1、2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析1绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3文科数学注意事项：1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题) 两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ，则 =0,2468,14,8ABAB（A） （B） （C） （D）48， ， ， 0261， ，
2、 ， 024681， ， ， ， ，（2）若 ，则 =3iz|z（A）1 （B） （C） （D ）143+i543i5（3）已知向量 =（ ， ） ， =（ ， ） ，则ABC=A2B21（A）30（B）45（C）60（D）120（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5.下面叙述不正确的是2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析2（A）各月的平均最低气温都在 0以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均
3、最高气温高于 20 的月份有 5 个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I,N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A） （B） （C） （ D）811530（6）若 tan= ，则 cos2=3（A） （B） （C） （D）45154（7）已知 ，则42133,abc(A)bac (B) abc (C) bca (D) cab（8）执行右面的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（A）3（B） 4（C） 5（D）6（9）在 中，B=AB1, ,sin43CBCA边 上 的 高 等 于
4、 则(A) (B) (C) (D)310105012016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析3（10）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A） 18365（B） 4（C） 90（D）81（11）在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若ABBC，AB =6，BC=8，AA 1=3，则 V 的最大值是（A） （B） （C） （D）492632（12）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 的左焦点，A，B 分别为21(0)xyabC 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段
5、 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（A） （B） （C） （ D）13234第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) 题 第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）设 x，y 满足约束条件 则 z=2x+3y5 的最小值为_.210,xy（14）函数 y=sin x cosx 的图像可由函数 y=2sin x 的图像至少向右平移_个单位长R(3)度得到.（15）已知直线 l： 与圆 x2+y2=12 交于 A、B
6、 两点，过 A、B 分别作 l 的60y垂线与 x 轴交于 C、D 两点，则|CD|= .（16）已知 f(x)为偶函数，当 时， ，则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线x1()xfe方程式_.2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析4三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）已知各项都为正数的数列 满足 ， .na1211()20nnaa（I）求 ；23,a（II）求 的通项公式.n（18） （本小题满分 12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码 17 分别对应年份 2
7、0082014.（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据： ， ， ， 2.646.719.32iy7140.ity721()0.5iiyR(7)参考公式： 1221()(y)niiniiitr，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：yabt12()niiity， =.abt（19） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA地面ABCD，AD BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD
8、上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点 .2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析5（I）证明 MN平面 PAB;（II）求四面体 N-BCM 的体积 .（20） （本小题满分 12 分）已知抛物线 C：y 2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点.（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.（21） （本小题满分 12 分）设函数 .()ln1fx（I）讨论 的单调性；（II）证明当 时， ；(1,)xlnx
9、（III）设 ，证明当 时， .c(0,1()xc请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，O 中 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点。（）若PFB=2 PCD，求PCD 的大小；（）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明 OGCD 。（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析6在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为（为参数） 。以坐标原点为极点，x 轴正
10、半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin（）=.（I）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（II）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求PQ的最小值及此时 P 的直角坐标.（24） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=2x -a+a.（I）当 a=2 时，求不等式 f(x)6 的解集；（II）设函数 g(x)=2x-1.当 xR 时，f (x)+g(x)3，求 a 的取值范围。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3文科数学答案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
11、只有一项是符合题目要求的。（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D（7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A第 II 卷二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。（13） （14） （15）4 （16）102yx三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）解：（）由题意得 . .5 分41,23a2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析7（）由 得 .02)12(1nnaa )1()(1nna因为 的各项都为正数，所以 .n n故 是首项为 ，公比为 学.科网的等比数列，因此 . .12 分na1212
12、na（18） （本小题满分 12 分）解：（）由折线图中数据和附注中参考数据得， ， ，4t28)(71it 5.0)(712iiy，89.23.4.)(717171 iiii tyyt. .4 分9064.25.08r因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用yt yt线性回归模型拟合 与 的关系. .6 分yt（）由 及（）得 ，31.72.9 103.289.)(712iiityb.9204.tbya所以， 学.科网 关于 的回归方程为： . .10 分t ty0将 2016 年对应的 代入回归方程得： .9t 8219.所以预测 2016 年我国生
13、活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. .12 分（19） （本小题满分 12 分）解：（）由已知得 ，学.科网取 的中点 ，连接 ，由23ADMBPTNA,为 中点知 ， . .3 分NPCBT/1CN又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是AD/ AMN.因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . .6 分TPB/PB2016 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析8（）因为 平面 ， 为 的中点，PABCDNP所以 到平面 的距离为 . .9 分NA21取 的中点 ，连结 .由 得 ，BCE3BCE.52A由 得 到 的距离为 ，故 .M BC5241BCMS所以四面体 的体积 .
14、 .12 分N33PAVBN（20） （本小题满分 12 分）解：（）由题设 .设 ，则 ，且)0,21(Fbylal:,:21 0a.)2,1(),(),(),(),(2 RQPbBaA记过 学科&网两点的直线为 ，则 的方程为 . .3 分, l 0(abyx（）由于 在线段 上，故 .FA01ab记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则AR1kQ2k.21 abak所以 . .5 分F（）设 与 轴的交点为 ，lx)0,(1xD则 .2,2211baSababSPQFABF 由题设可得 ，所以 （舍去） ， .1x01x1x设满足条件的 的中点为 .AB),(yE2016 年全国卷 3 文科数学
15、试题及答案解析9当 与 轴不垂直时，由 可得 .ABxDEABk)1(2xyba而 ，学科&网所以 .yba2)1(2xy当 与 轴垂直时， 与 重合.所以，所求轨迹方程为 . .12 分x 2xy（21） （本小题满分 12 分）解：（）由题设， 的定义域为 ， ，令 ，解得 .()f(0,)1(fx()0f1x当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递01xxfx()f减. 4 分（）由（）知， 在 处取得最大值，最大值为 .()f1(1)0f所以当 时， .1xlnx故当 时， ， ，即 . 7(,)lnxlnx分（）由题设 ，设 ，则 ，令1c()1)xgc()1lxgc，()0gx
16、解得 .0lnc当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. x()0gx()0x()0gx()9 分由（）知， ，故 ，又 ，故当 时，1lnc01()11x.()0gx所以当 时， . 12 分,)()xc22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲解：（）连结 ，则 .BCP, BCDPCBDPAF,因为 ，所以 ，又 ，所以 .AF又 ，所以 ， 因此DF2,180 1803.6（）因为 ，学科.网所以 ，由此知BFPCEDPC四点共圆，其圆心既在 的垂直平分线上，又在 的垂直平分线上，E, EF故 就是过 四点的圆的圆心，所以 在 的垂直平分线上，因此G, G2016
17、 年全国卷 3 文科数学试题及答案解析10.CDOG23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . 5 分1C213xy2C40xy（）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以P(3cos,in)2C的最小值，|PQ即为 到 的距离 的最小值，2()d. |3cosin4|() 2|sin()2|3d 8 分当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐2()6kZ()d2P标为 . 10 分31(,)24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：（）当 时， .2a()|2|fx解不等式 ，得 .|613因此， 的解集为 . 5 分()fx|（）当 时，R()|2|12|fxgxax|21|a，|当 时等号成立，x所以当 时， 等价于 . 7 分R()3fxg|1|3a当 时，学.科.网等价于 ，无解.1a当 时，等价于 ，解得 .1a2所以 的取值范围是 . 10 分2,)
