1、函数零点问题典例（含答案）1、(1)求函数 f(x)2 x 2 的零点；12x(2)已知 a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x 3ax 2bx 的两个极值点求实数 a 和 b 的值；设函数 g(x)的导函数 g( x) f(x)2，求函数 g(x)的极值点2、(1)判断函数 f(x)2 x lg (x 1)的零点个数；(2)已知函数 f(x)x 22ext 1，g(x)x (x0)e2x若函数 g(x)m 有零点，求实数 m 的取值范围；确定实数 t 的取值范围，使得关于 x 的方程 g(x)f (x)0 有两个相异实根3、已知函数 f(x)2xln(1x)，讨论函数 f(x)在定义域
2、内的零点个数4、已知函数 f(x)x 22mx2m 1.(1)若函数 f(x)的两个零点 x1，x 2 满足 x1(1,0)，x 2(1,2)，求实数m 的取值范围；(2)若关于 x 的方程 f(x)0 的两根均在区间 (0,1)内，求实数 m 的取值范围5、已知函数 f(x) x ，h(x) . (1)设函数 F(x)18f (x)x 2h(x)23 12 x2，求函数 F(x)的单调区间与极值；(2)设 aR，解关于 x 的方程 log4 log 2h(ax)32fx 1 34log 2h(4x) 6、已知函数 f(x)Error!(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)求函数 f(x)的
3、单调区间；(3)若关于 x 的方程 kf(x)1 恰有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围1、 分 析(1)求函数的零点，即求方程 2x 20 的根12x(2)导数值为 0 且使导函数左右异号的点是极值点极值点一定是导函数的零点【解析】(1)令 2x 20，12x由 2x0，方程两边同时乘以 2x，得(2 x)222 x10.由一元二次方程的求根公式，得 2x1 .2由 2x0，知 2x1 .2函数 f(x)2 x 2 的零点是 xlog 2(1 )12x 2(2)由题设，知 f(x) 3x 22axb 且 f(1)32ab0，f(1) 32ab0.解得 a0，b3.由(1)，得函数 f(
4、x)x 33x.f (x)2(x 1) 2(x2)方程 g(x)0 的根是 x1x 21，x 32.函数 g(x)的极值点只可能是 1 或2.当 x0 ，2 是极值点又当21 时，g(x)0 ，故 1 不是极值点函数 g(x)的极值点是2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式注意导数的零点的意义2、 分 析(1)直接解方程 f(x) 0 有困难，可以作出函数 y2 x 及 ylg(x1)的图象，还可以用判定定理(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解【解析】(1)方法一：令 f(x) 0，得 2x lg (x1)，作出函数 y2 x
5、 及 ylg(x1)的图象(如图 2 161) ，可知有一个交点函数 f(x)的零点有且只有一个方法二：首先 x 1，在区间 (1，)上 2x 是减函数，lg(x1)也是减函数，函数 f(x)在区间(1，)上为减函数且连续f(0)2 0 lg 110, f (9)2 9 lg 10 10，129f(0)f(9)0.函数 f(x)在区间(1，)上有唯一零点(2)x0，g(x)x 2 2e.e2x e2当且仅当 xe 时取等号函数 g(x)的值域是2e，)，要使函数 g(x)m 有零点，则只需 m2e.若关于 x 的方程 g(x)f (x)0 有两个互异的实根，即函数 g(x)与 f(x)的图象有
6、两个不同的交点，作出 g(x)x (x0)的图象(如图 2162)e2x3、 【解析】函数 f(x)的定义域为x|x 1且函数 f(x)在定义域内的图象是连续的f( x)2 (x1) 11 x 1 2x1 x令 f(x)0, 得 x .12当 x 时 ， f(x)0；当 x1 时， f(x )012 12函数 f(x)在区间 内为增函数，在区间 内为减函数( ，12) (12，1)当 x 时， 函数 f(x)有最大值 f 1ln 1ln 20.12 (12) 12又 f( 2)4ln 30, f(2)f 0.(12)函数 f(x)在区间 内有唯一零点，即在区间 内有唯一零点( 2，12) (
7、，12)又 f(1e 10 )2(1 e 10 )ln(1 1e 10 )82e 10 0，f(1e 10 )f 0.(12)函数 f(x)在区间 内有唯一的零点，即在区间 内有唯一零(12，1 e 10) (12，1)点 函数 f(x)在区间(，1)内有且只有两个零点4、 【解析】(1)根据函数 f(x)的图象，得Error!化简，得 m .56 125、 【解析】(1)函数 F(x)18f( x)x 2h(x)2x 312x9(x0)，F(x)3x 212.令 F (x)0，得 x2(x2 舍去)当 x (0,2)时，F (x)0；当 x(2， )时，F (x)0，x 3 .6 20 4a
8、2 5 a此时方程仅有一解 x3 .若 40，方程有两解 x3 ；5 a 5 a若 a5，则 0，方程有一解 x3；若 a5，则 0，方程无解综上，当 a1 或 a5 时，方程无解；当 14 时 ，1x4，由 x1 ，得 x26x a40.a x4 x364( a4)204a.6、 【解析】函数 f(x)的定义域为( ，0)(0，)(1)当 x0 时， x0 ，f(x)xln x ，f(x) xln x，f( x)f(x)当 x0 时，x0，f(x)xln(x), f(x)xln(x )，f( x)f(x)f(x)是奇函数(2) 当 x0 时， f(x)xln x，f(x)ln xx ln x 1.1x令 f(x) 0，得 0x .当 x 时， f(x)为减函数1e (0，1e)令 f(x) 0，得 x .当 x 时， f(x)为增函数1e (1e， )又 f(x)为奇函数，当 x 时， f(x)为减函数；当 x 时， f(x)为增函数( 1e，0) ( ， 1e)函数 f(x)的单调减区 间为 和 ，( 1e，0) (0，1e)单调增区间为 和 (3)原方程等价于 f(x) ，考察函数 f(x)的图象变化，( ， 1e) (1e， ) 1k由(2)，
