高考山东理科数学试题及答案解析.docx

1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2015 年山东，理 1】已知集合 ， ，则 （ ）2|430x|24BxAB（A） （B） （C ） （D）,31, ,32,4（2） 【2015 年山东，理 2】若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （ ）ziiz（A） （B ） （C） （D）1ii1i1i（3） 【2015 年山东，理 3】要得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）sn(4)3yxsin4yx（A）向左平移 个单位（B）向右平

2、移 个单位（C）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位121233（4） 【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 ， ，则 =（ ）a60AB（A） （B） （C） （D）3a34a242a（5） 【2015 年山东，理 5】不等式 的解集是（ ）|1|5|2x（A） （B） （C） （D ）(,4)(,)(1,)(1,5)（6） 【2015 年山东，理 6】已知 满足约束条件 若 的最大值为 4，则 （ ）,y0xyzaxya（A）3 （ B）2 （C）-2 （D）-3（7） 【2015 年山东，理 7】在梯形 中， ， ， 将梯形ACD2B/ADB22ABABCD绕 所在

3、的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）D（A） （B） （C） （D）234353（8） 【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，2(0,3)N其长度误差落在区间 内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 ，则,6 2(,)， ）().2%P(22)95.4%P（A） （ B） （C） （D）4.5613.597181.74%（9） 【2015 年山东，理 9】一条光线从点 射出，经 轴反射与圆 相切，则反射光线,)y22(3)()xy所在的直线的斜率为（ ）（A） 或 （B） 或 （C ） 或 （D） 或3523

4、5434（10） 【2015 年山东，理 10】设函数 则满足 的取值范围是（ ）1,().xf()(2faf（A） （B ） （C ） （D ）2,130,31,)第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分（11） 【2015 年山东，理 11】观察下列各式：2照此规律，当 时， 011325503774;4C *nN0121212nnnCC（12） 【2015 年山东，理 12】若“ ”是真命题，则实数 的最小值为 0,ta4xxmm（13） 【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 的值为 T（14） 【2015 年山东，理 14】已知函

5、数 的定义域和值域都是 ，则 ()xfab(0,1)a1,0ab（15） 【2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线Oy21:(,)xyCab交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为 2:(0)Cxpy,AB21三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分（16） 【2015 年山东，理 16】 （本小题满分 12 分）设 2()sincos()4fxx（）求 的单调区间；()fx（）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积ABC, ,ab()0,12AfaABC（17） 【2015 年山东，理 17】 （本小题满分 12 分）如图，在三棱台 中，DE

6、FABC分别为 的中点2,ABDEGH,ACB（）求证： 平面 ；/F（）若 平面 ， ，求平面 与平,45DEBACGH3面所成角（锐角）的大小ACFD（18） 【2015 年山东，理 18】 （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 nanS23n（）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 b3lognnanbnT（19） 【2015 年山东，理 19】 （本小题满分 12 分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十nn位数字大于百位数字，则称 为“三位递增数”（如 137，359，567 等） 在某次数学趣味活动中，每位参n加者需从所有的

7、“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；4（）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 XEX（20） 【2015 年山东，理 20】 （本小题满分 13 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的xOy2:1(0)xyCab离心率为 ，左、右焦点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半径的圆3212F1 2F相交，交点在椭圆 上C（）求椭圆 的方程；（）

8、设椭圆 ， 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两2:4xyEabPCPykxmE,AB点，射线 交椭圆 于点 POQ（i）求 的值；（ ii）求 面积最大值|QAB5（21） 【2015 年山东，理 21】 （本题满分 14 分）设函数 ，其中 2()ln1)()fxaxaR（）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；()fx（）若 ， 成立，求 的取值范围0a62015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2015 年山东，理 1】已知集

