1、1第一章 集合与函数概念一、集合1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母 A，B，C ， D， 表示集合，用小写 拉丁字母 a，b，c，表示元素。2.集合中元素的特征确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如， “中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州 不在这个集合中。 “身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，即，集合中的元素是不重复出现的。
2、相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集） ，记作 N；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除 0 的集合） ，记 N*或 N+；全体整数组成的集合称为整数集，记 Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记
3、Q；全体实数组成的集合称为实数集，记 R。2例 已知 的 值求 且 yxQPxyQyxP,12解析 ,由 21,或解得 x=y=1 这与集合中元素的互异性相矛盾。解得 x= -1 或 1(舍去)这时 y=0x= -1，y=06、集合的表示方法列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式： naa，,321描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于
4、无限集，有时也可以是有限集。形式： ，其中 x 为元素，p(x)表示特征。)(xpD拓展与提示：无序性常常作为计算时验证的重要依据。注意 N 与 N*的区别。N *为正整数集，而 N 为非负整数集，即 0N 但 0 N*。集合的分类 按元素个数 素 的 集 合 叫 做 无 限 集无 限 集 ： 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 叫 做 有 限 集有 限 集 ： 含 有 有 限 个 元按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（ ） ，只含有一个元素的集合叫做单元素集。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么
5、xD 可以省略，只写其元素 x，如可以表示为 。10xR103(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：由所有非负奇数组成的集合；平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合。解：由所有非负奇数组成的集合可表示为： ，无限集。NnxA,12平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为： ，无限集。0)(yxC且方程 x2+x+1=0 的判别式的 0，故无实数，方程 x2+x+1=0 的实根组成的集合是空集 。7、集合的基本关系子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集
6、合 A 中任意一个无素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 ，读)(A或作“A 含于 B”(或“B 包含 A”)。可简述为：若 ，则集合 A 是集合 B 的子集。x集合相等：如果集合 A 是集合 B 的子集 ，且集合 B 是集合 A 的子集 ，)(A)(A此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B。数学表述法可描述为：对于集合 A、B，若 ，且 ，则集合 A、B 相等。真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 A 是集合 B 的真x子集，记作 或说：若集合 ，且 AB，则集合 A
7、是集合 B 的真子集。A ()空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示：(1) 。(2) B(其中 B 为非空集合)(3)对于集合 A，B，C ，若A,。(4)对于集合 A，B，C ，若 ， C 则 C(5)对于集合 A，B，CBA则, bb若 。(6)含 n 元素的集合的全部子集个数为 2n 个，真子集有 2n-1 个，非空B则且 ,子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个。(7) 不同，前者为包含关系，后者为属于关系。Aa与48、集合间的基本运算并集：一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合
8、 A 与 B 的并集，记作 (读作“A 并 B”)，即ABx或,交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与 B的交集，记作 (读作 “A 交 B”)，即 。BxA且,全集与补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 。,uxUA且例 设集合 ，若 AB= ，求 AB 。9,15,412, xBx 9解析 由 AB= 得，9A。9x2=9 或 2x-1=9
9、由 x2=9 得，x=3。当 x=3 时， ，与元素的互异性矛盾。9,2,459BA当 x=-3 时， ，此时，,48,7,9BA .,47,8由 2x-1=9 得 x=5.当 x=5 时， ，此时， ，与题设矛盾。9,0,49259,4BA拓展与提示：对于任意集合 A、B，有(1) (2) ;,(3) ;(4) 。),(拓展与提示：对于任意集合 A、B，有(1) (2) ；;,(3) ；(4) ；(5) 。BA),)( )()(5综上所述， .9,47,8BA集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合 A 叫做有限集，用 card 来表示有限集合
10、 A 中元素的个数。例如： .3)(,cardbA则一般地，对任意两个有限集 A，B，有 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).当时仅当 AB= 时，card(AB)=card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用 venn 图。例 学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解：设 ， ，那么田 径 运 动 会 参 赛 的 学 生A球 类 运 动 会 参 赛 的 学 生B，所 有 参 赛 的 学 生，两 次 运
11、动 会 都 参 赛 学 生 ABCard(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有 17 名同学参赛二、函数及其表示1、函数的概念： 一般地，我们说：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为集合 A 到集合 B的一个函数，记作 Axfy),(其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域，显然，值域是集合 B 的子集。xf)(2
