1、 1第 4 章 不定积分内容概要名称 主要内容不定积分的概念设 ， ，若存在函数 ，使得对任意 均有 ()fxI()FxxI()Fxf或 ，则称 为 的一个原函数。dFfdxf的全部原函数称为 在区间 上的不定积分，记为()fx()fIxC注：（1）若 连续，则必可积；（2）若 均为 的原函数，则()f (),FxG()fx。故不定积分的表达式不唯一。()FxG性质 性质 1： 或 ；()()dfxf()()dfxfdx性质 2： 或 ；FCFC性质 3： ， 为非零常数。()()()fxgxfxgx,第一换元积分法（凑微分法）设 的 原函数为 ， 可导，则有换元公式：uu()()()fxdf
2、xdFxC 第二类换元积分法设 单调、可导且导数不为零， 有原函数 ，()t()ft()t则 1()fxdftdtFx分部积分法 ()()()uvuxvxvdu 不定积分 计算方法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，
3、几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！2课后习题全解习题 4-41、 求下列不定积分知识点：有理函数积分法的练习。思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。(1)3xd思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：3272739xxx232 27()(39)3197ln3C.dddxxx2(2) 5438d思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。
4、解：545342323 38()()()881,xxxxx 22而 (1),令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：238xABCxx解此方程组得：18CA843354332884311( )18ln4l3lnxxxddxxxC2(3) 3d思路：将被积函数裂项后分项积分。解： ，令 等式右边通分后比较两边分321()1)xx321ABxCx子 的同次项的系数得：解此方程组得：A+B=0C-32ABC32 2213()1xxx 2223 22222 22(1)1313()(41113()()(413ln1()()31() ()12lnl()3arctn().xxxddxdxxxxx
5、xxC(4) 3()d思路：将被积函数裂项后分项积分。4解：令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数3231()(1)()xABCxx得：，解此方程组得： 。0,2,AB0,1,2ABC3233221()()(1)21()()(1)xx xdddxx(5) 32(1)x思路：将被积函数裂项后分项积分。解： ，令33322(1)()(1)xx32321(1)()(1)ABCDxx等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：解此方程组得： 。032ABCD 2ABCD3231(1)()(1)xx332332222 12() ()1()11(1)lnl()43ln.1()xxxddxddx
6、Cx (6) 2dx思路：将被积函数裂项后分项积分。解： 2222()3()3()3()3xxxx 5；令 ，等式右边通221(3)()3xx2 23()3()ABCxxx分后比较两边分子 的同次项的系数得：解此方程组得：06592ABC 2 223()3()ABxxxC2 222 21()3()3()()3lnlln.3xxddxdxCC(7) 1d思路：将被积函数裂项后分项积分。解： 3323()1xxx令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：21ABCx解此方程组得：03 12ABC32211xxx 而 222222313()()()1xxxxx32 222231()1 1(
7、)ln()3()13dddxxx 2arctnlln(1)xxC62123arctnlxxC(8)21()dx思路：将被积函数裂项后分项积分。解：22211()()(1)xx22222()()()11()1dxddxxx又由分部积分法可知： 222()dxdx2222111()()xCxx(9) ()(3)dx思路：将被积函数裂项后分项积分。解： 313(1)2(3)(1)2()()2(1)2()xxxxx 令 ，()()ABCxxx等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：解之得：054362ABC3332322(1)()1Bxxx而 11()2xx7312(1)2(3) 23lnlln
8、3.22xxxddxxxC (10)21()d思路：将被积函数裂项后分项积分。解：22 211()()(1)xxxx令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：2 2()()ABCxx x；解之得： 。0,20,2ABCAB1,12ABC2 211(1)()xxx2 2()1(1)xxx2 2(1)2()ddxlnl1xCx11ln.C(11) 2()d思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：221()1ABxCxx8解之得：01ABC2211()0Axx 222222ln(1)()1lnl()l.dxddxxC(12) 22()1dx思
9、路：将被积函数裂项后分项积分。解： 222()1()1xx令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：222()ABCDx，解之得：0,0,0,1ABCA11, .2222 222()111() 1xxxdxdxdxdx22111lnl()arctn24lnt.xxxC(13) 41d思路：将被积函数裂项后分项积分。解： 422()(1)xxx令 ，等式右边通分后比较两边分子 的同次项的系数得：4221ABCD x9解之得：0221ACBD 241241ABC422 222222422()()4881 11()()1 81()()() 1 41()(xxxxxxxxxd d 221)(
10、)dxx 22 2222 2() 81111()()1() )xxd dxxxx2 21(1)()4()()ddxx2lnarctnarctn(1)84x C 2212l(rt).1xCx注：由导数的性质可证 2arctn()arctn()arctn1x本题的另一种解法：10224442222444222 2211111 1()()111()()()()()14()xdxxxdddxxdxxxdxxx 1( )(118)2(2dxx22 21()()1481() 121(2)arctnln482xddxxxdx Cxx 21arctnln48xC2 21l(arct).84xx注：由导数的性质可证 。22rtnrtan1x(14)2(1)dx思路：将被积函数裂项后分项积分。解：2221(1)()xx