9、合 ， ，则 （ ）2|430x|24BxAB（A） （B） （C ） （D）,31, ,32,4【答案】C【解析】 ， ，故选 C2|40|x(,)A（2） 【2015 年山东，理 2】若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （ ）zi1iz（A） （B） （C ） （D ）1i i1i1i【答案】A【解析】 ， ，故选 A2()i1izz（3） 【2015 年山东，理 3】要得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）sin(4)3yxsin4yx（A）向左平移 个单位（B）向右平移 个单位（C ）向左平移 个单位（D）向右平移 个单位121233【答案】B【解析】 ，只需将函数 的图像向右平

10、移 个单位，故选 Bsin4()yxsin4yx12（4） 【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 ， ，则 =（ ）a60AB（A） （B ） （C） （D ）23a23a3423a【答案】D【解析】由菱形 ABCD 的边长为 ， 可知 ，60A18062D，故选 D2 3()( cosBCADBaa（5） 【2015 年山东，理 5】不等式 的解集是（ ）|1|5|x（A） （B） （C） （D ）(,4)(,)(1,4)(1,5)【答案】A【解析】当 时， 成立；当 时， ，解得 ，则1x()42x1x5)26x4x；当 时， 不成立综上 ，故选 A51(5)x（6）

11、【2015 年山东，理 6】已知 满足约束条件 若 的最大值为 4，则 （ ）,y02yzaya（A）3 （ B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】由 得 ，借助图形可知：当 ，即 时在 时有最大值 0，不符合zaxyaxz1a0xy题意；当 ，即 时在 时有最大值 ，不满足 ；当010xy4,3a1a，即 时在 时有最大值 ，不满足 ；当 ，即11,时在 时有最大值 ，满足 ，故选 B2,24,a（7） 【2015 年山东，理 7】在梯形 中， ， ， 将梯形ABCD2/ADC22ADABCD绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）AD7（A） （B） （C）

12、 （D）2343532【答案】C【解析】 ，故选 C2215V（8） 【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，2(0,3)N其长度误差落在区间 内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 ，则3,6 2(,)， ）().2%P(22)95.4%P（A） （ B） （C） （D）4.561.597181.74%【答案】D【解析】 ，故选 D1(3)(95.468.)3.2（9） 【2015 年山东，理 9】一条光线从点 射出，经 轴反射与圆 相切，则反射光线(2,y22(3)()1xy所在的直线的斜率为（ ）（A） 或 （B） 或 （

13、C ） 或 （D） 或5335443【答案】D【解析】 关于 轴对称点的坐标为 ，设反射光线所在直线为 即 ，(2,)y(2,)3(2),ykx20ky则 ，解得 或 ，故选 D2|33|1,5|1kdk43k（10） 【2015 年山东，理 10】设函数 则满足 的取值范围是（ ）3,()2.xf()(2faf（A） （B） （C） （D）,130,1,31,)【答案】C【解析】由 可知 ，则 或 ，解得 ，故选 C()(2faf()f2a12a第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分（11） 【2015 年山东，理 11】观察下列各式：照此规律，当 时，

14、 011325503774;4C *nN0121212nnnCC【答案】 14n【解析】 02101212122212( )n nn nnnCC 321121011212 2()()(4n nnnn nCC （12） 【2015 年山东，理 12】若“ ”是真命题，则实数 的最小值为 0,ta4xxmm【答案】1【解析】 “ ”是真命题，则 ，于是实数 的最小值为 10,tan4xxmtan18（13） 【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 的值为 T【答案】 16【解析】 11200136Txd（14） 【2015 年山东，理 14】已知函数 的定义域和值域都是 ，则 (

15、)xfab(0,1)a1,0ab【答案】 32【解析】当 时 ，无解；当 时 ，解得 ，则 1a10b01a10b12,ba132b（15） 【2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线xOy21:(0,)xyCa交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为 2:()Cxpy,AB21【答案】 3【解析】 的渐近线为 ，则21:(0,)abbyxa22(,),(,)pbpbABaa的焦点 ，则 ，即 ，2:()Cxpy(,)2pF2AFkpba254， 2294cab32cea三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分（16） 【2015 年山东，理 16】 （

