1、 - 1 - 高中数学圆锥曲线圆锥曲线的知识点梳理 与 性质对比 高 中 数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、 方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C上 f(x0,y0) 0。 两条曲线的交点
2、：若曲线 C1， C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1， C2的交点 0),( 0),( 002 001 yxf yxf方程组有 n个不同的实数解，两条曲线就有 n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义： 点集 M OM =r，其中定点 O为圆心，定长 r为半径 . 2、方程： (1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程：当 D2+E2-4F 0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey
3、+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为 )2,2( ED 半径是2 422 FED 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为 (x+2D )2+(y+2E )2=4 4F-ED 22 当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点 (-2D ,-2E ); 当 D2+E2-4F 0 时，方程不表示任何图形 . （ 3） 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M的坐标为 (x0,y0)，则 MC r 点 M在圆 C内， MC =r 点 M 在圆 C上， MC r 点 M在圆 C内，其中 MC = 2020 b)-(ya)-(x 。 （ 4） 直线和圆的位置关系：直线和圆
4、有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公 共点。 直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法； (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离22 BACBbAad 与半径 r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l的距离之 比是一个常数 e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l称为准线，正常数 e称为离心率。当 0 e 1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物 线；
5、当 e 1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（ 01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . - 2 - 轨迹条件 点集： (M MF1+ MF2=2a, F 1F2 2a 点集： M MF1 - MF2 . = 2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M 到直线 l的距离 . 图形 方 程 标准方程 12222 byax ( ba 0) 12222 byax (a0,b0) pxy 22 参数方程 为离心角）参数 (
6、sinco s by ax 为离心角）参数 ( tansec by ax pty ptx 22 2(t为参数 ) 范围 axa， byb |x| a， yR x0 中心 原点 O（ 0， 0） 原点 O（ 0， 0） 顶点 (a,0), ( a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), ( a,0) (0,0) 对称轴 x 轴， y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x轴， y轴 ; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x轴 焦点 F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2(pF 准 线 x= ca2 准线垂直于长轴，且在椭圆外 . x= ca2 准
7、线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 . x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 .焦距 2c （ c= 22 ba ） 2c （ c= 22 ba ） 离心率 )10( eace )1( eace e=1 - 3 - 【备注 1】双曲线： 等轴双曲线：双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy ，离心率 2e . 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 . 2222 byax 与 2222 byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02222 byax . 共渐近线的双曲线系方程： )0(2222 byax 的渐
8、近线方程为 02222 byax 如果双曲线的渐近线为 0byax 时，它的双曲线方程可设为 )0(2222 byax . 【备注 2】抛物线： （ 1）抛物线 2y =2px(p0)的焦点坐标是 (2p ,0)，准线方程 x=-2p ，开口向右；抛物线 2y =-2px(p0)的焦点坐标是 (-2p ,0)，准线方程 x=2p ，开口向左；抛物线 2x =2py(p0)的焦点坐标是 (0,2p )，准线方程 y=-2p ，开口向上； 抛物线 2x =-2py（ p0）的焦点坐标是（ 0,-2p ），准线方程 y=2p ，开口向下 . （ 2）抛物线 2y =2px(p0)上的点 M(x0,y
9、0)与焦点 F 的距离 20 pxMF ；抛物线 2y =-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离02 xpMF （ 3）设抛物线的标准方程为 2y =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2p ，顶点到准线的距离 2p ，焦点到准线的距离为p. （ 4）已 知过抛物线 2y =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点，则线段 AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB = 21 xx +p 或 2sin2pAB (为直线 AB的倾斜角 )， 221 pyy ， 2,4 1221 pxAFpxx (AF 叫做焦半径 ). 五、坐标的
10、变换： （ 1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换 .实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 . （ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变 ，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 （ 3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x O y中的坐标是 ),( yx .设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,k)，则 kyy hxx 或 kyy hxx 叫做平移 (或移轴 )公式
11、 . （ 4） 中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程见下表： - 4 - 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 22h)-(xa +22k)-(yb =1 ( c+h,k) x= ca2 +h x=h y=k 22h)-(xb +22k)-(ya =1 (h, c+k) y= ca2 +k x=h y=k 双曲线 22h)-(xa -22k)-(yb =1 ( c+h,k) x= ca2 +k x=h y=k 22k)-(ya -22h)-(xb =1 (h, c+h) y= ca2 +k x=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h) (2p +h,k) x=-2p +h y=k (
