1、6.1 定积分的几何应用6.2 定积分在经济问题中的应用第第 6章章 定积分的应用定积分的应用结束前页 结束后页2.以点 x处的函数值为高 ,以 x,x+dx为底的矩形面积做为 A 的近似值 ,其中 f(x)dx 称为面积微元 ,记为 , 于是面积为1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间 a,b,在区间上任 取一小区间并记为 .此方法称为微元法或积分元素法 .6.1.1 微元法 :6.1 定积分的几何应用以曲边梯形面积为例 ,如图曲边梯形 .前页 结束后页设函数 在区间 上连续 , ,求由曲线 及直线 所围成的图形的面积 .1. 直角坐标下平面图形的面积6.1.2 用定积分求平面图形的面
2、积前页 结束后页(2) 以 为被积表达式 ,在区间 作定积分 就是所求图形的面积 .(1) 在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的面积为 ,它近似于高为 ,底为 的小矩形面积 ,从而得面积微元为分析在这个公式中，无论曲线 在 x 轴的上方或下方都成立，只要 在曲线 的下方即可。前页 结束后页前页 结束后页例 1 求由曲线 所围成的图形的面积 A。解 两曲线的交点为 （ 0,0） ,（ 1,1） ,于是积分区间为 0,1面积微元所求面积为前页 结束后页面积为 ,则近似于高为 dy,底同理，设函数 在区间 上连续，为 的小矩形面积 ,在区间 上任取小区间 ,设此小区间上的求由曲线 及直线 所围成的
3、图形的面积 .于是所求面积为从而得面积微元为前页 结束后页解 由 解得交点 A(2,-1),B(8,2)例 2 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积 . A(2,-1),B(8,2)取 y为积分变量 ,于是 ,所求面积为 :前页 结束后页且 求此曲线与射线 所围成的曲边扇形的面积 .(2)极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程 在 上连续 ,在区间 上任取一小区间 ,设此小区间上曲边扇形的面积为 ,则 近似于半径为 ,中心角为 的扇形面积 ,从而可得面积为从而得到面积微元为前页 结束后页例 3 求心形线 所围成的面积 . 解 当 从 0变到 时 ,得 的图形为上半部分 ,心形线所围图形的面积 A为极轴上方部分的两倍 ,即
