1、一类具有马氏调制费率的风险模型的折现罚金函数方世祖 孙歆 王志攀 1,211(1 广西大学数学与信息科学学院 广西南宁 530004; 2 西安交通大学理学院 陕西西安 710049)摘要: 对于给定的初始状态和初始分布,利用向后差分法得到了条件折现罚金函数以及无条件折现罚金函数的所满足的积分方程, 给出了在两状态下的条件折现罚金函数的 laplace 变换, 并推出了在具有初始分布时折现罚金函数的积分方程和其它相关精算量满足的积分方程.关键词: 马氏调制 折现罚金函数 积分方程 破产概率中图分类号: O211.67 文献标识码：A The Expected Discounted Penalt
2、y Function In A Risk Model With Markov-Modulated Premium Rate FANG Shizu SUN Xin WANG Zhi Pan 1,211(1 School of Mathematics and InformationScience,Guangxi University, Nanning,Guangxi ,530004 2 School ofScience,xian jiaotong University ,xian,Shanxi 710049 )Abstract: In this paper ,by a backward diffe
3、rential argument, the integral equation satisfied by the conditional expected discounted function are derived, Laplace transform of the conditional expected discounted function is given at the two states, further more we obtain the integral equations about the non-conditional expected discounted pen
4、alty with the stationary initial distribution and other correlated random variables. Key words:Markov- modulated The expected discounted penalty function Integral-equation Ruin probability0 引言众所周知，保险费率的调整决策是保险公司经营的灵魂，这也直接影响着保险公司破产概率的大小精算师们依据一定的保费定价原理确定费率策略时，必须考虑到经济形势的变化、人们的保险观念的转变以及可能发生的自然灾害等等我们把这些随
5、机因素称之为随机环境合理的保费决策，就是要根据随机的经济环境，灵活及时地调整保险费率，以实现保险公司经济效益的最大化对随机环境下风险模型的研究，是风险理论研究的一个较活跃的分支典型的马氏环境中的风险模型就是Cox风险模型(见文献4)文献5讨论了马氏环境中的风险过程，但随机环境与索赔时刻有着较强的约束条件自Gerber,H,Shiu于1998 年首次提出罚金折现期望函数后,研究风险模型的罚金折现期望函数的学者越来越多. 如Hans U. Gerber, Bruno Landry的文献6, Cary. chi-Liang T sai, Cary. chi-Liang Tsai, Gordon E.
6、 Willmot的文献7,S.N. Chiu,C.C. Yin的文献8. 由于罚金折现期望函数具有许多性质, 其逐渐成为风险过程研究的热点之一.本文结合以上两个方面,在文献1的基础上，结合文献2,3，讨论一类具有马氏调制费率的复合 Poisson 风险模型的折现罚金函数.1 模型的引入收稿日期：作者简介：方世祖（1964-）男，广西武鸣人，广西大学副教授，硕士生导师.以下涉及的所有随机过程(变量)都指定义在同一完备概率空间（ ，F，P）上.(1)设 是一具有有限状态的平稳遍历马氏跳过程，其状态空间记0tJ当 处于状态 时，离开状态 的强度是 ,转移矩阵 ，密度矩,21nStiii)(ijp阵
7、其)(ijqQ中 记 为马氏过程 平稳初始分布,.,;jipjiij),(21nqtJ,0Q其中 ，显然有： ，.1e),( jijip1n,21(2)保险费率是受马氏过程 控制的，即时刻 t 的费率为 ，当 时，费率为tJtJci常数 nici,1,0(3) 是在时间 内保险公司发生的索赔次数， 是参数 的齐次)(tNt00)(tNPoisson过程,且 (4)第 i 次索赔量记为 ,且 是非负独立同分布随机变量序列,其共同分布函iz1i数记为 ， ,期望 .()Fx0iE(5)假设 ， ， 相互独立1iz0)(tN0tJ令 ， ，其中 是初始准备金，则titJzdvcutR10 0Ru是在
