1、数学建模入门练习题练习题 1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？(参考答案： 有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。) 答：首先从历史的角度看，当时欧洲各国对东方的贸易需求量大增，原有的航线不足以满足欧洲国内需求，所以各国需要开辟新航线扩大贸易量。而指南针的引入以及造船技术的不断改进使得远洋航行成为可能。其次，从哥伦布个人的角度来看，他有着坚定地信念和科学的头脑。他坚持认为地球时圆的，一直向西方航行一定可以到达印度。而且在航行途中，当所有的船员已经放弃向前、想要返航的时候，哥伦布依旧坚持自己的看法，执意继续向西，最终才发现的新大陆。练习题 2：棋盘问
2、题有一种棋盘有 64 个方格，去掉对角的两个格后剩下 62 个格（如下图） ，给你 31 块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这 62 个方格？答：不可以。不能，如图所示。图中共有 32 个红格,30 个蓝格,而每张骨牌必定盖住一蓝一红两格，那么最后两个红格用一个骨牌无论如何也盖不上。练习题 3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 答：为了赢得比赛，决定先放。具体做法如下：首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌
3、子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方方硬币为止，有长方形的对称性，只有中心不存在对称为止，故先放者必定会赢。练习题 4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时 30 公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时 60 公里？答：不能使平均速度达到 60km/h，计算如下：假设返回的速度是 x km/h，A 、B 两地间距离为 S km。那么往返的平均速度就是：V= = =S3021306若令 v=60，解之得：x=30+x，显然无解。所以若按照原路线返回的话，除非速度达到，否则平均速度不可能达到 60km/h。练习题 5：登山问
4、题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？答：可以找到。由于本题要求不能使用高数知识，我们只能从最简单的物理模型入手。我们不妨假设在同一天，有两个人，同时分别从山顶和山脚出发，分别上山、下山，这两人碰面的地点就是来回时刻相同的地点。设：上山的速度为 V1(t)，下山的速度为V2(t)，山路长度为 X。则两人相遇的时候，有：X= dtVtt8281)()(显然，两人一定相遇，本方程也一定会有解。练习题 6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着
5、聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！(县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗
6、？)答：全红 1 种，2 红 1 黑 3 种，1 红 2 黑 3 种。共 7 种不同的戴法。老大老二老三的帽子颜色依次为：红/黑、黑、红 的戴法最难。因为老大看到一红一黑的时候无法判断自己的帽子颜色。此时老二知道自己和老三的头上戴的是两红或者一红一黑，但是他看到老三头上戴着红帽子，也就无法判断出自己头上帽子的颜色。这是只有通过老三对老大老二反应的判断来推出自己头顶帽子的颜色。练习题 7：做出空间图形做出由曲面 与 相交的空间曲线和所围成的立体的图形。2yxz26yxz答：如下图，用 matalb 作图：-2-1012-2-10120123456Matlab 的 m 文件代码如下：t=0:0.1
7、:2*pir=0:0.1:sqrt(2)t,r=meshgrid(t,r)x=r.*cos(t)y=r.*sin(t)z1=x.2+2*y.2z2=6-2*x.2-y.2surf(x,y,z1)hold onsurf(x,y,z2)练习题 8： 之事，知多少？关于圆周率 的事，你们知道多少？答：圆周率，一般以 来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值，其定义为圆的周长与直径的比值。也等于圆的面积与半径平方的比值。在分析学里，可以严格定义为满足的最小正实数，这里的 是正弦函数（采用分析学的定义） 。简介圆周率（ 读 pi）是一个常数（约等于
8、 3.141592654） ，是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用 3.14 来代表圆周率去进行近似计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约 20 位。(读作“派”)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉从一七三六年开始，在书信和论文中都用 来表示圆周率。因为他是大数学家，所以人们也有样学样地用 来表示圆周率了。但 除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。=Pai（=Pi）古希腊欧几里德几何原本 （约公元前 3 世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书周髀算经 （
