1、2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题 2018.3一、填空题：本大题共 14个小题，每小题 5分，共 70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合 ， ，则集合 1,A3,01BAB2.已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 z4ii z3.双曲线 的渐近线方程为 2143xy4.某中学共有 人，其中高二年级的人数为 .现用分层抽样的方法在全校抽取 人，其中高二年级被抽取的8060n人数为 ，则 21n5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字 ， ， ， ）先后抛掷 次，观察其朝下一面的数12342字，则两次数字之和等于 的概率为 66.如图
2、是一个算法的流程图，则输出 的值是 S7.若正四棱锥的底面边长为 ，侧面积为 ，则它的体积为 2cm28c3cm8.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 nSna24a241S0a9.已知 ， ，且 ，则 的最小值是 0b23b10.设三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则 ABCCabctan3AcbBosA11.已知函数 （ 是自然对数的底）.若函数 的最小值是 ，则实数 的取值范围为 ,1()4xaef ()yfx4a12.在 中，点 是边 的中点，已知 ， ， ，则 ABCPAB3CP4A23CBPCA13.已知直线 ： 与 轴交于点 ，点 在直线 上，圆 ：
3、上有且仅有一个点 满l20xyxl2()xyB足 ，则点 的横坐标的取值集合为 14.若二次函数 在区间 上有两个不同的零点，则 的取值范围为 2()fxabc(0)1,2 (1)fa二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量 ， .(2sin,1)a(,sin)4b（1）若角 的终边过点 ，求 的值；3,4a（2）若 ，求锐角 的大小./ab16.如图，正三棱柱 的高为 ，其底面边长为 .已知点 ， 分别是棱 ， 的中点，点1ABC62MN1AC是棱 上靠近 的三等分点.D1求证：（1） 平面 ；1/BM1AN
4、（2） 平面 .AD117.已知椭圆 ： 经过点 ， ，点 是椭圆的下顶点.C21xyab(0)1(3,)2(,)A（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 且互相垂直的两直线 ， 与直线 分别相交于 ， 两点，已知 ，求直线 的斜率.A1l2yxEFOEF1l18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 为 ， 是圆心，且 .在 上有一座观赏亭 ，其中AB6OCABOQ.计划在 上再建一座观赏亭 ，记 .23AQCBP(0)2（1）当 时，求 的大小；3OPQ（2）当 越大，游客在观赏亭 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 处的观赏效果最佳时，角 的正弦P值.19.已知函数 ， .32()fxabx
5、c()lngx（1）若 ， ，且 恒成立，求实数 的取值范围；0ab()fc（2）若 ，且函数 在区间 上是单调递减函数.3yfx(1,)求实数 的值；a当 时，求函数 的值域.2c(),()fxgxh20.已知 是数列 的前 项和， ，且 .nSna13a123nSa*()N（1）求数列 的通项公式；n（2）对于正整数 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列，求正整数 ， 的值；ij()kijja6ik（3）设数列 前 项和是 ，且满足：对任意的正整数 ，都有等式nbnTn12132nnabab13n成立.求满足等式 的所有正整数 .13na2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（
6、一）数学（附加题）21.【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10分，共计 20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图， 是圆 的直径， 为圆 上一点，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，且满足 .ABODOABCDAC（1）求证： ；2ABC（2）若 ，求线段 的长.DB. 选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ， ，列向量 .401A25BaXb（1）求矩阵 ；（2）若 ，求 ， 的值.15BAXabC. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求圆 的
7、极坐标方C(2,)4Psin()3C程.D. 选修 4-5：不等式选讲已知 ， 都是正数，且 ，求证： .xy1xy22()(1)9xyx【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 垂直于底面 ， ，点 为线PABCDABPDABC2PDABQ段 （不含端点）上一点.PA（1）当 是线段 的中点时，求 与平面 所成角的正弦值；QPACQPBD（2）已知二面角 的正弦值为 ，求 的值.BD23A23.在含有 个元素的集合 中，若这 个元素的一个排列（ ， ， ）满足n1
8、,nAn1a2na，则称这个排列为集合 的一个错位排列（例如：对于集合 ，排列 是(1,2)ia 3,A(2,31)的一个错位排列；排列 不是 的一个错位排列）.记集合 的所有错位排列的个数为 .3A(,32)3 n nD（1）直接写出 ， ， ， 的值；1D234（2）当 时，试用 ， 表示 ，并说明理由；3n2n1nD（3）试用数学归纳法证明： 为奇数.*2()nN2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 1532yx633166. 7. 8. 9. 10. 254382311. 12. 13. 14. ae61,53
9、0,1)二、解答题15.解：（1）由题意 ， ，4sin53cos所以 2i()aba2insco4sin4.4535（2）因为 ，所以 ，即 ，所以/ab2sin()14a2sin(cossin)14，sinico1则 ，对锐角 有 ，所以 ，2isin2coscos0tan1所以锐角 .416.证明：（1）连结 ，正三棱柱 中， 且 ，则四边形 是平行四边MN1ABC1/AC11AC形，因为点 、 分别是棱 ， 的中点，所以 且 ，1MNA又正三棱柱 中 且 ，所以 且 ，所以四边形 是平行1ABC1/11/B11MNB四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，/NBA所以 平面 ；1/M1（2）正三棱柱 中， 平面 ，1ABC1ABC平面 ，所以 ，N1N正 中， 是 的中点，所以 ，又 、 平面 ， ，ABBA11AC1A所以 平面 ，又 平面 ，1CD1C所以 ，ADBN由题意， ， ， ， ，所以 ，162A1N63132ANCD又 ，所以 与 相似，则 ，1ANCD1D1所以 ，112AN则 ，又 ， ， 平面 ，1A1BB1A1BN所以 平面 .D117.解：（1）由题意得 ，解得 ，2314ab214ab所以椭圆 的标准方程为 ；C214xy（2）由题意知 ，直线 ， 的斜率存在且不为零，(0,1)A1l2