8、时刻 t 公司的盈余资产，这就是我们要研究的具有马氏调制费率的风险模型t记 ，对于给定的初始状)0,(,inf0 ttTtTt 有如 果 对 任 意态 ，其条件破产概率记为 ，则有i ui(本文以下都假设 关于 可导) ， )0,|,)(0uRJttRPui 某 ui为具有初始分布 的破产概率，对应的生存概率ini1i ,1uii， .现在定义折现罚金函数以及初始状态为 是的折现罚金函数为i.2, u i)0(|)(|,()( uUITUweEuT ,|), 0, iJi其中 为示性函数， 为非负的连续二元实函数， 表示破产时瞬AI,(yx |)(|,TU时盈余以及破产时赤字. 为非负实数,
9、可理解为折现因子.显然,当Te时, , 且 . 我们很自然可1),(0yxw)(u)(uiiiniq,1定义保险公司经营的相对安全负荷为 ，其中 ，且总假设 cinic10主要结果引理 1 对于上述风险模型，若 ，则有0(1) Siui,0lm（） 。lu由马氏过程的有关理论，易知，随机过程 是一齐次马氏过程)(,)(tRJtV定理 1 对于上述风险模型，当 时，初始状态为 时则有0i( )dup duzFudztzFtctjnjiji tittiii ,1 ,0, ,)()() 且 dudupzc iinjjijiui 0,10,0, ),)( （证明 利用后向差分法, 在很小的时间区间 内
10、可以分成以下几种情况tRh,(1) 在 内 无状态转移，并且无索赔发生.h,00tJ(2) 在 内 无状态转移，且有一次索赔发生,但尚未导致破产.,t(3) 在 内 无状态转移，且有一次索赔发生,且该次索赔导致破产.h,00tJ(4) 在 内 从状态 发生一次转移，但无索赔发生.,ti(5) 在 内至少发生一次索赔并且 在 内至少发生一次状态转移 .h,00tJh,因此有 )()(1)( , cuehuiiii dszFcuzswzdFseh scuiiscuiii ii ),( 0,0)(1)hcupjijshinjiji )(1( ,)(01 )因为 )(,hcuii)()(, cuiii
11、 这样(1)式就可化为: hii e)(1)(, hcuiii)(,dszFcuzswzdFsh scuiiscuiii ii )(,()(0,0)( hepjijshinjiji )(1( ,)(01 )所以 hiii ecuh)(,（ )()(1( ,uehii dszFczsuwzdFseh sciiscuiii ii ,)(10,0)(dhephjijshinjiji )()(1,)(01 )(两边同除以 并令 得h0up zdFuzdFucjnjii uiiiii,1 0, ,)() 关于 从 到 积分得0tdup duzFuzdFuductjnjiji tiititii 0,1 0
12、,0, ),()()( 即 )(,iitc duit )(,0ti du0, )(1)(duit, zztzFit i 1,0,tuzFw0)(,( ）（ dupduzFudztd tjnjijitittii 0,10,00, ,)()( 又有引理 1， 及控制收敛定理知lm,tit（2）dudupzdFuc jinjjijiui 0,10,0, ),)( （将（2）带入 式得）（ dup duzFudztztctjnjiji tittiii ,1 ,0, ,)()() 命题证毕.推论 1 当 时，令ytRIyx,00yuii,为给定 的初始状态 及初资金 时发生破uUiJTtRP,0 0tJ
13、R0产且破产赤字超过 的概率,即破产赤字的尾分布 满足如下的积分方程yyui, duyp dxFdztzFdytctjnjiji ytittiiii 0,1 ,00, )()( ，且 duyduypxFc jinjjijiyi ,1),( 010 证明略.注 1 当 时， 为给定 的初始状态 及初始资金0yuyii, 0tJi发uR生破产的概率，它满足如下的积分方程，即 dup dxFztzFdutcjnjiji tittiiii 0,1 0,00, )()( ，且为dudupdxFc jinjjijiii 0,0,1),( 0100 给定 的初始状态 及初始资金 时发生破产的概率.0tJiR