9、 约公元前 2 世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取 pi=（4/3）43.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在圆的度量 （公元前 3 世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正 96 边形，得到（3+（10/71） ） （3+ （1/7） ） ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的 值。中国数学家刘徽在注释九章算术 （263 年）时只用圆内接正多边形就求得
10、 的近似值，也得出精确到两位小数的 值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正 192 边形，得出 根号 10（约为 3.14） 。为什么要继续计算 第一，用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错，这就表示硬件有毛病或软件出了错，这样便需要进行更改。同时，以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争，科技也能得到进步，从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式，也是由研究圆周率的推动，从而发展出来的。第二，数学家把 算的那么长，是想研究 的小数是否有规律。目前为止， 的值己被算至小数点后 60000000000001 位（IBM 蓝色基因） 。 在数学外的用
11、途1.在 Google 公司 2005 年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由 小数点后的位数得来。 （顺便一提，谷歌公司 2004 年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数 e 有关）2.排版软件 TeX 从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近 的值：3.1，3.14，当前的最新版本号是 3.1415923.圆周率的终极日3 月 14 日为圆周率日， “终极圆周率日”则是 1592 年 3 月 14 日 6 时 54 分，因为其英式记法为“3/14/1592 6.54” ，恰好是圆周率的十位近似值。4.圆周
12、率近似值日圆周率近似值日有两天，7 月 22 日（英国式日期记作 22/7，看成圆周率的近似分数）谐音法众所周知，圆周率 是一个有名的无理数，一个无限不循环小数，无理数不好记，如果利用“谐音法” ，把小数点后的前一百位编成如下顺口溜，用不了几分钟就可以记住。首先设想一个好酒贪杯的酒徒在山寺中狂饮，醉“死”在山沟的过程（30 位）：圆周率 3.14159 26 535897 932 384山巅一寺一壶酒。儿乐：“我三壶不够吃” 。 “酒杀尔” ，杀不死，626 43383 279乐而乐，死三三巴三，儿弃酒。接着设想“死”者的父亲得知后的感想（15 位）：502 8841971 69399吾疼儿：
13、“白白死已够凄矣，留给山沟沟” 。再设想“死”者的父亲到山沟里三番五次寻找儿子的情景（15 位）：37510 58209 74944山拐我腰痛，我怕尔冻久，凄事久思思。再设想在一个山洞里找到“死”者并把他救活后的情景（40 位）：592 307 816 406 286 20899吾救儿，山洞拐，不宜留。四邻乐，儿不乐，儿疼爸久久。86280 348 25 34211 70679爸乐儿不懂， “三思吧！”儿悟，三思而依依，妻等乐其久。以上顺口溜不免有点东拼西凑，牛头不对马嘴，但是却把抽象的数字串形象化了，非常有利于记忆。练习题 9：身高和年龄的关系你不认为“身高和年龄之间有关系吗？”请你们三个人
14、分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中） ，制成表（注明：男生、女生，籍贯） ，然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。 练习题 10：过三峡大坝请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。 换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。 答：本题主要是连通器原理的应用。从低位与高位之间有闸门，把闸门打开，水位相平，船开驶入高水位中去，再关掉闸门，然后再往更高水位中注水，再把闸门打开，水位又相平，船又可以驶进去，依此类推，反之亦然。练习题 11：你如何解释？首都博物馆里有一个展品是一个出
15、土的石盒子容器（见下图） ，它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？答：原容器在做成后不久遭到损坏，头像被损毁。为了将头像修补完整，古人在原头像位置凿了一个方形孔后，再将头像插入方孔。之所以是方形，主要是因为方形容易打孔，同时也不会使头像轻易发生转动。后台，这个修补的头像又剥落了，所以才会留下这个方孔。练习题 12：海盗分金币有五个海盗在海上抢得了 100 枚金币，上岸后他们要分赃。他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。 100 枚金币由其余的四个人分，再由第二
