1、 天行健，君子以自强不息。 第 1 页，共 15 页图 1 图 2 图 3 第 21题 图 初一数学规律题应用知识汇总“有比较才有鉴别” 。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，下面就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n 个数可以表示为：a1+(n-1)
2、b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数式 a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28 ，求第 n 位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅都是 6，所以，第 n 位数是：4+(n-1) 66n2例 1、已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边 n（n 为大于 2 的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示） （1）当 n = 5 时，共向外作出了 个小等边三角形（2）当 n = k 时，共向外作出了 个小等边三角形（用含 k 的式子表示） 例 2、如图，在图 1 中，互不重叠的三角
3、形共有 4 个，在图 2 中，互不重叠的三角形共有 7 个，在图3 中，互不重叠的三角形共有 10 个，则在第 个图形中，互不重叠的三角形共有 n个（用含 的代数式表示） 。n（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等n=3 n=4 n=5天行健，君子以自强不息。 第 2 页，共 15 页差数列） 。如增幅分别为 3、5 、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。基本思路是：1 、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅；2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅；3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数。此解法虽然较烦，
4、但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。例 1.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第 24个三角形数与第 22 个三角形数的差为 。妙题赏析：规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：1、设计类【例 1】(2005 年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求 的值（结果用
5、 n 表示），设计如图 a 所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求 的值为 。（ 2）请你利用图 b，再设计一个能求 的值的几何图形。【例 2】(2005 年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探究其中的规律：天行健，君子以自强不息。 第 3 页，共 15 页（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。解析：【例 1】(1) （2）可设计如图 1，图 2， 图 3，图 4 所示的方案：【例 2】（1） ，对应的图形是（2） 。此类试题除要求考生写出规律性的答案外，还要求设计出一套对应的方
6、案，本题魅力四射，光彩夺目，极富挑战性，要求考生大胆的尝试，力求用图形说话。考察学生的动手实践能力与创新能力，体现了“课改改到哪，中考就考到哪！”的命题思想。 3、数字类【例 5】(2005 年福州市中考题)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是 。解析：【例 5】这列数的分子分别为 3，4，5 的平方数，而分母比分子分别小 4，则第 7 个数的分子为 81，分母为 77，故这列数的第 7 个为 。天行健，君子以自强不息。 第 4 页，共 15 页【例 6】(2005 年长春市中考题)按下列规律排列的一列数对（1
7、，2）（4，5）（7，8），第5 个数对是 。解析：【例 6】有序数对的 前一个数比后一个数小 1，而每一个有序数对的第一个数形成等差数数列，1，4，7，故第 5 个数为 13，故第 5 个有序数对为（13，14）。【例 7】(2005 年威海市中考题)一组按规律排列的数： ， ， ， ， ，请你推断第9 个数是 解析：【例 7】中这列数的分母为 2，3，4，5，6的平方数，分子形成而二阶等差数列，依次相差 2，4，6，8故第 9 个数为 1+2+4+6+8+10+12+14+1673，分母为 100，故答案为 。4、计算类【例 10】(2005 年陕西省中考题)观察下列等式： ， 则第 n
8、个等式可以表示为 。解析：【例 10】【例 11】(2005 年哈尔滨市中考题)观察下列各式： ， ，根据前面的规律，得：。（其中 n 为正整数）解析：【例 11】【例 12】(2005 年耒阳市中考题)观察下列等式：观察下列等式：41=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n（n1）表示了自然数，用关于 n 的等式表示这个规律为 。解析：【例 12】 （n1，n 表示了自然数）5、 图形类【例 13】(2005 年淄博市中考题)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个
9、数，请你猜测由里向外第 10 个正方形（实线）四条边上的整点共有 个。天行健，君子以自强不息。 第 5 页，共 15 页解析：【例 13】第一个正方形的整点数为 24-44，第二个正方形的 正点数有 3448，第三个正方形的整点数为 44412 个，故第 10 个正方形的整点数为 114-440，【例 14】(2005 年宁夏回自治区中考题) “ ”代表甲种植物，“ ”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。【例 14】第一个图案中以乙中植物有 224 个，第二个图案中以乙中植物有 339 个，第三个图案中以乙中植物有 4416 个，故第六个图
10、案中以乙中植物有 7749 个.【例 15】(2005 年呼和浩特市中考题)如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有 块积木，第 n 个图案中共有 块积木。【例 15】第一个图案有 1 块积木，第二个图案形有 1+342 的平方，第三个图案有1+3+593 的平方，故第 5 个图案中积木有 1+3+5+7+9255 的平方个块，第 n 个图案中积木有 n 的平方个块。综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成
11、功。2007无锡）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了 n 层将图 1 倒置后与原图 1 拼成图 2 的形状，这样我们可以算出图1 中所有圆圈的个数为 1+2+3+n= 天行健，君子以自强不息。 第 6 页，共 15 页如果图 1 中的圆圈共有 12 层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 1，2 ，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和解析：（1）图
12、 3 中依次排列为 1，2，4，7，11，如果用后项减前项依次得到1，2，3，4，5，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是 1，从第二位开始后项减前项得到等差数列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4,从分解看，第 n 个圆圈的个数应为 1+(1+2+3+4+n)，而 1+2+3+4+n 正好是连续自然数和的公式推导，上面已给出了公式: 1+2+3+n= ，则第 n 项公式为 1+ ，已知共有 12 层，那么求图 3 最左边最底层这个圆圈中的数应是 12 层的第一个数，那么 1+11（11+1）/2=67. 解析：（2）已知图中的圆圈共有 12 层，按图
