1、 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 1 页 共 16 页 2007年 高考数学第一轮复习 -指数与对数函数 一、指数与对数运算： （一）知识归纳： 1根式的概念： 定义：若一个数的 n 次方等于 ),1( Nnna 且 ，则这个数称 a 的 n 次方根 .即，若 axn ，则 x 称 a 的 n 次方根 )1 Nnn 且 ， 1）当 n 为奇数时， na的 次方根记作 na ； 2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 )0( aan . 性质： 1） aa nn
2、)( ； 2）当 n 为奇数时， aan n ； 3）当 n 为偶数时， )0( )0(| aaaaaan2幂的有关概念： 规定： 1） naaaa n ( N*， 2） )0(10 aa ， n 个 3） paapp (1Q， 4） maaa n mnm ,0( 、 n N* 且 )1n 性质： 1） raaaa srsr ,0( 、 s Q）， 2） raaa srsr ,0()( 、 s Q）， 3） rbababa rrr ,0,0()( Q） （注）上述性质对 r、 s R 均适用 . 3对数的概念： 定义：如果 )1,0( aaa 且 的 b次幂等于 N，就是 Nab ，那么数 b
3、 称以 a 为底N 的对数，记作 ,log bNa 其中 a 称对数的底， N 称真数 . 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 2 页 共 16 页 1）以 10 为 底的对数称常用对数， N10log 记作 Nlg ， 2）以无理数 )71828.2( ee 为底的对数称自然对数， Nelog 记作 Nln 基本性质： 1）真数 N 为正数（负数和零无对数）， 2） 01log a ， 3） 1log aa ， 4）对数恒等式： Na Na log 运算性质：如果 ,0,0,0,0 NMaa 则 1） NMMN aaa l
4、o glo g)(lo g ； 2） NMNMaaa lo glo glo g ； 3） nMnM ana (lo glo g R） . 换底公式： ),0,1,0,0,0(l o gl o gl o g NmmaaaNN mma1） 1loglog ab ba ， 2） .lo glo g bmnbana m （二）学习要点： 1 bNNaaN abn lo g, （其中 1,0,0 aaN ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算 .在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底 . 2要熟练运用初中学
5、习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验 . 【例 1】解答下述问题： （ 1）计算： 25.02121325.032 0 6 2 5.0)32.0()02.0()0 0 8.0()945()833( 解析 原式 = 41322132 )1 0 0 0 06 2 5(10 2450)81 0 0 0()949()278( 922)2917(2110 2425 1253794 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：
6、029-86570103 第 3 页 共 16 页 （ 2）计算1.0lg21036.0lg21600lg)2( lg8000lg5lg 23 . 解析 分子 = 3)2lg5( l g2lg35lg3)2( l g3)2lg33(5lg 2 ； 分母 = 41006lg26lg1011 0 0 036lg)26( lg ； 原式 =43 . （ 3）化简： .)2(2485 33 2332323323134aaaaabaaabbbaa 解析 原式 =51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()()2()(aaaaababbaabaa 2323161
7、6531313131312)2( aaaaaabaabaa . （ 4）已知： 36lo g,518,9lo g 3018 求 ba 值 . 解析 ,5lo g,518 18 bb ab ab 22 )2(2)3l o g18( l o g )9l o g18( l o g16l o g5l o g 2l o g18l o g36l o g 1818 18181818 181830. 评析 这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧 . 【例 2】解答下述问题： （
8、 1）已知 1lo g2lo glo g xxxx bca 且， 求证： baacc log2 )( 解析 0lo g,1,lo glo g2lo glo glo g xxb xcxx aa aaaa ， 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 4 页 共 16 页 2l o gl o g)1( l o gl o g2l o g2l o g11 cbccbc aaaaaa = bbaaa aa accacbac l o g2l o g )()(lo glo g)(lo g （ 2）若 0lglg ) lg (lg lglglg