12、、函数的三要素6函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。3、区间：设 a，b 是两个实数，而且 ab，我们规定：满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a,b ；满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)；满足不等式 axb 或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点。ba,定义 名称 符号 数轴表示bxa|闭区间 a，b|开区间 (a，b)bxa|半开半闭区间 ba,|半开半闭区
13、间 ,实数集常用区间表示为 ， “”读作“无穷大” 。 “ ”读作“负无穷大” ， “+”读作 “正无穷大”集合 符号 数轴表示ax| ,a| bx| (,)b| ，提示：函数符号 y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在 18 世纪引入的。(2)注意区别 f(a)和 f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为 a 时的函数值。7例 1 求下列函数的定义域 xy21解：要使 有意义，则必须xy21，即 x-1 且 x2，021xx故所求函数的定义域为 21|x且例 2 已知函数 f(x)的定义域是-1，3 ，求 f(x+1)和 f(x2)的定义域已知函数 f(2x+3)的定义域为 ，求
14、 f(x-1)的定义域2,1解： f(x)的定义域为 -1，3 ，f(x+1)的定义域由-1x+13 确定，即-2x2，f(x+1)的定义域为-2 ，2 .f(x2)的定义域由-1x 23 确定，即 3xf(x2)的定义域为 3，函数 f(2x+3)的定义域为 ，2,12x+3 中的 x 满足-1x2，拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。(2)求函数定义域，主要通过下列途径实现。若 f(x)是整式，则定义域为 R；若 f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；若 f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；若 f
15、(x)的定义域为a,b ，则 fg(x)的定义域是 ag(x)b 的解集；若 f g(x)的定义域为a ，b ，则 f(x)的定义域是 g(x)在 下的值ax,域。812x+37.令 t=2x+3，则 f(t)的定义域为 .7,1又 1x-17，2x8f(x-1)的定义域为 8,24、反函数式子 y=f(x)表示 y 是自变量 x 的函数，设它的定义域为 A，值域为 C，我们从式子y=f(x)中解出 x 得到 x=g(y)，如果对于 y 在 C 中的任何一个值通过式子 x=g(y),x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x=g(y)表示 y 是自变量 x 的函数，这样的函数 x=g
16、(y)叫做 y=f(x)的反函数，记作 ，一般写成 .)(1yfx)(1f5、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。6、分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函拓展与提示：(1)函数 y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；(2)函数 y=f(x)的图象和它的反函数 的图象关于直线 y=x 对称。)(1xf(1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。(2)函数用图
17、象法表示时，其定义域是图象投射到 x 轴上的区域范围，其值域是图象投射到 y 轴上的区域范围。9数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是： nnDxffxf )( )()(2211分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D1D 2D n.例 中国移动通信已于 2006 年 3 月 21 日开始在所属 18 个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐” ，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：方案代号基本月租(元)免费时间(分钟 ) 超过免费时间话费( 元/分钟)1 30 48 0.602 98 170 0.603 168 3
18、30 0.504 268 600 0.455 388 1000 0.40请问：“套餐”中第 3 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和) 的函数关系式。解：“套餐”中第 3 种收费函数为168,0,.5()0.ty7、复合函数若 y 是 u 的函数，u 又是 x 的函数，即 y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n) ，那么 y 关于拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。10x 的函数 y=fg(x) ，x(a,b)叫做 f 和 g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g(x)的值域。8、映射设 A，B 是两个非空的集
19、合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任何一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射。9、函数解析式的求法待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。换元法。若已知函数 的解析式，可令 ，并由此求出 x=g(t)，然后代)(xfy)(xt入解析式求得 y=f(t)的解析式，要注意 t 的取值范围为所求函数的定义域。赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。列方程(组 )法求解。若所给式子中含有 f(x)， 或 f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另xf1一个方程，通过解方程组获解。 配凑法例 解答下列各题：已知 f(x)=x2-4x+3，求 f(x+1)；已知 f(x+1)=x2-2x，求 f(x)；拓展与提示：(1)映射包括集合 A、B 以及从 A 到 B 的对应法则 f，三者缺一不可，且A、B 必须非空。(2)A 中的元素在 B 中都能找到唯一的元素和它对应，而 B 中的元素却不一定在 A 中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。
