1、1成都市华阳中学课堂教学单元设计单元名称 不等式和绝对值不等式课型 新授课 知识与技能1 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。过程与方法能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题三维目标情感态度与价值观发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。重难点重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。难点：灵活应用不等式的基本性质。单元课时计划教 学 过 程 设 计 批 注一、新课引入：生活中为什么糖水加糖甜更甜
2、呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0)，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为 ，加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ，只要abma证 即可。怎么证呢? mab二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0ba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。22、不等式的基本性质：、如果 ab，那么 bb。(对称性)、如果 ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bc ac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 ab a+cb+c。推论：如果 a
3、b，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，那么 (n N，且 n1)nba、如果 ab 0，那么 (n N，且 n1)。三、典型例题：例 1、比较 和 的大小。)7(3x)6(4x分析：通过考察它们的差与 0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例 2、已知 ，求证： dcba, dbca例 3、已知 ab0，cd0，求证： 。四、课堂练习：1：已知 ，比较 与 的大小。xx13622：已知 ab0，cd0,求证： 。dbac五、课后作业：课本 第 1、2、3、4 题9P教学反思3成都市华阳中学课堂教学单
4、元设计单元名称 基本不等式 课型 新授课 知识与技能1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。过程与方法能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题三维目标 情感态度与价值观发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。重难点重点：均值不等式定理的证明及应用。难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。单元课时计划教 学 过 程 设 计 批 注一、知识学习：定理 1：如果 a、 bR，那么 a 2 b 2 2 ab（当且仅当 a b 时取“”号）证明： a 2 b 22 ab（ a b） 2当 a b 时， （ a b） 20，当
5、a b 时， （ a b） 20所以， （ a b） 20 即 a 2 b 2 2 ab由上面的结论，我们又可得到定理 2（基本不等式）：如果 a， b 是正数，那么 （当且仅当a b2 aba b 时取“”号）证明：（ ） 2（ ） 22a b ab a b2 ，即 aba b2 ab显然，当且仅当 a b 时， a b2 ab说明：1）我们称 为 a， b 的算术平均数，称 为 a， b 的几何平均a b2 ab4数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2） a 2 b 22 ab 和 成立的条件是不同的：前者只要求 a， ba b2 ab都是实数，而后者要
6、求 a， b 都是正数.3） “当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例 1 已知 x， y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x y 时，和 x y 有最小值 2 ； P（2）如果和 x y 是定值 S，那么当 x y 时，积 xy 有最大值 S214证明：因为 x， y 都是正数，所以 x y2 xy（1）积 xy 为定值 P 时，有 x y2x y2 P P上式当 x y 时，取“”号，因此，当 x y 时，和 x y 有最小值 2 .P（2）和 x y 为定值 S 时，有 xy S 2xyS2 14上式当 x=y 时取“”号，因此，当 x=y 时
7、，积 xy 有最大值 S 2.14说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在。例 2 ：已知 a、 b、 c、 d 都是正数，求证：（ ab cd） （ ac bd）4 abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由 a、 b、 c、 d 都是正数，得 0， 0，ab cd2 abcd ac bd2 acbd abcd（ ab cd） （ ac bd）4即（ ab cd） （ ac bd）4 abcd5
8、例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得l240000720（ x ）24000072021600x240000720240297600当 x ，即 x40 时， l 有最小值 2976001600x因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价
9、最低，最低总造价是 297600 元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.三、课堂练习：课本 P91练习 1，2，3，4.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业课本 P10习题 1.1 第 5，6，7 题教学反思6成都市华阳中学课堂教学单元设计单元名称 三个正数的算术-几何平均不等式 课型 新授课 知识与技能1能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明
10、一些简单的不等式，解决最值问题；2了解基本不等式的推广形式。过程与方法能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题三维目标情感态度与价值观发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。重难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题单元课时计划教 学 过 程 设 计 批 注一、知识学习：定理 3：如果 ，那么 。当且仅当 时，Rcba, 3abccba等号成立。推广： 。当且仅当 时，n21nna21 n21等号成立。语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果
11、 ，那么Rcba,（当且仅当 时，等号成立）呢？试证明。abca33二、例题分析：7例 1：求函数 的最小值。)0(32xy解一： 3322 411xx 3min4y解二： 当 即 时xy63222213 633min 416上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练 1 的最小值。babRa)(1, 求且若由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_例 2 ：如下图，把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练 2 已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的
12、长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值由例题，我们应该更牢记 一 _ 二 _ 三 _，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定_，和定_.三、巩固练习1.函数 的最小值是 ( )0(123xyA.6 B. C.9 D.12682.函数 的最小值是_22)1(64xy3函数 的最大值是（ ）)0A.0 B.1 C. D. 27162734.(2009 浙江自选)已知正数 满足 ，求 的最小zyx,zy4zyx值。5（2008，江苏，21）设 为正实数，求证：cba, 32133abca四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，
13、并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业P10习题 1.1 第 11，12，13 题教学反思9成都市华阳中学课堂教学单元设计单元名称 绝对值三角不等式 课型 新授课 知识与技能 了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。过程与方法充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。三维目标情感态度与价值观发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。重难点重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运
14、用。难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。单元课时计划教 学 过 程 设 计 批 注一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。1请同学们回忆一下绝对值的意义。00xx， 如 果， 如 果， 如 果几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对10ab值。2证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） ，当且仅当 时等号成立， 当且仅当 时等a0.a0号成立。（2） ， （3） ， （4）2ba )(b那么 ?ba?二、讲解新课：结论： （当且仅当 时，等号成立.）ab 0ab已知 是实数，试证明： （当且仅当 时，等号成立., 0ab）方法一：证明:1 0 .当 ab0 时, 2 0. 当 ab0 时, 综合 10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理 1 如果 是实数，则 （当且仅当 时，等号成,abab 0ab立.）（1） 若把 换为向量 情形又怎样呢？,探 究 : , 之 间 的 什 么 关 系 ? |,|()|(|)2222ababab|,|()|(|)22222ababab
