1、1第六讲 数项级数的敛散性判别法1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理 ：设 ， 都是正项级数，存在 ，使I1nuv0c(,23.)ncv（i） 若 收敛，则 也收敛；（ii） 若 发散，则 也发散1n1nu1nu1nv比较原理 （极限形式）设 ， 均为正项级数，若I1nvlim(0,)nulv则 、 同敛散1n根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法定理 1（柯西判别法 1）设 为正项级数，nu（i）若从某一
2、项起（即存在 ，当 时）有 （ 为常数） ，N1nuq则 收敛；1nu（ii）若从某项起， ，则 发散1nun证（i）若当 时，有 ，即 ，而级数 收敛，Nnqnuq1n根据比较原理 知级数 也收敛I1nu（ii）若从某项起， ，则 ，故 ，由级数收敛的必要条件知lim0nu2发散定理证毕1nu定理 2（柯西判别法 2） 设 为正项级数， ，则：（i）当 时，1nulimnur1r收敛；（ii） 当 （或 ）时， 发散；（iii）当 时，法则1nur1n失效例 1 判别下列正项级数的敛散性； 23()()()35721n ne=1(2)（ 为任何实数， ） nx=10x解 (1) 因为 ，所以
3、原级数收敛1lim2nru(2) 因为 ，所以原级数发散liline(3) 对任意 ， 当 时收敛；当 时发散；当 时，nrux011x1x此时级数是 级数，要对 进行讨论，当 ，即 时收敛；当p时，即 时发散1例 2 判别级数 的敛散性12()3nn解 由于 2(1)limli()lim3nnnnu不存在，故应用定理 2 无法判别级数的敛散性又因为1()() 13nnnn q由定理 1（柯西判别法 1）知原级数收敛例 3（98 考研）设正项数列 单调减少，且 发散，试问级数na1()na3是否收敛？并说明理由1nna解 答案：级数 收敛，证明如下：1nn由于 单调减少且 根据单调有界准则知极
4、限 存在设na0,alimna则 如果 则由莱布尼兹判别法知 收敛，这与lim,n, 1()n发散矛盾，故 再由 单调减少，故 取 ，1()nna0ana0,a1qa101nnuq根据柯西判别法 1 知 收敛nna下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法定理 3（广义柯西判别法 1） 设 为正项级数，如果它的通项 的1nunu次根的极限等于 ，即 则当 时，级数收敛；当 时，0anbrlimabnnr11r级数发散；当 级数可能收敛也可能发散r证 因为 ，即对任给正数 ，存在正整数 ，当 时，有 limanbu1N1n（1）nrr对于任给常数 ，总存在 ，当有 时有b2N2n（2）
5、0a取 ，当 时，式（1）和式（2）同时成立12mx,N当 时，取 足够小，使 由上述讨论，存在 ，当 时，式rrqNn（1）和式（2）同时成立，那么有 ，正项级数 收敛（因为anbu11()anbanqq其为等比级数且公比 ） ，由比较审敛法知，级数 收敛01nq1nu4当 时，取 足够小，使 ，由上面的讨论，存在 ，当 时，式1r1rqNn（1）和式（2）同时成立，则 ，正项级数 发散，由比较审anbu11()anbanqq敛法知，级数 发散 1n当 时，取 ，那么，对任何 为常数，rnpu0,ab有 而 发散， 收敛说明此时级数可能收敛也可/()limli1anbpanbn1n21n能发
6、散定理证毕例 4 判别级数 的收敛性2113nn解 因为 由广义柯西判别法 1 知，级数2limli0,u收敛113nn注 例 4 也可用柯西判别法 2(定理 2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法 1 要简单得多定理 4（广义柯西判别法 2） 设 为正项级数，如果它的一般项 的 （ 是大1nunum于 1 的正整数）次根的极限等于 ，即 则当 时，级数收敛；当 时，rlimnr11r级数发散；当 时，级数可能收敛也可能发散1r证 因为 ，即对任给的正数 ，存在正整数 ，当 时有limnuNnnrr当 时，取 足够小，使 由上面的讨论，存在 ，当 时，11rqN有 因为 ，又正项级数 收敛（因
7、） ，由比较审敛法知mnuqmn1n(0,1)q收敛 ，所以 收敛1mn1nu当 时，取 足够小，使 由上面的讨论，存在 ，当 时，有r1rqNn5，那么 ，所以级数 发散1mnuqli0nu1nu当 时，同样取 ，那么r1np1/1lililimmmPPnp nn这说明 时，级数可能收敛也可能发散定理证毕r注 广义柯西判别法是柯西判别法 2(定理 2)的推广1事实上，在广义柯西判别法 1 中，取 ，在广义柯西判别法 2 中，取 便得定理 2（柯西判别法 2） 1,0ab1例 5 判断级数 的收敛性 21nn解 因为 ，由广义柯西判别法 2 知原级222 1limlilim12nnnu数收敛定