12、y-k)2=-2p(x-h) (-2p +h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p +k) y=-2p +k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p +k) y=2p +k x=h 六、椭圆的常用结论： 1. 点 P处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角 . 2. PT 平分 PF1F2 在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5. 若 0 0 0(
13、, )P x y 在椭圆 221xyab上，则过 0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y yab. 6. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 221xyab外，则过 0P 作椭圆的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 00221x x y yab. 7. 椭圆 221xyab (a b 0)的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12FPF ，则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PFSb . 8. 椭圆 221xyab（ a b 0）的焦半径公式 10|MF a ex , 20|MF a ex ( 1( ,0)Fc , 2
14、( ,0)Fc 00( , )Mx y ). 9. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、 Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、- 5 - N 两点，则 MF NF. 10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A2为椭圆长轴上的顶点， A1P 和 A2Q 交于点 M， A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11. AB 是椭圆 221xyab的不平行于对称轴的弦， M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则 22OM AB bkk a ，即0202 ya xbKAB 。 12. 若 0 0 0( ,
15、 )P x y 在椭圆 221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b ； 【推论】： 1、若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 002 2 2 2x x y yxya b a b 。椭圆 221xyab（ a b o）的两个顶点为 1( ,0)Aa , 2( ,0)Aa ，与 y轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 221xyab. 2、过椭圆 221xyab (a 0, b 0)上任一点 00( , )Ax y 任
16、意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向且2 02 0BC bxk ay（常数） . 3、若 P 为 椭圆 221xyab（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 12PFF , 21PFF ，则tan t22ac coac . 4、设椭圆 221xyab（ a b 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记 12FPF , 12PFF , 12FFP ，则有 sinsin sin c ea . 5、若椭圆 221xyab（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 0 e
17、 21 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 . 6、 P为椭圆 221xyab（ a b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为椭圆内一定点，则 2 1 12 | | | | | | 2 | |a A F P A P F a A F ,当且仅当 2,AFP 三点共线时，等号成立 . 7、椭圆 220022( ) ( ) 1x x y yab与直线 0Ax By C 有公共点的充要条件是 2 2 2 2 200()A a B b A x B y C . 8、已知椭圆 221xyab（ a b 0）， O为坐标原点， P、 Q为椭 圆上两动点，且
18、 OP OQ .（ 1）2 2 2 21 1 1 1| | | |O P O Q a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的最大值为 22224abab;（ 3） OPQS 的最小值是 2222abab. - 6 - 9、过椭圆 221xyab（ a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x轴于 P，则 | | 2PF eMN. 10、已知椭圆 221xyab（ a b 0） ,A、 B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x轴相交于点 0( ,0)Px , 则2 2 2 20a b a bxaa . 11、设 P点是椭圆 221xyab
19、（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、 F2为其焦点记 12FPF ，则(1) 212 2| | | 1 c o sbPF PF .(2) 12 2 tan 2PF FSb . 12、设 A、 B 是椭圆 221xyab（ a b 0）的长轴两端点， P是椭圆上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、 e分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) 22 2 22 | co s | sabPA a c co .(2) 2ta n ta n 1 e.(3) 22222 co tPAB abS ba . 13、已知椭圆 221xyab（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E
20、 ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16、椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率 ). （注 :在椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .） 17、椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、
21、椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 七、双曲线的常用结论： 1、 点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的 内角 . 2、 PT平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 . 4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P在右支；外切： P 在左支） 5、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）上，则过 0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y yab. 6、若 0
22、 0 0( , )P x y 在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）外 ，则过 Po作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 00221x x y yab. 7、 双曲线 221xyab（ a 0,b o）的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12FPF ，则双曲线的焦点角形的面积为12 2 t 2F PFS b co . - 7 - 8、双曲线 221xyab（ a 0,b o）的焦半径公式： ( 1( ,0)Fc , 2( ,0)Fc ）当 00( , )Mx y 在右支上时，10|MF ex a, 20|MF ex a；当 00
