1、班级 姓名 学号1第三章 中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数 在区间 上的正确性。xfln)(e,1解：函数 在区间 上连续，在区间 内可导，故 在 上满()lnfx1,e()()fx1,e足拉格朗日中值定理的条件。又 ，解方程xf)(得 。因此，拉格朗日中值定理,1,1)()( eeff 上 ),1(e对函数 在区间 上是正确的。lnfx,2不求函数 的导数，说明方程 有几个实)4(3)2()(xx 0)(xf根，并指出它们所在的区间。解：函数 可导，上上,1)(xf 上上(3,4)2),1(且 。由罗尔定理知，至少存在(1)2(3)40ff),(1),(2使 即方程 有至
2、少三个实根。又因方程,43),21 ii()0fx为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程 有且只有三个实()0fx ()0fx根，分别位于区间 内。(,)3,(4)3若方程 有一个正根 证明:0110 xaxann ,0x方程 必有一个小于 的正根。)(21n解：取函数 。 上连续，在 内可101nnfxxx 0(),fx在 0(,)x导，且 由罗尔定理知至少存在一点 使 即方程(), f必有一个小于 的正根。120 10nnnaxxa 0x班级 姓名 学号24设 求证不等式： ,1ba .arcsinrib证明：取函数 在a,b 上连续，在（ a, b）内可导，)(,rcsin)(xfx
3、f由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ，使 ，),()()ffab即 ，21arcsinri()bab故 .1riri25设 在 上连续，在 内可导，证明存在 使 )(xf)0(,ba),(ba),(ba.3(22ff证明：取函数 ，则 在 上连续，在 内可导，由柯3()gx()gx,(0)ab(,)ab西中值定理知，存在 ，使 ，,33(ff即 。22()()(fbafb6证明恒等式: .cotrctnxa证明：取函数 ，则 . 则()rfx221()0fxx因为 ，故 。.)(上cxf (1)actnotfr()f7证明：若函数 在 内满足关系式 且 则xf,)(xf ,1.xef)(证明
4、： 故,0)()()(,)(2 xxxx effeffFf上上班级 姓名 学号3，又CxF)(0)1,1,.xxFfeef故 即 故8用洛必达法则求下列极限（1） nmaxli解： 1lili 0.mnnnxaxaa（2） bx0lim解： 00lnlliinl1xxxaabab（3） 22)(silnixx解： 81cslim)2(4cotli)(ilim222 xxxx （4） )0,1logiax解： 0ln1ilili1 axxax（5） )2ln(t7im0x解： 2sec17lim2sectan17li)l(tai 000 xxxx2sec7lim0x班级 姓名 学号4（6） xx
5、2cotlim0解： 21coslim2sec1litanlitli 0000 xxxxx（7） )1ln(i1x解： 111llim()liin()()lnxxxx11lili() 2lxx（8） )ln(im10xex解：因为 ，而 .1lnl()ln()xexeA 1lim1li)1(lnim0x0x0 xx eee所以 xex)1ln(0i（9） xxtalim解：因为 ，而tantaln1()xxe,0sinlmcs1licotliltli 22 xxxx所以， tan01lim().xx9. 验证 存在，但是不能用洛必达法则求出。xsili班级 姓名 学号5解：由于 不存在，故不能
6、使用洛必达法则来求此极限，(sin)1coslimlixx但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：。sisilili101xx10. 当 时，求函数 的 阶泰勒公式。0xf)(n解：因为 1!,!,nnfx故 23111!ffffxx11!nnnfx2 1121 nnxx 其中 介于 x 与 之间.11. 求函数 的 阶麦克劳林公式。xef)(n解：因为 故),0,nfn12 100!nnx nfffefxxx32 11.!()!n ne其中 介于 x 与 0 之间。12 确定函数 的单调区间。xy694123解：函数除 外处处可导，且班级 姓名 学号62323210()10(86) .494
7、96xxy令 ，得驻点 这两个驻点及点 把区间 分成四个部12,. 0x,分区间 ,0,.当 时， ，因此函数在1,2x0y内单调减少。,0(,)当 时， ，因此函数在 内单调增加。1,2x0y1,213证明不等式：当 时， x .1)ln(22xx证明：取函数 21l(),0ftttt2 222ln()l(1),().1fttt ttxtt因此，函数 在 上单调增加，故当 时， ，即ft0,x0x0ft221ln(1),x亦即，当 时，022ln(1).xx14. 设 在 时都取得极值，试确定 的值，并判baxf2l)( ,2 ba,断 在 是取得极大值还是极小值？21,解： ， 在 取得极
8、值，则1fxabxf12,x班级 姓名 学号7， ，故120fab1(2)40fab21,.36ab又因 ，故 ，所以21fx1 06f在 时取得极大值； ，所以 在f2213fabfx时取得极小值。1x15求函数 在闭区间 上的最大值与最小值。32)1(xxf1,解：函数除 外处处可导， 令 ，得驻0323().fxx0f点 又因 ， ， ， ，2.5x12f0f3245f1f故，最小值为 ，最大值为 。16某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为 问底宽 为多少时，.2mx才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设界面周长为 ，已知 及 即l2xly25,x.8yx故
9、 104,(,).4xl2310,.llx令 ， 得 驻 点 由 知 为 极 小 值 点 。l .3402xl40x又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为 时，40x班级 姓名 学号8才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。17求函数 图形的拐点及凹或凸的区间。)1ln(2xy解： 222(1), .()xxA令 ，得 。0y12,x当 时， ，因此函数在 内是凸的；,0y(,1当 时， ，因此函数在 内是凹的；当 时， ，因此函数在 内是凸的。1,xy,)曲线有两个拐点，分别为 1,ln2l.18利用函数图形的凹凸性，证明: ).1,0,(2)(21 nyxx
10、yxnn证明：取函数 则,).nftt12,(1,(0).nnft t当 时， ，故函数在 上是凹的，故对任何0,)ftt,，恒有0,xy1(),22xyfxyf即 1()(),(0,1).2nnxyn19试决定曲线 中的 使 为驻点, 为拐 dcxba23 ,cba2x10,点，且通过 .4,班级 姓名 学号9解：由题设知 ，即 .01412xxy026418bacd解得 .,4,3,dcba20描绘函数 的图形。2)1()xf解：（1）定义域 ； ,（2） .43)1(2),1(2) xfxf;0f上上 ;f上上（3）列表如下：x )21,()0,21(0 (0,1) 1 ),()(f-
11、- - 0 +不存在-xf- 0 + + + 不存在+上)(fy拐点 98,21极小值 1)0(f（4） ， . 21)(limx)1(li2xx=1 是垂直渐近线；y =0 是水平渐近线.(5)取辅助点 .,4302,班级 姓名 学号10（6）作图：21求椭圆 在点 处的曲率及曲率半径。42yx,0解： 两边对 x 求导得 , 从而 .42 028yyx4两边对再 x 求导得 .08yx y24把 代入 得 ,2,y0)(把 代入 .,0yx0)( 2上因此椭圆在点 处的曲率为 ,2, 2)1(02/3)2,0( yxk曲率半径 .1k22试问：抛物线 上哪一点处的曲率最大？cbxay2解： 0 2 3 4 5 x(2 x( x)2,2ay231baxK上 ,2c.,02上上上 K .上上
