1、1人教版九年级数学知识点总结21.1 一元二次方程易错点： a0 和 a=0 方程两个根的取舍知识点一 一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2； 是整式方程。知识点二 一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax 2 + bx + c = 0(a 0).其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方
2、程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2 降次解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 x2=a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得 x1= ,x2= .a（2） 直接开平方法适用于解形如 x2=p 或(mx+a) 2=p(m0)形式的方程，如果 p0，就可以利用直接开平方法。（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移
3、项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 配方法解一元二次方程2通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1） 把常数项移到等号的右边；（2） 方程两边都除以二次项系数；（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法知识点一 公式法解一元二次方程（1） 一般地，对于一元二次方程
4、ax2+bx+c=0(a0)，如果 b2-4ac0，那么方程的两个根为 x= ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我acb24们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的过程。（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0(a0)，一般 a 化为正值 确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； 求出 b2-4ac 的值； 若 b2-4ac0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，
5、若 b2-4ac0，则方程无实数根(有虚数根- 高中学)。知识点二 一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b 2-4ac.0，方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根=0，方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根0，方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数根 21.23 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程（1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。根的判别式3（2） 因式分解法的详细步骤
6、： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二 用合适的方法解一元一次方程方法名称 理论依据 适用范围直接开平方法 平方根的意义 形如 x2=p 或（mx+n） 2=p(p0)配方法 完全平方公式 所有一元二次方程公式法 配方法 所有一元二次方程因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x2+px+q=0
7、 的两个根为 x1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程 a2x+bx+c=0(a0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2=， ,x1x2=abc21.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。（5） 验：是指检验方
8、程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6） 答：写出答案。知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1） 数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是4100a+10b+c.（2） 增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a（1 ） 2=b。x（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总
9、销 售量；利润=成本利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。22. 二次函数知识点归纳一、相关概念及定义1 二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次2yaxbca，0a函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数bc，的定义域是全体实数2 二次函数 的结构特征：2yaxbc（1）等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx（2） 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc， bc二、二次函数各种形式之间的变换1 二次函
10、数 用配方法可化成： 的形式，其中cxay2 khay2.kh4，2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ；2axykxy2； ； .2xaykhxay2 cbxay2三、二次函数解析式的表示方法1 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2bcbc02 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()yxkk3 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12a0a1x2x4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点40bac式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、
11、二次函数 图象的画法2yaxbc1 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口2yxc2()yaxhk方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ，y0c，0c， 2hc， 10x（若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.20x，x2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy55、二次函数 的性质2axy六、二次函数 的性质2yaxc七、二次函数 的性质：2yaxh八、二次函数 的性质2yaxhk的符号a开口方向 顶点坐标 对称
12、轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时， 随0xyx0xy的增大而减小； 时， 有最小值 0ya向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随的增大而增大； 时， 有最大值 xx的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时， 随0xyx0xy的增大而减小； 时， 有最小值 0yc0a向下 0c，轴y时， 随 的增大而减小； 时， 随0xyx0xy的增大而增大； 时， 有最大值 0yc的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值yy00a向下 0，X
13、=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大值y y0的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值yyk0a向下 hk，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大值y yk6九、抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2yaxbc1 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；a 0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2 对称轴：平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .y2bxy0x3 顶
14、点坐标： ），（ abc4224 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口a方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线 中， 与函数图像的关系cbxy2b,1 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2a0a 当 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口a a的大小2 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴b 在 的前提下，0a当 时
15、， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02ay当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；bb当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧002ay 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；bb当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；002ay当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧bb总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b总结：3 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵
16、坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab，十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1 公式法： ，顶点是 ，对称轴是直abcxacxy4222 ），（ abc422线 .abx72 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( ,khxay2 h)，对称轴是直线 .khx3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1 一般式：
17、 .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy2 顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh3 交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .1x2 21xay十三、直线与抛物线的交点1 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c2 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbay2 hcb23 抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是xxx1x2对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元02二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点
18、在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.4 平行于 轴的直线与抛物线的交点x可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa5 一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方0nyl 0acbxyG程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 2xabc l方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl6 抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，cbxay2 021， xBA由于 、 是方程 的两个根，故1x2 02
19、xacb1, acbacbxxxxAB 442221212121十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；hk hk2 关于 轴对称关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yxcy 2yxc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；ak ak3 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yxbc 2yxbc8关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxhk 2yaxhk4 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2bc22bca关于顶点对称
20、后，得到的解析式是 yaxhk yaxhk5 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2mn， 2mnk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十五、二次函数图象的平移1.平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax
21、h， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22 平移规律在原有函数的基础上 “ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” 概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.三点式。（1）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ ，0） ， B（ ，0） ，C（0，-3）三点，求抛物线332的解析式。（2）已知抛物线 y=a(x-1) +4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式。2.顶点式。（1）已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为
22、 A（2，1） ，求抛物线的解析式。（1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1） ，求抛物线的解析式。3.交点式。（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。（2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0） ， （1，0）求抛物线 y= a(x-2a)(x-b)的解析式。214.定点式。（1）在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 经过 x 轴上一定点52axyQ，直线 经过点 Q,求抛物线的解析式。2)(xay（2）抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛
23、物线的解析式。9（3） 抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。5.平移式。（1）把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。（2）抛物线 向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.3xy6.距离式。（1）抛物线 y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。7.
24、对称轴式。（1）抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y 轴于点 C,且OB-OA= OC，求此抛物线的解析式。438.对称式。（1）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-10，0） ，AC=16，D（2，6） 。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B 到 B1 的位置，求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式。（2）求与抛物线 y=x2+4x+3 关于
25、 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。9.切点式。（1）已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。（2） 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。10.判别式式。（1）已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3 解析式。（2）已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式。23 旋转23.1 图形的旋转知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点
26、O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二 旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：10（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三 利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等
27、，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； 转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 接：即连接到所连接的各点。23.2 中心对称知识点一 中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180两个图形能够完全重合。知识点二 作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图
28、形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点三 中心对称的性质有以下几点：（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知识点四 中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五 关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点 p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y） 。24 圆