9、lglg2 yx yxy yxx yx，求 )(log2 xy 的值 . 解析 去分母得 0) lg ()lg( lg 22 yxyx 110)lg ( 0lglg yxxyyx yx， x 、 y 是二次方程 012 tt 的两实根，且 yxyxyx ,1,1,0,0 ，解 得 2 51t ， 0)(l o g,2 15,2 15,0 2 yxyxx 评析 例 2 是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验 . 二、指数函数与对数函数 （一）学习要点： 1指数函数： 定义：函数 )1,0( aaay x 且 称指数函数， 1）函数的定义域为 R，
10、2）函数的值域为 ),0( ， 3）当 10 a 时函数为减函数，当 1a 时函数为增函数 . 函数图像： 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 5 页 共 16 页 1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限， 2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 10 a 时，图象向左无限接近 x 轴，当 1a 时，图象向右无限接 近 x 轴）， 3）对于相同的 )1,0( aaa 且 ，函数 xx ayay 与 的图象关于 y 轴对称 . 函数值的变化特征： 2对数函数： 定义：函数 )1,0(lo g aaxy
11、a 且称对数函数， 1）函数的定义域为 ),0( ， 2）函数的值域为 R， 3）当 10 a 时函数为减函数，当 1a 时函数为增函数， 4）对数函数 xy alog 与指数函数 )1,0( aaay x 且 互为反函数 . 1）对数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、四象限， 2）对数函数都以 y 轴为渐近线（当 10 a 时，图象向上无限接近 y 轴；当 1a 时，图象向下无限接近 y 轴） . 4）对于相同的 )1,0( aaa 且 ，函数 xyxyaa 1lo glo g 与的图象关于 x 轴对称 . 函数值的变化特征： 10 a 1a 100 yx 时 ， 10 yx
12、 时 ， 10 yx 时 10 yx 时 ， 10 yx 时 ， 100 yx 时 ， 10 a 1a 01 yx 时 ， 01 yx 时 ， 010 yx 时 . 01 yx 时 ， 01 yx 时 ， 100 yx 时 . 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 6 页 共 16 页 （二）学习要点： 1解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识 . 2指数、对数函数值的变化特点（ 上面知识结构表中的 12 个小点）是解决含指数
13、、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析 . 3含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类 . 4在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力 . 【例 1】已知 11lo g)( x mxxfa是奇函数 （其中 )1,0 aa ， （ 1）求 m 的值； （ 2）讨论 )(xf 的单调性； （ 3）求 )(xf
14、的反函数 )(1 xf ； （ 4）当 )(xf 定义域区间为 )2,1( a 时， )(xf 的值域为 ),1( ，求 a 的值 . 解析 （ 1） 011l o g11l o g11l o g)()(222 x xmx mxx mxxfxfaaa对定义域内的任意 x 恒成立， 10)1(111 222 22 mxmx xm ， 当 )1(0)(1 xxfm 时 不是奇函数， 1m ， （ 2） ,11lo g)( xxxfa定义域为 ),1()1,( ， 求导得 exxfalo g12)( 2 ， 当 1a 时， )(,0)( xfxf 在 ),1()1,( 与 上都是减函数； 当 10
15、a 时， ),1()1,()(,0)( 与在xfxf 上都是增函数； （另解）设 11)( xxxg ，任取 11 1221 xxxx 或 ， 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 7 页 共 16 页 0)1)(1( )(21111)()( 21 12112212 xx xxxxxxxgxg ， )()( 12 xgxg ，结论同上； （ 3）111)1(1111l o g yyyyya aaxaxaxxaxxy， )10,0(11)(,0,01 1 aaxaaxfya xxy 且 （ 4） )2,1()(,3,21 axf
