1、1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 （理工类）20185（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 ， ，则 = 2log1Ax1BxABA B C D(,(+)， ()， 1+)，2在 中， ，则C =1,2,=6A B 或 C D 或 44443执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为 A B1013C D12144在极坐标系中，直线 与圆 的位置关系为:co
2、sin2l:2cosCA相交且过圆心 B相交但不过圆心C相切 D相离5如图，角 ， 均以 为始边，终边与单位圆 分别交于OxO点 ， ，则 =ABA B )sin()sin(C D coco6已知函数 则“ ”是“ 函数 在 上单调递增”的2,()xaf0()fx0,)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 终边 终边终边 ABO xy2C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7某校象棋社团组织中国象棋比赛采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数
3、至少为A4 B5 C6 D78若三个非零且互不相等的实数 成等差数列且满足 ，则称123,x123x成一个“ 等差数列”.已知集合 ，则由 中的三个元123,x0,MxZM素组成的所有数列中， “ 等差数列 ”的个数为A25 B50 C51 D100第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9计算 _ 21=(i)10双曲线 的离心率是_；该双曲线的两条渐近线的夹角是(0)xy_11若 展开式的二项式系数之和为 ，则 _，其展开式中的含 项的系数31()nx8n31x为_ （用数字作答） 12已知某三棱锥的三视图如图所示
4、，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是_13已知不等式组 在平面直角坐标系 中所表示的平 0,21()yxkxOy面区域为 ， 的面积为 ，则下面结论：DS当 时，D 为三角形； 当 时，D 为四边形；0k0当 时， ； 当 时， 为定13413kS值其中正确的序号是_ DCB A1正视图 11 侧视图俯视图314如图，已知四面体 的棱 平面 ，且 ，其余的棱长均为 四ABCD/2AB1面体 以 所在的直线为轴旋转 弧度，且始终在水平放置的平面 的上方如果ABx将四面体 在平面 内正投影面积看成关于 的函数，记为 ，则函数 的最()Sx()Sx小值为 ； 的最小正周期为 ()Sx三、解
5、答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 (本小题满分 13 分)已知函数 的图象经过点 ， .(2sin(cos)fxxa(,1)2aR（）求 的值，并求函数 的单调递增区间；af（）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围0,2x()xm16(本小题满分 13 分)某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分每项评分最低分 0 分，最高分 100分每个景点总分为这五项得分之和根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提
6、供的信息，完成下列问题：（）若从交通得分前 5 名的景点中任取 1 个，求其安全得分大于 90 分的概率；（）若从景点总分排名前 6 名的景点中任取 3 个，记安全得分不大于 90 分的景点个数为，求随机变量 的分布列和数学期望；（）记该市 26 个景点的交通平均得分为 ，安全平均得分为 ，写出 和 的大小关1x2x12x系？ （只写出结果）17(本小题满分 14 分)4如图，在四棱锥 中，平面 平面 是等腰三角形，且PABCDPBACDPB；在 梯形 中， ， ， 3PBCA5,4,3C（）求证： 面 ； /（）求二面角 的余弦值；APBC（）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？ HBAD
7、P请说明理由18(本小题满分 13 分)已知函数 2(exfa()R（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；)y(0,)f30xya（）当 时，讨论函数 的零点个数12a()fx19 (本小题满分 14 分)已知抛物线 2:Cyx（）写出抛物线 的准线方程，并求抛物线 的焦点到准线的距离；C（）过点 且斜率存在的直线 与抛物线 交于不同两点 ,且点 关于 轴(,0)l ABx的对称点为 ，直线 与 轴交于点 DAxM（）求点 的坐标；M（）求 与 面积之和的最小值OB20 (本小题满分 13 分)若无穷数列 满足：存在 ，并且只要 ，就有na*(,)pqapqNpqa； 为常数） ，则称
8、 具有性质 (1,23piqiat tnT（）若 具有性质 ，且 ， ， ，求nT31245,1,a78936；3（）若无穷数列 的前 项和为 ，且 （ ） ，证明存在无穷多个nanSnbR的不同取值，使得数列 具有性质 ；bT（）设 是一个无穷数列，数列 中存在 ，且n napqa*(,)pqN求证：“ 为常数列”是“ 对任意正整数 都具*1cos()naNb1,na有性质 ”的充分不必要条件TCDPBA5北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）20185一、选择题：（本题满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D C B C A C B二、填空题：
