概率论与数理统计及其应用全部课后答案.doc

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1、 概率论与数理统计及其应用 习题解答 1 第 1 章 随机变量及其概率 1,写出下列试验的样本空间: ( 1) 连续投掷一颗骰子直至 6 个结果 中有一个结果 出现 两次,记录投掷的次数。 ( 2) 连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次,记录投掷的次数。 ( 3) 连续投掷一枚硬币直至正面出现,观察正反面出现的情况。 ( 4) 抛一枚硬币,若出现 H 则再抛一次;若出现 T,则再抛一颗骰子,观察出现的各种结果。 解 :( 1) 7,6,5,4,3,2S ;( 2) ,4,3,2 S ;( 3) , TTTHTTHTHHS ;( 4) 6,5,4,3,2,1, TTTTTTH

2、THHS 。 2, 设 BA, 是两个事件,已知 ,125.0)(,5.0)(,25.0)( ABPBPAP ,求)(),(),(),( _ ABBAPABPBAPBAP 。 解 : 625.0)()()()( ABPBPAPBAP , 3 7 5.0)()()()( ABPBPBASPBAP , 8 7 5.0)(1)( _ ABPABP , 5.0)(6 2 5.0)()()()( _ ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3, 在 100, 101, , 999 这 900 个 3 位数中,任取一个 3 位数,求不包含数字 1 个概率。 概率论与数理统计及其应用 习题解答 2 解

3、: 在 100, 101, , 999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3位数的个数为 648998 ,所以所求得概率为 72.0900648 4, 在仅由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中,任取一个三位数。( 1)求该数是奇数的概率;( 2)求该数大于 330 的概率。 解 : 仅由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有 100455 个。( 1)该数是奇数的可能个数为48344 个,所以出现奇数的概率为 48.010048 ( 2)该数大于 330 的可能个数为 48454542 ,

4、所以该数大于330 的概率为 48.010048 5,袋中有 5 只白球, 4 只红球, 3 只黑球,在其中任取 4 只,求下列事件的概率。 ( 1) 4 只中恰有 2 只白球, 1 只红球, 1 只黑球。 ( 2) 4 只中至少有 2 只红球。 ( 3) 4 只中没有白球。 解 : ( 1)所求概率为338412131425 C CCC; 概率论与数理统计及其应用 习题解答 3 ( 2) 所求概率为1 6 5674 9 52 0 14124418342824 C CCCCC; ( 3)所求概率为16574953541247 CC。 6, 一公司向 M 个销售点分发 )( Mnn 张提货单,设

5、每张提货单分发给每一销售点是等可能的,每一销售点得到的提货单不限,求其中某一特定的销售点得到 )( nkk 张提货单的概率。 解 :根据题意, )( Mnn 张提货单分发给 M 个销售点的总的可能分法有 nM 种,某一特定的销售点得到 )( nkk 张提货单的可能分法有knkn MC )1( 种, 所以某一特定的销售点得到 )( nkk 张提货单的概率为nknkn MMC )1( 。 7, 将 3 只球( 13 号)随机地放入 3 只盒子( 13 号)中,一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子,称为一个配对。 ( 1)求 3 只 球至少有 1 只配对的概率。 ( 2)求没有配对的概率。

6、解 :根据题意,将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的放法有 3! =6种 : 123, 132, 213, 231, 312, 321; 没有 1 只配对的放法有 2 种 :312, 231。 至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。 所以 ( 2)没有配对的概率为 3162 ; ( 1)至少有 1 只配对的概率为 32311 。 概率论与数理统计及其应用 习题解答 4 8,( 1)设 ,1.0)(,3.0)(,5.0)( ABPBPAP ,求 )|(),|(),|( BAAPABPBAP , )|(),|( ABAPBAABP . ( 2)袋中有 6 只白球, 5 只红球,每次

7、在袋中任取 1 只球,若取到白球,放回,并放入 1 只白球;若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4 次,求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解 :( 1) 由题意可得 7.0)()()()( ABPBPAPBAP ,所以 313.0 1.0)( )()|( BP ABPBAP, 515.0 1.0)( )()|( AP ABPABP, 75)( )()( )()|( BAP APBAP BAAPBAAP, 71)( )()( )()|( BAP ABPBAP BAABPBAABP, 1)( )()( )()|( ABP ABPABP ABAPABAP 。 ( 2) 设 )

