1、数值分析 题库 第 1 页 共 30 页 一 单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1 在下列四个数中，有一个数具有 4 位有效数字，且其绝对误差限为 51021 ，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2 设方阵 A 可逆，且其 n 个特征值满足： n .21 ，则 1A 的主 特征值是（ ） A 11 B n1 C 1 或 n D 11 或n1 3 设有迭代公式 fxBx kk )()1( 。若 |B| 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A
2、解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯 塞德尔迭代法 二 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1 设有方程组02132432132132xxxxxxxx， 则 可 构 造 高 斯 塞 德 尔 迭 代 公 式 为 2 设111112101A ，则 A 3 设 1)0(,2 2 yyxy ，则相应的显尤 拉公式为 1ny 4 设 1)( axxf , 2)( xxg 。若要使 )(xf 与 )(xg 在 0， 1上正交，则 a = 5 设 Tx )1,2,2( ，若
3、有平面旋转阵 P，使 Px 的第 3 个分量为 0，则 P = 三 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1 求 27 的近似值。若要求相对误差小于 0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 数值分析 题库 第 2 页 共 30 页 2 设 42)( xxxf ,若在 -1， 0上构造其二次最佳均方逼近多项式 ,请写出相应的法方程。 3 设有方程组 1221122321321321xxxxxxxxx，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 4 试确定常数 A， B， C 及 ，使求积 公式 )()0()()(11 CfBfAfdxxf 为高斯求积公式。 5设有向量 Tx )2,1,2( ，试构造
4、初等反射阵 H，使 TxH )0,0,3( 。 四 证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1设有迭代公式32 421 kkk xxx，试证明该公式在 4*x 邻近是 2 阶收敛的，并求21 )4( 4lim kkK xx。 2.设 yx, 是 n 维列向量， Q 为 n 阶正交矩阵，且 y Qx ，试证22 xy 。 模拟二 一、 单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1 在下列四个数中，有一个数具有 4 位有效数字，且其绝对误差限为 51021 ，则该数是（ ）。 A 0.00217 B 0.02170 C 0.21700 D 2.17000 2 已知 是 A 的特征值， p 是给
5、定参数，则 B=A-pE的特征值是（ ）。 A +p B -p C +2p D -2p 3 设有迭代公式 fxBx kk )()1( ，则 |B| 3 D. 3 3、若迭代公式 )(1 kk xx 是 p 阶收敛，则 pkkk xx xx )(lim *1 （ ）。 A. B. p! C. )( *)( xp D. !/)( *)( pxp 4、设 )(xLn 和 )(xNn 是相同的插值条件下关于 )(xf 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（ ）。（其中 nj jxxxw 0 )()(） A. )(, . . . ,)!1( )( 10)1( xwxxxfnf nn B. )(
6、)!1( )()()()1( xwnfxNnxfn C. )(, . . . ,)()( 10 xwxxxxfxLnxf n D. )(, . . . ,)()( 10 xwxxxxfxLnxf n 、称函数 )(x 为 a,b上的三次样条函数，是指 )(x 满足条件（ ）。 A. 为分段三次多项式且有二阶连续导数 B. 为分段三次多项式且有三阶连续导数 C. 为分段函数且有任意阶导数 D. 为分段三次埃尔米特插值多项式 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 、若已知 x 的相对误差为 %1 ，则 )(xf 10x 的相对误差为 。 、设 1)( 3 xxf ，则过节点，的二次牛顿插值多
7、项式为 。 数值分析 题库 第 8 页 共 30 页 、设有求积公式 )31()31( 10 fAfA 是插值型求积公式，则 0A ， 1A 。 、设 xxf )( ，若其在，上与 baxxg 2)( 带权 xxp )( 正交，则 a 与 b的关系为 。 、设求解 082 x 的牛顿迭代公式平方收敛， kx 是相应迭代序列值，则21 )22(22lim kkk xx 。 三、 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 、已知数据表如下 x -1 0 1 3 y -1 1 3 31 y 4 28 试求 )0(y 及 )1(y 的近似值。 、确定参数 cba , ，使积分 dxxxcbxaxcba