16、本小题满分 12 分）设 2()sincos()4fxx（）求 的单调区间；()fx（）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积ABC, ,ab()0,12AfaABC解：（）由 ，111()sin2cos(2)sin2sinifxxxx由 得 ，2,kkZ,44kkZ则 的递增区间为 ；()fx,由 得 ，322,kk3,44kxk则 的递增区间为 ()fx,4Z（）在锐角 中， ， ，而 ，ABC11()sin0,sin22fA6A1a由余弦定理可得 ，当且仅当 时等号成立，1co3()6bbcbcbc即 ， 故 面积的最大值32bc123sinsi264ABCS ABC为 2349

17、（17） 【2015 年山东，理 17】 （本小题满分 12 分）如图，在三棱台 中，DEFABC分别为 的中点2,ABDEGH,ACB（）求证： 平面 ；/F（）若 平面 ， ，求平面 与平,45DEBACGH面所成角（锐角）的大小F解：（）证明：连接 ， ，设 与 交于点 ，GFT在三棱台 中， ，则 ，DEABC22而 是 的中点， ，则 ，G/所以四边形 是平行四边形， 是 的中点， DCGFCA又在 ，是 的中点，则 ，THBA又 平面 ， 平面 ，故 平面 BFF/H（）由 平面 ，可得 平面 而， ， ，CAG45B则 ，于是 两两垂直，以点 为坐标原点，,B所在的直线，分别为

18、轴建立空间直角坐标系，,G,xyz设 ,则 ,21,2DECA，2(0)(,0)(,)(0)BFH则平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为AC10nFGH，则 ，即 ，22(,)nxyz2G220xyz取 ，则 ， ，212,2(1,)n，故平面 与平面 所成角（锐角）的大小为 cos,nFHACFD60（18） 【2015 年山东，理 18】 （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 nanS23n（）求数列 的通项公式；na（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 b3lognnanbnT解：（）由 可得 ， ，23nS1()2S111(3)(3)(2)2nnaS而 ，则 1

19、1a,3n（）由 及 ，可得3lognnb1,na31lognnab， ，2311n nT 23411233n nnT222 1()3 3131992383nnnn 124nnT（19） 【2015 年山东，理 19】 （本小题满分 12 分）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十10位数字大于百位数字，则称 为“三位递增数”（如 137，359，567 等） 在某次数学趣味活动中，每位参n加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-

20、1 分；若能被10 整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望 XEX解：（）125，135，145，235，245，345；（） 的所有取值为-1，0，1X321284443 399 9211(0),(),()CCCPPPX甲得分 的分布列为：0 -1 1P231442210()134EX（20） 【2015 年山东，理 20】 （本小题满分 13 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的xOy2:1(0)xyCab离心率为 ，左、右焦点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半径的圆212F1 2F相交，

21、交点在椭圆 上C（）求椭圆 的方程；（）设椭圆 ， 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两2:4xyEabPCPykxmE,AB点，射线 交椭圆 于点 POQ（i）求 的值；（ ii）求 面积最大值|QAB解：（）由椭圆 的离心率为 可知 ，而 则 ， 2:1(0)xyCab3232cea22bc,3abc左、右焦点分别是 ,圆 ： 圆 ：23,(F1F()9,xbyF2(3)1xy由两圆相交可得 ，即 ，交点 在椭圆 上，2432,1()3C则 ，整理得 ，解得 ， （舍去） ，221()4313bb 4250b2b214故 ， ，椭圆 的方程为 2aC21xy（） （i）椭圆 的方程为 ，设点 ，满足 ，射线 ，E2164xy0(,)P2014xy0:()yPOx代入 可得点 ，于是 21xy0(,2Qxy2200()()|OQx（ii）点 到直线 距离等于原点 到直线 距离的 3 倍：0(,)QABAB， ，得 ，22| |311kxymdk2164kxmy224()16km整理得 (4)840x