1、唯一性定理蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126)李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130)1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。如图所示，壳内外的电荷分布分别为 和 ，壳内、外表e面 、 上各自的面电荷分布1S2为 和 。壳内外的场e是这四部分电荷共同激发的。根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件： （一） ， 为壳内电荷分布。2（二）壳内表面 上的边界条件是： 上的总电量 1S2
2、S1sdSq（1）其中 是壳内的总电量， 是壳内区域的体积。在壳层VqdV内作一高斯面 后（如图中虚线所示） ，用高斯定理很容易证明0S（1）成立。因此在给定 布后， 上边界条件也已经给定为 ，1S q和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。0S1e2Se根据唯一性定理，满足（一） 、 （二）的 就是解。由于（一）和（二）与壳外的 和 的电势并不唯一，可以差一e个常数。当然当壳用电势 给定时， 上的边界条件就是 01S。所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。10|S2如图，有一电势为 的导体球壳，球心有一点电荷 q，球壳内外0半径分别为 和 。试用唯一性定理：2R1（一）判断 是否球壳外空
3、间的电势分布。0（二）求球壳内空间的电势分布解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：（a） 20（b）球壳外表面 上的边界条件，1S10s（c）无穷远边界条件 ,R若 是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。下面来R检验：方程已满足。22010R(0),R满足（c） 。0,S1 的半径是 R1 代入 后， 所以它不满足 上的边界条0R01S件，它不是球壳外空间的界，下面求正确的解。由上述可知，函数 同时满足方程和无穷远边界条件。A 为待定常数，可由（b）定R1R2Rq0出。在面 上 1S0,AR所以 。球壳外电势是 01 01R它和一半径为 、电势为 的导体球在球外所激发的
4、势完全一样。10（二）先写出球壳内电势满足的条件（a） （除球心外，没有点电荷）201()qx（b）球壳内表面 S2 上的边界条件， 20S我们来凑一个同时满足（a）和（b）的解。先从满足方程出发，考虑对称性，它可以是 ，代入方程检验，014qAR方程满足。2 200001()()()44qqAxxRR然后令（1）满足条件（b） ， ，求出 A，所以 024q00214qR可见，解题的第一步是弄清电势应满足的具体条件，第二步则是凑满足这些条件的解。 。3、如图，有一气隙，它的长度是 a。气隙两边是铁磁质（ ，且 ） 。在 y=a 的面上，有自由面电流 ，BH 02sinxk（ 为一常量） ，y
5、=0 的面上， ，求气隙中的磁标势。 0解：本题可用磁标势 。由题设有 （1）m220mxy由“静磁场的唯一性定理”知，需求出边界面 y=0 和 y=a上的 的切向分量。Hy=0 处，令 有 nJ21()0H（2）因为 ， 有限，所以,B1B，10H代入（2）后，有： 00mxyyx（3）00mzyyHz同理可得： （4）02sinmxyayaxzya设 ，代入（ 1）后得：()mXxY2210dXYx令 ，于是221dx22dYx有 （5） (sincos)()mABChyDcixxx为满足（3） ，必须有 0DaOyx0为满足（4） ，取 。有0B02sin()()sinxAChax比较上
6、式两边，有 ，20()Ash所以 02sin()()mxyxha由（5）知， BA所以 02cos()()mxhya并且 y0 面是一等磁势面。镜象法 0803202140803202181、设在无限导体平面上，放一根均匀分布的无限长线电荷，密度为 ,并与导体平面l平行，如下图所示，求空间各处电势。解： 若将该线电荷 分成无限个电荷元，每个线电荷元看成一个点电荷，则它们的象电荷也是是无限长电荷元，构成一个无限长线电荷，密度为 ，位于原电荷的镜象位l置上，如图所示。因此观察点 P 的电势为220220120)(ln4)(lln)(hyxyxrr（ ）y在 的区域， 。02、用镜象法求均匀电场 中