8、I 221122 1 11),( 取得最小值。 、设 00)( 3 23 2xx xxxf试确定用牛顿法求解 0)( xf 时的收敛性及收敛阶数。 、已知迭代公式 bxBx kk )()1( ，设 为 B 的任意特征值，设确定使迭代公式收敛的 的取值范围。 、设424480460A ，求其 QR 分解。 四、 证明题（每小题 10 分，共 20 分） 、 设 nkkk xaxf0)(有 n 个不同的实根 nxxx ,., 21 ，证明 )0(1200)(11 nnnk kjkanja njxf x、 设 A 是对称矩阵， )1|(|, 2xx 是 A 的一个特征值及其相应的特征向量。又设 P
9、是一个正交阵，使 TePx )0,.,0,0,1(1 证明： TPAPB 的第一行和第一列除了 外，其余元素均为零。 模拟六 数值分析 题库 第 9 页 共 30 页 一、 单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 6 若某个迭代公式 )(1 kk xx 是三阶收敛的， *1 xee kk ， c 是非零常数，则当 k时，有（ ） A ceekk 1B ceekk 31C 31 kk ee D ceekk 3 1 7 已知 是 A 的特征值， p 是给定参数，则 B=A-pE的特征值是（ ） A +p B -p C +2p D -2p 8 龙贝格算法是求（ ）的算法。 A 微分方法 B 插值
10、函数 C 数值积分 D 线性方程组 9 若 0EB ，则谱半径（ ） A 1)( B B 1)( B C 1)( B D 1)( B 10 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 高斯 塞德尔迭代法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 追赶法 二、 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 若某近似数具有 6 位有效数字，已知第 一个非零数字在个位上，则其绝对误差限为 。 2、 求 1)( 2 xxf 在 0， 1上的一次最佳均方逼近多项式时所用的法方程为 。 3、 设 1)0(,2 2 yyxy ，则相应的显尤拉公式为 1ny 。 4、 矩阵的条件数是用来判断线性方程
11、组是否为 。 5、 设 Tx )2/1,1,1( ，若有平面旋转阵 P，使 Px 的第 3 个分量为 0，则 P= 。 三、 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1、 为了使计算圆面积 2RV 时的相对误差小于 1%，问 R 的允许相对误差界应是多少？ 2、 用顺序消去法解线性方程组xxxxxxxxx3、 试确定常数 A， B， C 及 ，使求积公式 )()0()()(22 CfBfAfdxxf 有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。 4、 设有向量 Tx )2,1,2( ，试构造初等反射阵 H，使 TxH )0,0,3( 数值分析 题库 第 10 页 共 30 页 5、
12、用尤拉方法求解初值问题1)0()10(2yxyxyy 步长取 0.2,迭代 2 次。 四、 证明题（共 20 分） 1设迭代函数 )(x 在区间 a,b上对任意 , bax 总有 bxa )( ，且 1)( x ，试证明)(xx 在 a,b内有且仅有一个解。 2设 )( xl k (k= 0, 1, 2, ,n)是 n 次拉格朗日插值基函数，试证： nkjkjk xxlx0 )(。（ j = 0, 1, 2, , n） 模拟七 一、 单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1、 若下列数中，有一个数具有 4 位有效数字，且其绝对误差限为 51021 ，则该数是（ ） A 0.001523
13、B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2、 已知 A 的某一特征值是 ， p 是给定参数，则 B=A-pE对应 的特征值是（ ） A +p B -p C +2p D -2p 3、 若某个迭代公式 )(1 kk xx 是三阶收敛的， *1 xee kk ， c 是非零常数，则当 k时，有（ ） A ceekk 1B ceekk 31C 31 kk ee D ceekk 3 1 4、 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解 A 雅可比迭代 B 高斯 -塞德尔迭代 C 平方根法 D 追赶法 5、 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯 塞德尔迭代法 五、 填空题（每小题 4，共 20） 1、 设有方程组021642232132132xxxxxxxx，则可构造高斯 塞 德 尔 迭 代 公 式 为