16、aax 在 上为减函数， 命题等价于 1)2( af ，即 014131lo g 2 aaaaa ， 解得 32a . 评析 例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力 训练，要认真总结经验 . 【例 2】对于函数 )32(lo g)(221 axxxf，解答下述问题： （ 1）若函数的定义域为 R，求实数 a的取值范围； （ 2）若函数的值域为 R，求实数 a的取值范围； （ 3）若函数在 ),1 内有意义，求实数 a的取值范围； （ 4）若函数的定义域为 ),3()1,( ，求实数 a的值； （ 5）若函数的值域为 1,(
17、 ，求实数 a的值； （ 6）若函数在 1,( 内为增函数，求实数 a的取值范围 . 解答 记 222 3)(32)( aaxaxxxgu ， （ 1） Rxu 对0 恒成立， 3303 2m i n aau ， a 的取值范围是 )3,3( ； （ 2）这是一个较难理解的问题。从“ xalog 的值域为 R”，这点思考，“ u21log的值域 为 R”等价于“ )(xgu 能取遍 ),0( 的一切值”，或理解为“ )(xgu 的值域包含 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 8 页 共 16 页 了区间 ),0( ” )(x
18、gu 的值域为 ),0(),3 2 a 命题等价于 3303 2mi n aaau 或， a的取值范围是 ),33,( ； （ 3）应注意“在 ),1 内有意义”与定义域的概念是不同的， 命题等价于“ ),10)( xxgu 对 恒成立”，应按 )(xg 的对称轴 ax0 分类， 33 1210124 10)1( 12 aaaaaaga 或或， a 的取值范围是 )3,2( ； （ 4）由定义域的概念知，命题等价于 不等式 0322 axx 的解集 为 31| xxx 或 ， 3,1 21 xx 是方程 0322 axx 的两根， ,2322121 axx axx 即 a的值为 2； （ 5）
19、由对数函数性质易知： )(xg 的值域为 ),2 ，由此学生很容易得 2)( xg ，但这是不正确的 .因为“ 2)( xg ”与“ )(xg 的值域为 ),2 ”并不等价，后者要求 )(xg 能取遍 ),2 的一切值（而且不能多取） . )(xg 的值域是 ),3 2 a ， 命题等价于 123)( 2m i n aaxg ； 即 a的值为 1； （ 6）命题等价于： 0)1( 11,(0)( 1,()( 0g axxxg xg 恒成立对 为减函数在 ， 即 21aa，得 a的取值范围是 )2,1 . 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-865
20、70103 第 9 页 共 16 页 评析 学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验 . 【例 3】解答下述问题： （）设集合 03lo g21lo g2|8221 xxxA， 若当 Ax 时，函数 4lo g2lo g)( 22 xxxf a 的最大值为 2， 求实数 a的值 . 解析 3l o g21|03l o g7l o g2|2222 xxxxxA 82| xx而 axaxxaxxf 2l o g)2(l o g)2) ( l o
21、g( l o g)( 22222 ， 令 321,82,lo g2 txtx ， atattgxf 2)2()()( 2 ，其对称轴 22at ， 当 472 2 at ，即 12)3()(23m a x agtga 时，适合； 当 6132)21()(,23,472 2m a x agtgaat 时即，适合； 综上， 6131或a . （）若函数 22724)( 21 xx axf 在区间 0， 2上的最大值为 9，求实数 a的值 . 解析 2272221)( 2 xx axf ， 令 41,20,2 txtx ， ),41(2227)(2122721)()( 222 taatatttgxf
22、 抛物线 )(tg 的对称轴为 at ， 当 2584394243)4()(,25m a x aagxfa 时，不合； 当 25a 时， 5914)1()( m ax aagxf ，适合； 综上， 5a （）设关于 x 的方程 bbxx (024 1 R）， 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话： 029-86570103 第 10 页 共 16 页 （ 1）若方程有实数解，求实数 b的取值范围； （ 2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解 . 解析 （ 1）原方程为 124 xxb ， 11)12(22)2(24 221 xxxxx ，
23、),1 b当 时方程 有实数解； （ 2）当 1b 时， 12x ，方程有唯一解 0x ； 当 1b 时， bb xx 1121)12( 2 . bb xx 112,011,02 的解为 )11(lo g 2 bx ； 令 ,0111011 bbb bb x 112,01 时当 的解为 )11(lo g 2 bx ； 综合、，得 1）当 01 b 时原方程有两解： )11(lo g 2 bx ； 2）当 10 bb 或 时，原方程有唯一解 )11(lo g 2 bx ； 3）当 1b 时，原方程无解 . 评析 例 3 是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非 常广泛，应通过解题学习不断积累经验 .