14、结论与文献1的结论相符,也与推论 1 的结论相符合.推论 2 当 ， 是两个任意的正实数时，21,xyIyx， 21,为给定 的初始状态 及初始资金 时的破产前瞬时盈余yxuFii,0tJiuR0和破产时赤字的联合分布，它满足如下的积分方程 dupdzxFzxtI zyxtFuc tjnjijit ittiii ,121 0)(),),( 证明 当 时， 2,0xyIy，令 ,12, xuIzFzduuW则 12,1 tIzuxtut 将其带入定理 1 的( )既可.令 ， ， ,因为dessu0 duesListi ,0 dzFesLszF0，则 的 Laclape 变换 存在, 我们tit
15、,，ti,， uiti ,0 .21i仅考虑 的情况.2n定理 2 的 Laclape 变换 可以表示为ti,，desListi ,0.212121sABLsA证明 对 dup duzFudztzFdutcjnjiji tittiiii 0,1 0,00, ,)()()( 两端进行 Laclape 变换得 .)3(01 2122, 211, 222 111 jjFjjsLpsWsLsLsLs 记 21212 211121 psLscpsscAs FF ， sWB1,0WB2,0解此方程得 .212121sABLsA由 Laclape 逆变换得 ，其中 为实dseLit tci ii 21,，
16、)2,1(i0c数，利用复变函数的留数定理等知识，可以求得 的表达式，进而求得,ti（，的表达式，过程比较繁琐，在此不予证明.t证毕.定理 3 若马氏链 的初始分布为 ，则其罚金折现函数 满足0tJcSicqi,t如下的积分方程 )(0tduct)(0dztzFct )(0tuduzFwc0)(,(且 ，特别地,当 时,有tuzw,ut 1,yx1)0(证明 由定理 1 知 )0(,iitcdutii)(0,dztzFit )(),0tuzw0,tjnjiji up0,1)(上式两边同乘以 ，然后关于 从 1 到 求和，得iin)0(t ducqtiini )(0,1dztzFct )(01(
17、4)tuzw01)(,(tjnjijii upq0,1)(又因为 tjnjijii dp0,1)( )(0,1tjinjij dup)(0,1tjjnj d（5）把（5）代入（4）得(6)dztzFcduct tt 00)( tuduzFwc0)(,(定理的第一部分结论得证.在(6)式中,并令 ,再根据引理 1 的结论(2)及控制收敛定理得t. 命题证毕.)0(uduzFwc0)(duct)(0特别的，当 时,有 1),(0yxw dztzFctt0)( dzFct0)()1()0dzF注 2 只有一个状态是，结论是吻合经典风险模型的.vJ注 3 索赔量服从参数为 的指数分布,且调制马氏过程
18、只有两个状态 时,调制马tJ21氏过程的转移矩阵 , 21, ,01p21)0(11tcdut)(01dztetz)(0zet0tdu021)(22tt2ttz2tzt而 .)()()(21ttt21)()(tt参考文献1 向阳，刘再明，具有马氏调制费率的复合 poisson 风险模型的破产概率 经济数学J 2002.12（4）47-512 王惠丽，王文波 变保费率风险模型的折现罚金函数J 科学技术与工程 2006.11（6）3391-33933 王惠丽等，变保费率Cox风险模型的研究J数学的实践与认识 2006.12（12）85-904 Jan Grandel1Aspects of Risk
19、 TheoryM Spring-verlagNew York19915 黄自元，王汉兴 马氏环境中的风险过程J 上海大学学报 1999.6.voi.5 No.36 Hans U Gerber, Bruno Landry. On the discounted penalty at ruin in a jump diffusion and the perpetual putoption JInsurance:Mathematics and Economics 1998, 22 (3)263276.7 Cary Chi-Liang T sai, Gordon E Willmot. A general
20、ized defective renewal equation for the surplus p rocess perturbed by diffusion J Insurance: Mathematics and Economics 2002,30(1) 5166.8 ChiuS N , Yin C C. The time of ruin, the surplus prior to ruin and the deficit at ruin for the classical risk process perturbed by diffusion J Insurance: Mathematics and Economics 2003,33(1) 5966.