23、( , )Mx y 在左支上时， 10|MF ex a , 20|MF ex a 。 9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、 N 两点，则 MF NF. 10、过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、 A2为 双曲线实 轴上的顶点， A1P 和 A2Q交于点 M， A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11、 AB 是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M ),( 00 yx 为 AB 的中点，则0202 ya xbKK A
24、BOM ，即0202ya xbKAB 。 12、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）内，则被 Po所平分的中点弦的方程是 220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b . 13、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是 22 002 2 2 2x x y yxya b a b . 【推论】： 1、双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的两个顶点为 1( ,0)Aa , 2( ,0)Aa ，与 y轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时 A1P1与 A2
25、P2交点的轨迹方程是 221xyab. 2、过双曲线 221xyab（ a 0,b o）上任一点 00( , )Ax y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC有定向且 2 02 0BC bxk ay（常数） . 3、若 P 为双曲线 221xyab（ a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 12PFF , 21PFF ，则 tan t22ca coca （或 tan t22ca coca ） . 4、设双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记
26、12FPF , 12PFF , 12FFP ，则有 s in(s in s in ) c ea . 5、若双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 1 e 21 时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 . 6、 P为双曲线 221xyab（ a 0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线内一定点，则 21| | 2 | | | |A F a P A P F ,当- 8 - 且仅当 2,AFP 三点共线且 P 和 2,AF 在 y轴同侧时，等号成立 . 7、双曲线 221xyab（
27、a 0,b 0）与直线 0Ax By C 有公共点的充要条件是 2 2 2 2 2A a B b C. 8、已知双曲线 221xyab（ b a 0）， O为坐标原点， P、 Q为双曲线上两动点，且 OP OQ . （ 1）2 2 2 21 1 1 1| | | |O P O Q a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的最小值为 22224abba;（ 3） OPQS 的最小值是 2222abba. 9、过 双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则| | 2PF eMN . 10、已知双曲线 22
28、1xyab（ a 0,b 0） ,A、 B 是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点 0( ,0)Px , 则220 abx a或 220 abx a. 11、设 P点是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、 F2为其焦点记 12FPF ，则(1) 212 2| | | 1 c o sbPF PF .(2) 12 2 cot 2PF FSb . 12、设 A、 B是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的长轴两端点， P是 双曲线上的一点， PAB , PBA , BPA ，c、 e分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) 22 2 22
29、 | c o s | | s |abPA a c co . (2) 2ta n ta n 1 e.(3) 22222 co tPAB abS ba . 13、已知双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的右准 线 l 与 x轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 B两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相 应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .
30、16、双曲线焦三角形中 ,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率 ). (注 :在双曲线焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ). 17、双曲线焦三角形中 ,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18 双曲线焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 . 八、 抛物线的常用结论： - 9 - xcbyay 2 顶点 )244( 2 ababac . )0(22 ppxy 则焦点半径2PxPF ; )0(22 ppyx 则焦点 半径为2PyPF . 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的 . pxy 22 （或
31、pyx 22 ）的参数方程为 pty ptx 222 （或 222pty ptx）（ t 为参数） . pxy 22 pxy 22 pyx 22 pyx 22 图形 yxO yxO yxO yxO焦点 )0,2(pF )0,2( pF )2,0( pF )2,0( pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx ,0 Ryx ,0 0, yRx 0, yRx 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 （ 0,0） 离心率 1e 焦点 12 xpPF 12 xpPF 12 ypPF 12 ypPF - 10 - 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 (x2/a2)+(y2/
32、b2)=1 ab0 (x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 范围 x -a,a y -b,b x( -, -aa,+) yR x0,+) yR 对称性 关于 x 轴 ,y 轴 ,原点对称 关于 x 轴 ,y 轴 ,原点对称 关于 x 轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2-b2】 (c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2+b2】 (p/2,0) 准线 x=(a2)/c x=(a2)/c x=-p/2 渐近线 y=(b/a)x 离心率 e=c/a,e
33、(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1 焦半径 PF1=a+ex PF2=a -ex PF1=ex+aPF2=ex -a PF=x+p/2 焦准距 p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径 (2b2)/a (2b2)/a 2p 参数方程 x=acos y=bsin ， 为参数 x=asec y=btan, 为参数 x=2pt2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线 上一点 (x0x/a2)+(y0y/b2)=1 (x0,y0)的 切线 方程 (x0x/a2)-(y0y/b2)=1 y0y=p(x+x0) 斜率 为 k的切线方程 y=kx(a2)(k2)+b2 y=kx(a 2)(k2) -b2 y=kx+p/2k