7、放一导体球的场分布，设球半径为 。E a解： 均匀电场可用两个点电荷近似产生，不妨设有两个点电荷 ，q位于 处。hz如左图，则在坐标原点附近的小区域内（其线度远小于 ） ，有一h平行于 的轴的近似均匀电场zzehqE204（其中 为 方向的单位矢量）ze现将一导体球置于此均匀电场中，球心在坐标原点，如图，由于导体球未接地，故球面上出现的感应电茶，应当用四个象电荷来取代，其中两个象电荷 和 分别位于 和 处；另外两个象qhahaz2z2电荷 和 均位于球心处，它们相互抵消，所以球外空间任一点qhap 处的电势，只是由于位于 处的象电荷 ，以及位于haz2hqa处的原电荷 ，分别产生的电势的迭加，
8、即：hzq)cos2( )cos2()cos2(1)(14212 21212120 rhrha rhrharhrq 式中 ,将上式中前两项各提出因子 ，第三项和第四项各提/ h/1出，并由 ， ，略去 和 的项，然后再泰勒展开r 2/r2r得 coscs.4242.coscs230020raErqqrahrh上式中第一项是均匀电场 以原点 O 为参考点的电势，第二项是感0E应电荷所产生的电势，导体球面上感应电势面密度为 cos3|00ra3、一线电荷密度为 的无限长带电直导线与半径为 的无限长导a体圆柱的轴线平行，直线到圆柱轴线的矩离为 （ ） ，求圆柱外d空间任一点的电位。解： 利用电象法，
9、可以取一个截面，象电荷必然是平行于原线电荷的电荷线且位于带电线圆柱线之间，设镜象线电荷到轴线的距离为 ，带电密度为 。h圆柱外空间任一点电势： ln2ln200haRh式中 ， 分别表示原电荷、镜象电荷到观察点的距离。R在柱面上任一点，有： 220220 )(cosln4)(cosln4 haahar 另外有： ar或 )cos2()cos2( 22 ahhahh所以 )a联解上两式： ，ha2 ，其中第二组解不合适，舍去。于是 。Rahln20镜像法 060330114 宋威 15 徐柳洲 16 孙浩 17 樊大斌 18 甘元虎1：一无穷大导体平面外有一电偶极矩为 p 的电偶极子。P 与导体
10、平面平行，到导体表面距离为 a，已知导体的电势为零。试求：（1）导体外的电场强度；（2）p 受导体上电荷的作用力；（3）p 与导体的相互作用能。2：一无穷大导体平面外有一电偶极矩为 p 的电偶极子，p 到导体平面的距离为 a，与导体表面法线的夹角为 。已知导体的电势为零，试求：p 受到导体表面电荷的作用力。 3 ：真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为 R1和 R2，中心线相距 d（dR1+ R2） 。试求他们间单位长度的电容。 4：真空中有一半径为 R 的导体球，球外有一电荷为 q 的点电荷，q到球心的距离为 a（a R） ，已知球的电势为零，试求：（ 1）球外的电势分布；（2
11、）球面上电荷量的面密度；（3）q 受球上电荷的作用力。5：导体内有一半径为 R 的球形空腔，腔内充满电容率为 的均匀电介质。现将电荷量为 q 的点电荷放在腔内离球心为 a（aR ）处，已知导体的电势为零。试求：（1）腔内任意一点p（r， ）的电势；（2）腔壁上感应电荷量的面密度；（ 3）介质极化电荷量的密度和面密度。电多极矩,磁多极矩：060330101 史晓佩 060330102 沈珺琛060330103 杨群 060330104 陆丽燕1，如图 1，q,-q,2q 构成一带电体系。求体系的电多极矩及相应的电势。解：按电多极矩定义作。为了避免混淆和丢失，先把点电荷编号，并写出它们的位矢。,1
12、22,(),()qxaijqxaij332,qxbk由定义,总电量 13Q电偶极矩 2()()()pxxijijkqaik电四极矩可按分量 定义求。ijD321()xiiqr式中 I 可取 1，2，3， 22i iiixqxyzi是 的 坐 标 ， r代入各量后 2221133()()()xDqrxrxr3aqaqb2b31()xyiiDqy123()xqyx226yxaaD同理可求其它分量： 其它分量为零。21zqbD该体系在远区的势，由 30001() :44QpRx R=其中 2()2()pRqaibkiyjzkqaxbz=1:D按 分 量 作 ， 有=21:ijxRiji,D22211()xzxyDyRR226qbqaz