16、个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。请你替第一个人制定一个合适的分配方案。（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。 ）答：逆推法： 1. 五号为了得到全部的金币，会对前面四个人全投反对票， 五号为了得到全部的金币，会对前面四个人全投反对票，所以如果只 剩下四号和五号，四号必死无疑； 剩下四号和五号，四号必死无疑； 2. 四号为了生存，必须同意三号，若只剩下三四五号，四号为了生存，必须同意三号，若只剩下三四五号，三号就可以独吞 三号 金币，所以四号必须同意二号； 金币，所以四号必须同意二号； 3. 三号和五号为了得到金币， 定反对二号，所以二号必须同意一号，
17、 三号和五号为了得到金币，一定反对二号，所以二号必须同意一号， 四号因此也得同意一号。 四号因此也得同意一号。 4. 一号只要给二号和四号一定数量的金币就可以保证自己生存。 一号只要给二号和四号一定数量的金币就可以保证自己生存。比如一、二、四号各三分之一。 练习题 13：学会管理工作你的公司需要确定五名员工值一个月（30 天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。答：设五名员工的代号分别为 A、B、C、D、E由于若每天从五名员工中挑选两人值班且安排并不重复（即没有任意两天是由相同的两人一起值班）的话，一共可以安排值班的天数为 C52=5*4/2!=
18、10 天，而计划值班三十天，所以得出结论为五个人中每两人都要合作值班三次，方能公平合理地安排。下表就是一张安排好的值班表：1 2 3 4 5 6A、B C、D B、E A、D B、C D、E7 8 9 10 11 12A、C B、E A、D C、E A、B C、D13 14 15 16 17 18B、E A、D B、C D、E A、C B、E19 20 21 22 23 24A、D C、E A、B C、D B、E A、D25 26 27 28 29 30B、C D、E A、C B、E A、D C、E这样的一份安排既保证了每个员工值班的总天数都同为 12 天，又使得每个员工两次值班间隔一天或两天
19、，保证了每个员工都不至于因连续值班而产生疲劳，因而是一个公平、合理、科学的值班表。练习题 14：身高和鞋码的关系你不认为“身高和鞋码之间有关系吗？”请把你们三个班同学的身高和对应的鞋码记录下来，制成表（男生、女生分开） ，然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。 练习题 15：近几年北京市空气质量好多了!你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？”请你们寻找近几年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之间的关系，用数学模型的方法表示出来。再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量(主要指蓝天数)。再用你们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气
20、质量全达标(主要指蓝天数等于全年的天数)。练习题 16：为什么要更改名字？我校为了庆祝建校 30 周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环” ，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？答：如下图所示为麦比乌斯环。麦比乌斯环(M bius strip, M bius band)是一种单侧、不可定向的曲面。因 A.F.麦比乌斯(August Ferdinand Mbius, 1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条 ABCD 的一端 AB 固定，另一端 DC 扭转半周后，把 AB 和 CD 粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈，也称麦比乌斯带。关
21、 于 麦 比 乌 斯 圈 的 单 侧 性 ， 可 如下 直 观 地 了 解 ， 如 果 给 麦 比 乌 斯 圈 着 色 ， 色 笔 始 终 沿 曲 面 移 动 ， 且 不 越 过 它 的 边 界 ， 最后 可 把 麦 比 乌 斯 圈 两 面 均 涂 上 颜 色 ， 即 区 分 不 出 何 是 正 面 ， 何 是 反 面 。 对 圆 柱 面 则不 同 ， 在 一 侧 着 色 不 通 过 边 界 不 可 能 对 另 一 侧 也 着 色 。 单 侧 性 又 称 不 可 定 向 性 。 以 曲 面上 除 边 缘 外 的 每 一 点 为 圆 心 各 画 一 个 小 圆 ， 对 每 个 小 圆 周 指 定
22、 一 个 方 向 ， 称 为 相 伴 麦 比乌 斯 环 。 单 侧 曲 面 圆 心 点 的 指 向 ， 若 能 使 相 邻 两 点 相 伴 的 指 向 相 同 ， 则 称 曲 面 可 定 向 ，否 则 称 为 不 可 定 向 。 麦 比 乌 斯 环 是 不 可 定 向 的 。而雕塑是具有双侧性的一般曲面，并不是麦比乌斯环，只是相似而已。因此要改名。练习题 17：学习查资料请你们查找历年全国大学生数学建模竞赛的题目并制成一张表。请你们查找历年参加全国大学生数学建模竞赛的学校数和队数并制成一张表。请你们查找我校历年参加全国大学生数学建模竞赛的队数和获奖情况并制成一张表。答：历年全国大学生数学建模竞
