1、1线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在 ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因 A1，A 2，B，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表 1.1 基因的相对频率爱斯基摩人 f1i 班图人 f2i 英国人 f3i 朝鲜人 f4iA1 0.2914 0.1034 0.2090 0.2208A2 0.0000 0.0866 0.0696 0.0000B 0.0316 0.1200 0.0612 0.2069O 0.6770 0.6900 0.6602 0.5723合计 1.000 1.000 1.000 1.000问题 一个群
2、体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记 .由于对这四种kiifx群体的每一种有 ，所以我们得到 .这意味着下列四个向量的每14ikif 412ikix个都是单位向量.记 .4321,32,24,143 xxaxxxxaxx2在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为 1 的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把 a1 和 a2 之间的夹角记为 ，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式
3、，得 21cos而 .8307469,2.017.5aa故 91.cos1得 .按同样的方式，我们可以得到表 1.2.表 1.2 基因间的“距离”爱斯基摩人 班图人 英国人 朝鲜人爱斯基摩人 0 23.2 16.4 16.8班图人 23.2 0 9.8 20.4英国人 16.4 9.8 0 19.6朝鲜人 16.8 20.4 19.6 0由表 1.2 可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离” ，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.解 建立如图 2.1 所示坐标系，
4、设 A， B， C 三点的坐标分别为（a 1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a 3,b3,c3） ，并设四面体 O-ABC 的六条棱长分别为 由立.,rqpnml体几何知道，该四面体的体积 V 等于以向量 组成右手系时，以它们O,3为棱的平行六面体的体积 V6的 .而16 .3322116 cbaOCBA于是得 .332211cV将上式平方，得 .36 23232323132 1113322113212 cbacbacbacbacbaV 根据向量的数量积的坐标表示，有 ., , 2323323211 1122 cbaOCcbaOCBBAA 于是（2.1）.362 CBCAAV 由余弦
5、定理，可行 .2cosnqpqO同理 .,222lrOCBmrpCA将以上各式代入（2.1）式，得4（2.2）.22236222 22rlrpmrplpnqmrnqV这就是 Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l=10m, m=15m, n=12m,p=14m, q=13m, r=11m.则 .952,462,5.102 lprnqp代入（2.1）式，得 .7139829546.3V于是 .)(8.0223m即花岗岩巨石的体积约为 195m3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题
6、 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 15 岁，将其分成三个年龄组：第一组，05 岁；第二组，610 岁；第三组，1115 岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为 4 和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 和 .12 14假设农场现有三个年龄段的动物各 100 头，问 15 年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为 5 岁一段，故将时间周期也取为 5 年.15 年后就经过了 3 个时间周期.设 表示第 k 个时间周期的第 i 组年龄阶段动物的)(kix5数量（k=1，2，3；i=1，2，3）.
7、因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有 ).3,21(41,21)(2)(3)()( kxxkkkk又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有 ).3,21(34)1()1(2)(1 kxxkk于是我们得到递推关系式： .41,2,34)()(3)(1)1()(1kkkkkxxx用矩阵表示 ).3,21(04123)1(32)()(3)(1 kxxkkkk则 ).3,21()1()( kLxkk其中 .10,04123)(xL则有 ),321()(32)(1)( kxkkk6,25071
8、0423)0()1( Lx,1253070412)1()2( Lx.875134204103)2()3( Lx结果分析 15 年后，农场饲养的动物总数将达到 16625 头，其中 05 岁的有 14375 头，占 86.47%，610 岁的有 1375 头，占 8.27%，1115 岁的有 875头，占 5.226%.15 年间，动物总增长 16625-3000=13625 头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式 中当趋于)0()1()( xLxkkk无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如 5 年）
9、分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的 5 年） ，令 是在时间周期 k 时第 i 个年龄组的)(kix（女性）人口，i=1,2,n .用 1 表示最低年龄组，用 n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第 i 个年龄组的成员将全部转移到i+1 个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述： ),1,2()1()(1 nixbkiki 7其中
10、 是在第 i 个年龄组在一个周期的存活率，因子 可由统计资料确定.ib ib惟一不能由上述议程确定的年龄组是 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们,)(1kx是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程（3.1）,)1(12)1()(1 knkkk xaxax这里 是第 i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第 i 个年),21(nia龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是 ,00)1()1(32)1(121132)()(32)(1 knkknnknkk xx
11、bbaaxx 或者简写成（3.2）.)1()(kkLx矩阵 0012113nnbbaaL 称为 Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得 )0()1()( xLxkk这就是 Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25 元的电费及 0.25 元的运输费.生产一元钱的电8力，发电厂要支付 0.65 元的煤费，0.05 元的电费及 0.05 元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付 0.55 元的煤费及 0.10 元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为 50000 元的定货，发电厂接到外地金额
12、为 25000 元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设 x1 为煤矿本周内的总产值， x2 为电厂本周的总产值，x 3 为铁路本周内的总产值，则（4.1）,0)05.2.( 51.,6.32131 xx即 .02505.201.6331 xx即 .025,05.21.6,31YAxX矩阵 A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为 ,AX即， （4.2）YE)(其中矩阵 E 为单位矩阵， （E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设 D=（1，1，1）C.,0,)(
13、3211 xACEB矩阵 B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵 A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵 C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的9投入产出关系.向量 D 称为总投入向量，它的元素是矩阵 C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵 C，向量 Y，X 和 D，可得投入产出分析表 4.1.表 4.1 投入产出分析表 单位：元煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出煤矿 1c12c13c1y1x电厂 2 222铁路 31c32c3c3y3x总投入 ddd计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量 X，于是可计算矩阵 C 和向量 D，计算结果
14、如表 4.2.表 4.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入 51043.74 42122.27 18414.525 交通流量的计算模型问题 图 5.1 给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.10假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组： .10,62,410,8,250,338907567432xxx系数矩阵为 .01010010010010 A增广矩阵阶梯形最简形式为