8、理 5（广义柯西判别法 3） 设 ，若,0,(,)nnwuv， 则当 时，级数 收敛；当 时，级数linu1linv11nw1uv发散21nw为证明定理 5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设 、 为两个数列，数列 在某顶之后单调递增,且nabnb，若 ， （或 ） ，则 （或 ） limnb1linnllimnal命题 1 设数列 若 ，则 。xlimnxl12i linnnxxx证 令 ， ，由 Stolz 定理，12na b12limlili(1)nnnnxxxxl命题证毕命题 2 设 ， ，则 0na(,2) limna12lilimnnnaa证 由 ，考虑数列 ，由对数函数的连续
9、性易知 再li6由命题 1 知 1212lnlnliminnaaa根据指数函数的连续性便得 12lnln12liim,aanne或 时，结论仍成立，这里证明略去0a命题 3 设 ， ，则 nv1linv1lilinnvv证 令 ， ，由命题 21a1(2,3)n1 1limlilimlinnnnnvva命题证毕证明定理 5 由命题 3 知， 1lililililinnnnnvwuvuu再用柯西判敛法(定理 2) 便得结论定理证毕显然，定理 2(柯西判敛法 2)是广义柯西判别法 3 当 时的特例nv例 6 判定级数 的敛散性.21!12nnn解 设 ， 则nu!1nnv1limli,ne1 12
10、2lililimli,12nnn nv e 由于 ，根据广义柯西判别法 3 知，级数 收敛2e21!12nnn例 7 判定 的敛散性21134nnx07解 设 ，则213,4nnn xuv，2limli3nn1,01lilinnxv所以，当 时，级数 收敛当 时，由于0x21134nnx1x，1limlinnvu广义柯西判别法 3 失效然而 时1x2 4,12li4,nn xe由级数收敛的必要条件知，当 时级数 发散1x21134nnx2 达朗贝尔判别法及其推广用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法定理 6（达朗贝尔判别法 1） 设 为正项级数,1nu（i） 若从某项起 ，有 ，则 收敛；(
11、,)Nnq1nu（ii） 若从某项起 ，有 ，则 发散,1nu1n证明（i）由 时，有 ，从而n1nq， ， ，1Nuq221NNu 3Nuq ,kkNuq由于 收敛，由比较原理知 收敛，故 收敛1k1k1n8（ii）若存在 ，当 时，有 ，则 ，故 ，Nn1nu1nulim0n由级数收敛的必要条件知 发散定理证毕1n定理 7（达朗贝尔判别法 2）设 ，则（i）若 ，则1limnur1rnu收敛；（ii）若 （或 ） ，则 发散；（iii）若 ，敛散性不能确1r1n定这正是高等数学中的达朗贝尔判别法例 8 判别下列级数的敛散性； ； 1!()n23()n 1(3)(0,)ns解 （1）因为 ，
12、所以级数 收敛1limnure1!n（2） 因为 ，所以原级数发散1li2n（3） 对任意 ， 当 时，级数收0S11lili()nsnur01敛 ；当 时，级数发散；当 时原级数为 的敛散性要进一步判()s1sn定当 时级数收敛，当 时级数发散1S1S例 9 判别级数 的敛散性1()!24nn解 因为 11()(!(2)3()nnu 2133nn及 故存在 当 时，有 从而，当lim,2nne,Nn132n9时， 根据定理 6，可知级数 收敛nN12nu1()!24nn下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法定理 8（广义达朗贝尔判别法） 设 为正项级数， 是某正整数，1n
13、uk（i） 如果对一切 ，有 ，则级数收敛；nnkuq（ii） 如果 ，则级数发散1nk证（i） 由于 ，则 ，从而nkuqnknu1()1(1)1mmkkk2()2()2uqu (1)(1)mmkkkk其中 是任意正整数，可见，对 ，都有 考虑级数的部,2i li0mkiu分和序列 (1) 1 1)()()mkkkkkSuu 11 )mmk kqqu 1()ku即 有上界，从而 存在，设 注意到(1)mkS(1)limkS(1)limkS122(1) (1), ,k kkmkuu故 ，即 ，所以2()lilililimkmkmSSS linS收敛1nu10若 成立，则 ，从而 ，故 ，所以级
14、1nkunku1()10mkkuulim0nu数发散定理证毕例 10 判别级数 的收敛性2133n 解 取 ，由于2k,112,3nku为 奇 数为 偶 数根据定理 8 知该级数收敛定理 9（广义达朗贝尔判别法 2） 设 为正项级数， 是某一正整数，1nuklim()nkuq或 +（i） 如果 ,则级数收敛；（ii） 如果 ,则级数发散11q证 （i） 如果 ，对 ，存在 ，当 时，有q02Nn2nku从而 11nkqu由定理 8（广义达朗贝尔判别法 1）知 收敛nu如果 ，则从某项开始， 此时 ，故原级数发散1q00,nklim0n例 11 确定下列级数的敛散性（1） ；（2）(1)nn2sincos21.ne解 （1） 取 ，由于 ，所以原级数收敛k2()12limli4nnu