23、赛题目：年度 题 A 题 B1 1992 年 施肥效果分析 实验数据分解2 1993 年 非线性交调的频率设计 足球队排名次3 1994 年 山区修路 锁具装箱4 1995 年 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度5 1996 年 最优捕鱼策略 节水洗衣机6 1997 年 零件的参数设计 截断切割7 1998 年 投资的收益和风险 灾情巡视路线8 1999 年 自动化车床管理 钻井布局9 2000 年 序列分类 钢管订购和运输DNA10 2001 年 血管的三维重建 公交车调度11 2002 年 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学12 2003 年 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排1
24、3 2004 年 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理14 2005 年 长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁15 2006 年 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效的预测16 2007 年 中国人口增长预测 乘公交，看奥运17 2008 年 数码相机定位 高等教育学费标准探讨18 2009 年 制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排19 2010 年 储油罐的变位识别与罐容表标定 2010 年上海世博会影响力的定量评估20 2011 年 垃圾分类处理与清运方案设计 水资源短缺风险综合评价21 2012 年 葡萄酒的评价 太阳能小屋的设计历年参加全国大学生数学建模竞赛的
25、院校数和队数：1 1992 年：全国有 74 所高校 314 队参赛；2 1993 年：全国有 101 所高校 420 队参赛；3 1994 年：全国有 196 所高校 876 队参赛；4 1995 年：全国有 259 所高校 1234 队参赛；5 1996 年：全国有 337 所高校 1683 队参赛；6 1997 年：全国有 373 所高校 1874 队参赛；7 1998 年：全国有 400 所高校 2103 队参赛；8 1999 年：全国有 460 所高校 2657 队参赛；9 2000 年：全国有 517 所高校 3210 队参赛；10 2001 年：全国有 529 所高校 3887
26、队参赛；11 2002 年：全国有 572 所高校 4448 队参赛；12 2003 年：全国有 637 所高校 5406 队参赛；13 2004 年：全国有 724 所高校 6881 队参赛；14 2005 年：全国有 795 所高校 8492 队参赛；15 2006 年：全国有 864 所高校 9985 队参赛；16 2007 年：全国有 969 所高校 11742 队参赛；17 2008 年：全国有 1023 所高校 12846 队参赛；18 2009 年：全国有 1137 所高校 15024 队参赛；19 2010 年：全国有 所高校 队参赛；20 2011 年：全国有 所高校 队参赛
27、；21 2012 年：全国有 所高校 队参赛；我校 04 年以来的获奖情况：04 年 北京 甲组 二等奖郑祥云 李金禄 郭峰 指导小组郑增光 冯亚男 杨富禄 指导小组05 年 北京市甲组二等奖刘芬 刘翠 黄烨 指导小组杨富禄 郭晓 王慧 指导小组张璐 童永琴 刘天洋 指导小组郑祥云 李金禄 郭峰 指导小组06 年，全国甲组二等奖宫尚宝 王文波 邹磊 指导组07 年全国二等奖 甲组王海英 徐婧 曹敬军 冯媛（指导教师）北京甲组一等金越峰 刘伟 毕壮 苏欣（指导教师）08 年 北京二等 B徐 婧 王海英 黄 帅09 年 北京一等奖余知中 刘明珠 魏文玲 王若鹏（指导教师）谢文凤 陈红革 王袁俊伟
28、指导小组北京二等奖陈宇宁 张连飞 陈亚 王若鹏（指导教师）10 年 北京一等奖张鹏 尤熙 夏赞勋 指导组11 年 北京一等奖夏赞勋 张鹏 尤熙 指导小组练习题 18：典型的数学建模例子请你们阐述一下数学模型的概念，并提供一个在你们的专业课学习中遇到的“典型的数学建模例子” 。练习题 19：椅子能在不平的地面上放稳吗？考虑椅子的四脚呈长方形的情形。答：模型假设: 对椅子和地面应该作一些必要的假设：1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈长方形。2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面。3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。模型构成: 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线呈长方形，以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图 2-1 中椅脚连线为长方形 ABCD，对角线 AC 与 x轴重合，椅子绕中心点 o 旋转角度 后，长方形 ABCD 转至 ABCD的位置，所以对角线 AC 与 x 轴的夹角 表示了椅子的位置。