13、 4 的方式填上-23，-22，-21，,求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和？第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：（1+12）12/2=78 个，那 78 个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到-1 有 23 个负数，1个 0，78-24=54 个正数， 1 至 54，所以分段求和，两段相加得到图 4 中所有圆圈的和。第一段：S=（|-23|+|-1|）*23/2=276,第二段=（1+54）*54/2=1485，相加后得 1761。项 数末 项首 项 2例如、观察下列数表：天行健，君子以自强不息。 第 7 页，共 15 页解析：
14、根据数列所反映的规律，第 行第 列交叉点上的数应为_ .（乐山市 2006 年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第 n 个数是多少。我们把对角线上的数抽出来，就是 1，3，5，7，。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第 n 个奇数的表达式。即2n-1。三、 要善于比较“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量
15、和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第 100 个数是 。”解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号： 1，2，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 n2-1，第 100 项是1002-1。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。譬如，日照市 2005 年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式： 1 3
16、1 2； 1 32 33 2； 1 32 33 36 2； 1 32 33 34 310 2 ； 由此规律知，第个等式是 ”解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第个等式应该有 5 个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第个等式的左边是 132 33 34 35 3。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第个等式右边的底
17、数是（1+2+3+4+5），和为 152。四、要善于寻找事物的循环节天行健，君子以自强不息。 第 8 页，共 15 页有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。譬如，玉林市 2005 年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球)：从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球 个。”这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔 10 个球循环一次，循环节是。每个循环节里有 3 个实心球。我们只要知道 2004 包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为 200410=200（余 4）。所以，2004 个球里有 200 个循环节，还
18、余 4 个球。200 个循环节里有 2003=600 个实心球，剩下的 4 个球里有 2 个实心球。所以，一共有 602 个实心球。六、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。例如，汉川市 2006 年中考试卷数学“观察下列各式：0，x 1，x 2，2x 3，3x 4，5x 5，8x 6，。试按此规律写出的第 10 个式子是 。”这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数
19、等于它的序列号减 1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，。从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第 8 项的系数是5+8=13，第 9 项的系数是 8+13=21，第 10 项的系数是 13+21=34。所以，原数列第 10 项是 34x9。一、数字排列规律题1、下面数列后两位应该填上什么数字呢？ 2 3 5 8 12 17 _ _ 2、请填出下面横线上的数字。
20、1 1 2 3 5 8 _ 215、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第 2005 个数是（ ）.A1 B2 C3 D47、一组按规律排列的数： ， ， ， ， ， 请你推断第 9 个数是 4916725319、观察下列各式；、1 +1=12 ；、2 +2=23； 、3 +3=34 ；请把你猜想到的2 2规律用自然数 n 表示出来 。10、观察下面的几个算式：、1+2+1=4； 、1+2+3+2+1=9；、1+2+3+4+3+2+1=16；、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，根据你所发现的规律，请你直接写出第 n个式子 12、把数字按如图所
21、示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、，中间用虚线围的一列，从上至下依次为 1、5、13、25、，则第 10 个数为_。天行健，君子以自强不息。 第 9 页，共 15 页第 1 行 1第 2 行 2 3第 3 行 4 5 6第 4 行 7 8 9 10第 5 行 11 12 13 14 15（第 13 题）13、已知一列数：1，2，3，4，5，6，7， 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第 10 行从左边数第 5 个数等于 14、观察下列各算式：1+3=4=2 的平方，1+3+5=9=3 的平方，1+3+5+7=16=4 的平方 按此规律（1）试猜想：1+3+5
22、+7+2005+2007 的值 ？（2）推广： 1+3+5+7+9+（2n-1)+（2n+1)的和是多少 ？ （3）小凡在计算时发现，1111=121，111111=12321，11111111=1234321，他从中发现了一个规律。你能根据他所发现的规律很快地写出 111111111111111111=_吗? 答案是_。（4）四个同学研究一列数：1，3，5，7，9，11，13，照此规律，他们得出第 n 个数分别如下，你认为正确的是 （ ）A.2n1 B.12n C. D.(1)2n1()2)n（5）有一列数 从第二个数开始，每一个数都等于 1 与它前面那个数的倒数的差，23,naa若 ，则
23、为_.107（6）观察数列 1，1，2，3，5，8，x，21，y，则 2x-y=_（7）观察下列各式：2345678,8,21,32,4,12,56,，请你根据上述规律，猜想 10的末位数字是_.（8）观察下列各式： 3213326410 猜想：333210_天行健，君子以自强不息。 第 10 页，共 15 页15、观察数表，根据其中的规律，在数表中的 内填入适当的数。 11 -11 -2 11 -3 3 1 1 -4 6 -4 11 -5 -10 5 -11 -6 -20 15 -6 117. 观察下面一列有规律的数， 根据这个规律可知第 n 个数是 （n 是正整数）,48635,2,831二、几何图形变化规律题5、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第 n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有 n 的代数式表示）6、观察下面图形我们可以发现：第 1 个图中有 1 个正方形，第 2 个图中共有 5 个正方形，第 3 个图中共有 14 个正方形，按照这种规律下去的第 5 个图形共有_个正方形。7、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了 块石子8、用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖 4块；那么第( )个图案中有白色地砖 块。