8、4,3,2,1( iAi 表示 “ 第 i 次 取到白球”这一事件,而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为 4321 AAAA ,它的概率为 (根据乘法公式) )|()|()|()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP 0408.020592840124135127116 。 9,一只盒子装有 2 只白球, 2 只红球,在盒中取球两 次,每次任取一只,做不放回抽样, 已知得到的两只球中至少有一只是红球,求另一只也是红球的概率。 解 :设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件 A ,“另一只概率论与数理统计及其

9、应用 习题解答 5 也是红球”记为事件 B 。则 事件 A 的概率为 65314232422)( AP (先红后白,先白后红,先红后红) 所求概率为 51653142)()()|( APABPABP 10, 一医生根据以往的资料得到下面的讯息,他 的病人中有 5%的人以为自己患癌症,且确实患癌症;有 45%的人以为自己患癌症,但实际上未患癌症;有 10%的人以为自己未患癌症,但确实患了癌症;最后 40%的人以为自己未患癌症,且确实未患癌症。以 A 表示事件“一病人以为自己患癌症”,以 B 表示事件“病人确实患了癌症”,求下列概率。 ( 1) )(),( BPAP ;( 2) )|( ABP ;

10、( 3) )|( ABP ;( 4) )|( BAP ;( 5) )|( BAP 。 解 : ( 1)根据题意 可得 %50%45%5)()()( BAPABPAP ; %15%10%5)()()( ABPBAPBP ; ( 2) 根据条件概率公式: 1.0%50 %5)( )()|( AP ABPABP; ( 3) 2.0%501 %10)( )()|( AP ABPABP; ( 4)179%151 %45)( )()|( BP BAPBAP; ( 5)31%15 %5)( )()|( BP ABPBAP。 概率论与数理统计及其应用 习题解答 6 11,在 11 张卡片上分别 写上 engi

11、neering 这 11 个字母,从中任意连抽6 张,求依次排列结果为 ginger 的概率。 解 :根据题意,这 11 个字母中共有 2个 g, 2 个 i, 3 个 n, 3 个 e, 1个 r。从中任意连抽 6 张,由独立性,第一次必须从这 11 张中抽出 2个 g 中的任意一张来,概率为 2/11;第二次必须从剩余的 10 张中抽出 2 个 i中的任意一张来,概率为 2/10;类似地,可以得到 6 次抽取的概率。最后要求的概率为 9 2 4 013 3 2 6 4 03661738193102112 ;或者 9 2 4 01611 111311131212 A CCCCCC 。 12,

12、据统计,对于某一种疾病的 两种症状:症状 A、症状 B,有 20%的人只有症状 A,有 30%的人只有症状 B,有 10%的人两种症状都有,其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人,求 ( 1)该人两种症状都没有的概率; ( 2)该人至少有一种症状的概率; ( 3)已知该人有症状 B,求该人有两种症状的概率。 解 : ( 1)根据题意,有 40%的人两种症状都没有,所以该人两种症状都没有的概率为 %40%10%30%201 ; ( 2) 至少有一种症状的概率为 %60%401 ; ( 3)已知该人有症状 B,表明 该人属于由只有症状 B 的 30%人群或者两种症状都有的 10%的

13、人群,总的概率为 30%+10%=40%,所以在已知该人有症状 B 的条件下该人有两种症状的概率为 41%10%30 %10 。 概率论与数理统计及其应用 习题解答 7 13,一在线计算机系统,有 4条输入通讯线,其性质如下表,求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。 通讯线 通讯量的份额 无误差的讯息的份额 1 0.4 0.9998 2 0.3 0.9999 3 0.1 0.9997 4 0.2 0.9996 解 : 设“讯号通过通讯线 i 进入计算机系统”记为事件 )4,3,2,1( iAi ,“进入讯号被无误差地接受”记为事件 B 。则根据全概率公式有 9 9 9 6.02.09 9

