）cm 2D（3
16、a+15）cm 2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解【解答】解：矩形的面积是：（a+4） 2（a+1） 2=（a+4+a+1）（a+4a1）=3（2a+5）=6a+15（cm 2）故选 B【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键二填空题（共 13 小题）13（2015 黄石）分解因式： 3x227= 3（x+3）（x3） 第 8 页（共 40 页）【分析】观察原式 3x227，找到公因式 3，提出公因式后发现 x29 符合平方差公式，利用平方差公式继续分解【解答】解：3x 227，=3（x 29），=3（x+3）
17、（x3）故答案为：3（x+3）（x3）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式14（2013 上海）分解因式： a21= （a+1）（a1） 【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式平方差公式：a 2b 2=（a+b）（ab）【解答】解：a 21=（a+1）（a1）故答案为：（a+1）（a1）【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键15（2013 邵阳）因式分解： x29y 2= （x+3y）（x3y） 【分析】直接利用平方差公式分解即可【解答】解：x 29y 2=（x+3y）（x3y）
18、【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键16（2017 大庆）分解因式： x34x= x（x+2）（x2） 【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：x 34x，=x（x 24），=x（x+2）（x2）故答案为：x（x+2）（x2）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止17（2016 乐山）因式分解： a3ab 2= a（a+b）（ab） 【分析】观察原式 a3ab 2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a2b 2是平方差公式，利用平方差公式
19、继续分解可得【解答】解：a 3ab 2=a（a 2b 2）=a（a+b）（ab）【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）18（2013 三明）分解因式： x2+6x+9= （x+3） 2 【分析】直接用完全平方公式分解即可【解答】解：x 2+6x+9=（x+3） 2【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键19（2017 咸宁）分解因式： 2a24a+2= 2（a1） 2 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式=2（a 22a+1）第 9 页（共 40 页
20、）=2（a1） 2故答案为：2（a1） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键20（2015 西藏）分解因式： x36x 2+9x= x（x3） 2 【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：x 36x 2+9x，=x（x 26x+9），=x（x3） 2故答案为：x（x3） 2【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式21（2008 大庆）分解因式： ab22ab+a= a（b1） 2 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：
21、ab 22ab+a，=a（b 22b+1），=a（b1） 2【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解22（2013 安顺）分解因式： 2a38a 2+8a= 2a（a2） 2 【分析】先提取公因式 2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：2a 38a 2+8a，=2a（a 24a+4），=2a（a2） 2故答案为：2a（a2） 2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止23（2013 菏泽）分解因
22、式： 3a212ab+12b 2= 3（a2b） 2 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案【解答】解：3a 212ab+12b 2=3（a 24ab+4b 2）=3（a2b） 2故答案为：3（a2b） 2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底24（2013 内江）若 m2n 2=6，且 mn=2，则 m+n= 3 【分析】将 m2n 2按平方差公式展开，再将 mn 的值整体代入，即可求出 m+n 的值【解答】解：m 2n 2=（m+n）（mn）=（m+n
23、）2=6，故 m+n=3故答案为：3【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（ab）=a 2b 225（2014 西宁）如图，边长为 a、b 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，则 a2b+ab2的值为 70 第 10 页（共 40 页）【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可【解答】解：a+b=7，ab=10，a 2b+ab2=ab（a+b）=70故答案为：70【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力三解答题（共 15 小题）26（2006 江西）
24、计算：（ xy） 2（y+2x）（y2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项【解答】解：（xy） 2（y+2x）（y2x），=x22xy+y 2（y 24x 2），=x22xy+y 2y 2+4x2，=5x22xy【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化27（2013 春 苏州期末）若 2x+5y3=0，求 4x32y的值【分析】由方程可得 2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为 2 的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可【解答】解：4 x32y=22x25y=22x+5y2x+
25、5y3=0，即 2x+5y=3，原式=2 3=8【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键28（2009 十堰）已知： a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a 2b+ab2（2）a 2+b2【分析】（1）把代数式提取公因式 ab 后把 a+b=3，ab=2 整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解【解答】解：（1）a 2b+ab2=ab（a+b）=23=6；（2）（a+b） 2=a2+2ab+b2a 2+b2=（a+b） 22ab，=3222，=5【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将 a+b=3，ab=2 整体代入解答
