1、高二年级学科知识竞赛数学试卷第 I 卷（选择题）一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分不必要条件是:p1522myxypA B C D354m2已知集合 ， ，则 （ ）2|0x12|logxABA B C D1(0,)(,1)(,)(,)3.若数列 满足 ，则其前 10 项和为（ ）na2115,naNA B. C. D.2000504已知双曲线 的离心率为 ，左顶点到一条渐近线的距离为 ，则该双2,xyab62263曲线的标准方程为（ ）A B C D2184xy2168xy216xy218xy5设 是两条
2、不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）,mn,若 ，则 ； 若 ，则 ；/m,/,mnmn若 ，则 ； 若 ，则 .,n/nA. B. C. D.6.设 ，则下列恒成立的是（ ）0,1xyabA. B. C. D.abxyxyabxyab7已知函数 （ ， ， ）的部分图像如图所示，则函数()sin()fA0A2的解析式为（ ）()fxA B 2si()3x()2sin()6fxxC D()nfx8正方体 中， 是 的中点， 为底面 的中心， 为棱 上的任意1ABCDM1DOABCDP1AB一点，则直线 与直线 所成的角为（ ）OPA. B. C. D.与点 的位置有关45o
3、60o90oP9一只蚂蚁从正方体 的顶点 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1ABC位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）1CA. B. C. D.10函数 的图象是（ ）lncos2yxA B C D11.设点 分别为椭圆 的左右焦点， 为右准线，若在椭圆上存在点 M，使12,F210xyabl， ，点 M 到 的距离 成等比数列，则椭圆的离心率 的取值范围是（ ）12ldeA. B. C. D.,21,0,2120,12 已知全集 ，集合 ，集,|)(RyxU 2,1sin)4(cos|),( yxyA合 的补集 所对应区域的对称中心为 ，点 是线段
4、 上的动点，点 是ACMP0,8Q轴上的动点，则 周长的最小值为（ ）xPQA B C D 2410414248第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量 与 的夹角为 120，且| |2，| |3.若 ，且 ，则 = .AB AC AB AC AP AB AC AP BC 14正数 满足 ，则 的最小值为 .yx,2xy815.设 为等差数列 的前 n 项之和， ，则 .nSa941,309,36nnSaS16对于函数 ，有下列 4 个命题：si,021,2xfxf任取 ，都有 恒成立；12,0,12fxf ，对于一切 恒成立；*fx
5、kfkN0,函数 有 3 个零点；lnyx对任意 ，不等式 恒成立.0x2f则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. （10 分）已知 ，设命题 ：函数 在区间 上与 轴有两个不同的0ap21fxa0,1x交点；命题 ： 有最小值.若 是真命题，求实数 的取值范围.qgxxpqa18 （12 分）如图所示，已知二面角 MN 的大小为 60，菱形 ABCD 在面 内，A ，B 两点在棱 MN上，BAD60，E 是 AB 的中点，DO面 ，垂足为 O.(1)证明：AB平面 ODE；(2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值19 （12 分）如图所示，在
6、 中, 点 为 边上一点，且 为 的中点,ABCDBC1,BDEAC.3272,cos,3AEBD（1）求 的长；（2）求 的面积.20 （12 分）设函数 是定义域为 的奇函数；当 时， fx1,1,0x23fx（1）当 时，求 ；0,1x（2）对任意的 ，不等式 都成立，求 的取值范围,ax2cosinfxa21、 （ 12 分）已知椭圆的两个焦点为 ，且椭圆与直线 相切.12,0,F3yx求椭圆的方程；过 作互相垂直的直线 ，与椭圆分别交于 及 ，求四边形 面积的最大值和最小1F12,l ,PQ,MNPQN值.22 （12 分）已知数列 的前 项和为 ，对任意 满足 ，且 ，数列nanA
7、*N12nA1a满足 ，其前 9 项和为 63nb*2130,5nbNb（1）求数列 和 的通项公式；n（2）令 ，数列 的前 项和为 ，若对任意正整数 ，都有 ，求实数 的nacbncnTn2nTa取值范围；（3）将数列 的项按照“当 为奇数时， 放在前面；当 为偶数时， 放在前面”的要求进,n nanb行“交叉排列” ，得到一个新的数列： ，求这个新数列的前 项和123456,bb，nS参考答案一、选择题1 D 解析：方程表示焦点在 轴上的充要条件是 ，解得 ，所以选项中是y501m35m的充分不必要条件的是 ，故选 D.35m45m2 A 解析：依题意 ，故 .12,0,AB10,2AB
8、3.D 解析：由已知 1na4. A 解析： ，渐近线方程 ，因此左顶点到一条6,22ecb202xyyxb渐近线的距离为 ，即该双曲线的标准方程为 ，选 A.| ,3a 1845. D 解析：对于，有可能 ，故错误；对于 可能相交，故错误.所以选 D.m,6 .D 解析： xyab7. D 解析： 时， ，代入验证，排除 A，B，C 选项，故选 D.018. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 ，设 ， ，2(,0)Px(1,2)O， ， ， ，(0,21)M(,2)A(,2)OPx(0,1)M ，即 ，故夹角为 ，故选 C.01)1OPx OPA29 D 解析：