14、 9 7.01.09 9 9 9.03.09 9 9 8.04.0)|()()( 4 1 i ii ABPAPBP =0.99978 14, 一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法,对于确实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果;而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有 10%的人患有关节炎,问一名被检验者经检验,认为他没有关节炎,而他却有关节炎的概 率。 解 :设“一名被检验者经检验认为 患 有关节炎”记为事件 A ,“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件 B 。 根据全概率公式有 %1.12%4%90%85%10)|()()|()()( BAPBPB

15、APBPAP , 所以 , 根据条件概率得到 所要求的概率为 %06.17%1.121 %)851%(10)(1 )|()()( )()|( AP BAPBPAP ABPABP即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%. 概率论与数理统计及其应用 习题解答 8 15, 计算机中心有三台打字机 A,B,C, 程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6, 0.3, 0.1,打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。已知 一程序因打字机发生故障而 被 破坏 了 ,求该程序 是在 A,B,C 上打字 的概率分别为多少? 解 : 设“程序因打字机发生故障而被

16、破坏”记为事件 M ,“程序在 A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件 321 , NNN 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()( 31 i ii NMPNPMP, 根据 Bayes 公式,该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为 24.00 2 5.0 01.06.0)( )|()()|( 111 MP NMPNPMNP , 60.00 2 5.0 05.03.0)( )|()()|( 222 MP NMPNPMNP , 16.0025.0 04.01.0)( )|()()|( 333 MP NMPNPMNP 。 16, 在通讯网络中装有

17、密码钥匙, 设全部收到的讯息中有 95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的,而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。 解 :设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件 A ,“一讯息是可信的”记为事件 B 。根据 Bayes 公式,所 要求的概率为 %9 9 4 7.99%1.0%51%95 1%95)|()()|()( )|()()( )()|( BAPBPBAPBP BAPBPAP ABPABP概率论与数理统计及其应用 习题解答 9 17, 将一枚硬币抛两次,以 A,B,C 分别记事件“第一次得 H”,“第二次得 H”,“两

18、次 得 同一面”。试验证 A 和 B, B 和 C, C 和 A 分别相互独立(两两独立),但 A,B,C 不是相互独立。 解 :根据题意,求出以下概率为 21)()( BPAP , 2121212121)( CP ; 412121)( ABP , 412121)()( CAPBCP , 412121)( ABCP 。 所以有 )()()( BPAPABP , )()()( CPAPACP , )()()( CPBPBCP 。 即表明 A 和 B, B 和 C, C 和 A 两两独立。但是 )()()()( CPBPAPA B CP 所以 A,B,C 不是相互独立。 18, 设 A,B,C 三

19、个运动员自离球门 25 码处踢进球的概率依次为 0.5, 0.7, 0.6,设 A,B,C 各 在离球门 25 码处踢一球,设各人进球与否相互独立,求( 1)恰有一人进球的概率;( 2)恰有二人进球的概率;( 3)至少有一人进 球的概率。 解 :设“ A,B,C 进球”分别记为事件 )3,2,1( iNi 。 ( 1)设恰有一人进球的概率为 1p ,则 3213213211 NNNPNNNPNNNPp )()()()()()()()()( 321321321 NPNPNPNPNPNPNPNPNP (由独立性) 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0 29.0 概率论与数理统计及

20、其应用 习题解答 10 ( 2)设恰有二人进球的概率为 2p ,则 3213213212 NNNPNNNPNNNPp )()()()()()()()()( 321321321 NPNPNPNPNPNPNPNPNP (由独立性) 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0 44.0 ( 3)设至少有一人进球的概率为 3p ,则 1 3213 NNNPp )()()(1 321 NPNPNP 4.03.05.01 94. 。 19, 有一危重病人,仅当在 10 分钟之内能有一供血者供 给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2分钟,将所需的血全部输入病人体内需要 2 分钟,医院只有一套验血型的设备,且供血者仅有 40%的人具有 该 型血,各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。 解 :根据题意,医院最多可以验血型 4 次,也就是说最迟可以第 4 个人才验出是 A-RH+型血。问题转化为最迟第 4 个人才验出是 A-RH+型血的概率是多少? 因为 第一次就检验出该型血的概率为 0.4; 第二次才检验出该型血的概率为 0.6 0.4=0.24; 第三次才检验出 该型血的概率为 0.62 0.4=0.144; 第四次才检验出该型血的概率为 0.63 0.4=0.0864; 所以病人得救的概率为 0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

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