9、（本题满分 30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 1i223 13 24三、解答题：（本题满分 80 分）15 (本小题满分 13 分)解：（）根据题意得 2sin(cos)12a即 ，解得 (10)a又 2sin(cos)1fxxisin2cosx2in()4x由 ，4kkZ得 ，所以 ，3224x388kxk所以函数 的单调递增区间是 7 分()f, Z（）由（）可知 2sin()4fxx当 时， ，0,2x,46所以 2sin()14x所以 1)f当 ，即 时， 取得最小值 24x0x()fx1因为不等式 恒成立等价于 ，()fmf最 小 值所以 1故实数 的取值范围是
10、13 分(,116(本小题满分 13 分)解：（）由图可知，交通得分前 5 名的景点中安全得分大于 90 分的景点有 3 个故从交通得分前 5 名的景点中任取 1 个，其安全得分大于 90 分的概率为 3 分5（）由图可知，景点总分前 6 名的景点中安全得分不大于 90 分的景点有 2 个设从景点总分前 6 名的景点中任取 3 个，安全得分不大于 90 分的个数为 ，则 的取值为0,12所以 ； ；3461(0)25CP12436()05CP1436()故 的分布列为012P53所以 10 分13025E（） 13 分12x717(本小题满分 14 分)证明：（）因为 ，ABDC又因为 ， ，
11、P平 面 PDC平 面所以 平面 3 分/（）取 中点 ，在 中，因为 ，所以 .FBC FB又易知 所以 .5,AAF又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，PDPBC=ADC所以 平面 所以 FABCFA以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz在梯形 中，因为 ， ， ， ，DADC4,3D5AB所以 ， 25BC25F又因为 ，所以 于是有3P(0,)(,0)(,0),(5,)ABC所以 ， ， 25,F2,(0,2)PB因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量PC(5,)F设平面 的一个法向量为 ，则BA,xyzm即 所以0,Pm250,.yz2,5.xz令 ，则 2y(1,)所
12、以 25,0(1,5)0cos,4FAzyx CDPBAFCDPBA8由图可知，二面角 为锐角，APBC所以二面角 的余弦值 9 分10（）因为 ，且 ，所以 5,3ABDC(25,)35CDAB所以 AB248(5,0)(,250)(,0)5设平面 的一个法向量为 ，则ADP1,xyzn即 所以0,n114580,2.xz12,5.xyz令 ，则 1x(,5)假设线段 上存在点 ，使得 平面 ，且设 APHBADP(0,1)HAP所以 (25,0)(25,0)所以 ,2(51),2)B因为 平面 ，所以 HADP/BHn所以 显然 不存在25(1)52所以假设不成立，故线段 上不存在点 ，使
13、得 平面 14 分APBHADP18(本小题满分 13 分)解：由题意可知 (1)(e2xfxa（）因为曲线 在点 处的切线方程为 ，y0,f30xy所以 由 得 4 分(0),f()3.fe2（）当 时，令 得 或 12a()1()0xfxa1xln(2)a当 ，即 时，ln(),2ea9当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf,ln2al()ln(2),1a(1,)()fx0 0()f 极大值 极小值 所以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递xln(2),1a(,ln2)a(1,)增又因为 ， ，2(l)l()0f()f所以函数 有一个零点 x当 ，即 时，ln(2)1a2e当
14、变化时， ， 的变化情况如下表：x(fx)f,1(,)()fx0()f 1()efa所以函数 在 上单调递增x,+)又因为 ，所以函数 有一个零点(0)f(fx当 ，即 时，1ln(2)a1,)2e当 变化时， ， 的变化情况如下表：xfx()f(,)1,ln()al(2)ln(),a)fx0 010()fx 极大值 极小值 所以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增1,ln(2)a(,1)(ln2),a又因为 ， ，22()e+4e0f1ef， ，lnl()aa()f所以当 时，此时 ，函数 有一个零点；1,e210efa()fx当 时，此时 ，函数 有两个零点；a(1)0f()fx当 时，此时 ，函数 有三个零点1(,)2e10efa()fx当 ，即 时，显然函数 有两个零点ln()0a()fx综上所述， （1）当 时，函数 有一个零点；1(,)e()f（2）当 时，函数 有两个零点；,2a()fx（3）当 时，函数 有三个零点 13 分1(,)e()f另外的解法提示： ，易知 .即可考虑2xfa(0)f的零点.()e2xga19(本小题满分 14 分)解：（）由题意可知，抛物线的准线方程为 12x抛物线 的焦点到准线的距离为 4 分C（）由已知设直线 ，显然 ； ， ， .:(2)lykx0k1(,)Ay2(,)Bx12x由 得 2,()ykx4