9、最短距离是正方体侧面展开图，即矩形 的对角线 （经过 ） 、或矩形1BC1AC1B的对角线 （经过 ） ，故视图为.1ABC1ACD10. A 解析：由偶函数排除 B、D, 排除 C.,0,1cos0yx11.A 解析：由题意 21221221aMFFeMFaMFce211ee12.B 解析：点 到直线 的距离（ 0， 4） cos(4)sin1xy直线 始终与圆21dcosin， i相切，24xy集合 表示除圆 以外所有的点组成的集合，A2241xy集合 表示圆 ，其对称中心CU0,4M如图所示：设 是点 关于直线线段 的对称点，设 ，M0, )(8yxyMab（ ， ）则由 求得 ，可得
10、1 0428ab 4 ab（ ， ）设 关于 轴的对称点为 ，易得 ，则直线 ，和线段的交点为 ，则此时，MxMmn（ ， ） （ ， -8） QMP的周长为 ，为PQ 410PQP最小值，二、填空题13. 解析:由 ( )( ) ( )2( )2 0，127 AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB 得34930，解得 .12714 9 解析:8816160292xyxyyxyxxy 15 21 解析： 15432nnnaaS n16 【解析】： 的图象如图所示， 的最大值为 ，最小值为 ，所si,012,xfxf )(xf11以任取 ，都有 恒成立，正确；12
11、,0,12fxf，故不正确；如图所示，函数)81()6()42()()( fff有 个零点；由题意，可得， ， ，ln1yfx3 )2,(kxkxf21(ma证明 ，即证明 ，又 ， ，所以 ，所kmi）（ k21k1)k以对任意 ，不等式 恒成立，所以对任意 ，不等式 恒成立正确故答案：0xxf)( 0xfx.三、解答题17. 解析：若 是真命题，则 为假命题且 为真命题.分别求出 为真时，参数 的范围，取pqpq,pqa其补集即得 为假时，参数 的范围，取交集即得实数 的取值范围.aa试题解析：若 真，则 即 .p0,1,f210,4a12a若 真， ，q,01,axgx10即 在 上是单
12、调递减的，要使 有最小值，则 在 上单调递增或为常数，,gxgx,a即 ， .10aa若 是真命题，则 为假命题且 为真命题，pqpq 即 或 .12,0a或 021aa实数 的取值范围为 .,218解：(1)证明：如图，因为 DO，AB ，所以 DOAB.连接 BD，由题设知，ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，所以 DEAB.而 DODE D，故AB 平面 ODE.(2)因为 BCAD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即ADO 是 BC 与 OD 所成的角由(1)知，AB平面 ODE，所以 ABOE .又 DEAB，于是DEO 是二面角 MN 的平面
13、角，从而DEO 60.不妨设 AB2，则 AD2，易知 DE .3在 Rt DOE 中，DODEsin 60 .32连接 AO，在 RtAOD 中，cosADO DOAD 419 （ 1）在 中， ,ABD2227 71cos,0,sin1cos1BB,1273sinsi 4AA由正弦定理 , 知 .siniADB172sin4BD（2）由（1）知 ，依题意得 ,在 中，由余弦定理得223ACEAC,即 ,2cosC29cos3D,解得 （负值舍去）.50D16D,1 32sin22ASAC从而 .34ADC20 （1）设 ，则 ，所以 ；0,1x1,0x23fxfx（2）由（1）知， ，所以
14、 ，23,fmax1ff因为 对 都成立，即 ，2cosin1fxa,x2maxcosin3f即 对 恒成立，2i3所以 ，即 ，2csoin12siin0所以 ，即 ，所以 的取值范围为 i0kZ|,kZ21.设椭圆的方程为 ；210xyab联立 得 有唯一根；213xyab222230xab所以 ，得2224aA 23又 ，所以 ，所以椭圆的方程为： 21ab2,1b21xy若 PQ 的斜率不存在或为 0 时， 2PQMNS若 PQ 的斜率存在，设为 ，则 MN 的斜率为k1k直线 PQ 的方程为 ，设yx12,xy联立 ，则222140xkky得 2211kPQkx同理 ,2MNk所以
15、= ，242411255PQN kkS221440k因为 ，当 时取等号，所以 ，248k2k220,1841k所以 ，所以四边形 PQMN 面积的最小值为 ，最大值为 2。221164,490k 6922 （1） ，数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，1nAnA2 ，即 ，112n*2nN ，*1 1nnaAn 又 ， 1a*nN ，数列 是等差数列，210nbnb设 的前 项和为 ， 且 ，nnB3796235b ， 的公差为 79bn *7351,2nbN（2）由（1）知 ，1nnac 1212342nnT n ，1 1232nTn设 ，则 ，nR 1142033nRnn数列 为递增数列，n ，1mi43对任意正整数 ，都有 恒成立， 2nTa43（3）数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ，na1nAnb52nB当 时， ；*2kN2532nkkSBk当 时， ，*41n 22115481nkkAk 特别地，当 时， 也符合上式；1S当 时， *4nkN2211254nkkkBk
