1、第七章 空间解析几何与向量代数教学目的1. 将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的2. 让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础3. 介绍各种常用的曲面，为学习重积分、线面积分打下基础4. 介绍空间曲线的各种表示形式5. 介绍最简单也是非常这样的曲面平面，为学习重积分、线面积分打下基础6. 介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点1. 空间直角坐标系的概念2. 空间两点间的距离3. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式4. 向量平行、垂直的应用 5. 球面的方程6. 旋转曲面的方程7.
2、 空间曲线的一般表示形式8. 空间曲线在坐标面上的投影9. 平面的方程10. 两平面的夹角11. 直线方程12. 直线与平面的综合题教学难点1. 空间思想的建立2. 活学活用数量积、向量积的各种形式3. 向量平行与垂直的相应结论4. 旋转曲面5. 空间曲线在坐标面上的投影 6. 平面的几种表示及其应用7. 直线的几种表达式8. 直线与平面的综合题教学内容第一节 向量及其线性运算一、向量的概念向量的基本概念向量：既有大小，又有方向的量；向量的表示：在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向；向量的表示方法有 a、 i、 F、 、 等等OM向量的模：向量的大小，记为
3、、 向量相等 a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向量） 单位向量：模为 1 的向量零向量：模为零的向量；零向量的方向是任意的向量 的负向量：a向量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反零向量与如何向量都平行向量共线：两个向量的起点放在一起，终点在同一直线上向量共面：三个及以上的向量起点放在一起，终点在同一平面上自由向量：在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量） ；向量的线性运算（）加减法：三角形法则及平行四边形法则算律：交换率 ab结合率 ()()cbc减法 由两边之和大于第三边得 ，|a|ba（）向量与数的乘法： 其满足的运算规律有结合率、分配率a
4、算律：结合律 ()()分配律 ， 设 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么0a a0非零向量 的单位化向量 ： 即ae|e定理 1 设向量 a0 ，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b 例 1 在三角形 ABC 中，设 ， ， 为的三等分点，试用 aABC,DE和 b 表示向量 和 DE二、空间直角坐标系（直角坐标系）将数轴（一维） 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） ，如图 7空间直角坐标系： 坐标系，符合右手规则基本单位向量 i、 j、 k，oxyz也可记为 坐标系;,Oijk坐标原点，各坐标轴，坐标面名称的概念以及卦限的划
5、分如图 7所示空间点与坐标通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来空间点 M(x,y,z)坐标表示方法：设 为空间的任一点，过 作三个平面分别M垂直于 轴，交于 ，且 对应于三个数 ，称 为,PQR,xyz,的坐标反之，三个数 对应于 z特殊点的坐标：原点、坐标轴上的点、坐标面上的点、关于坐标轴、坐标面及原点对称点的表示法三、向量的坐标表示及线性运算向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系(1)向径及坐标表示点 对于原点 O 的向径 ),(zyxM,zyxM()向量的坐标
6、表示设 a= 是以 为起点、 为终点的向量，21),(11zyx),(22i、 j、 k 分别表示沿 x， y， z 轴正向的单位向量，由图 7，并应用向量的加法规则知：i+ j+ k)(121)(12)(12z或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式有序数组 ax、 ay、 az与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、 ay、 az就叫做向量 a 的坐标，并记为a ax， ay， az上式叫做向量 a 的坐标表示式于是，起点为 终点为 的向量可以表示为),(11M),(22zyx,12yx注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐
7、标轴上的投影有本质区别图图图向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、 ay、 az，向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk.2向量运算的坐标表示设 a = ax， ay， az， b = bx， by， bz即 a = ax i + ayj + azk， b = bx i +by j +bzk， 则(1)加法： a + b = （ ax+ bx） i +（ ay + by） j +（ az + bz） k(2)减法： ab = （ ax bx ） i + （ ay by） j +（ az bz ） k(3)乘数： a= (a x )i + (a y)j +
8、(a z)k或 a + b = ax+ bx， ay + by， az + bz a b = ax bx， ay by， az bz a = a x， a y， a z平行：若 a0 时，向量 b a 相当于 b a，即bx， by， bz = ax， ay， az也相当于向量的对应坐标成比例即 zyx例 已知向量 ，起点为 ，求终点3,12a(,05)四、向量的模、方向角、投影模 22zyx方向角与方向余弦定义（两向量的夹角）设非零向量 ，任取空间一点 ，作,abO，不超过 的角 ，称为向量 与 的夹角，记,OAaBbAOBb为 ()定义（方向角与方向余弦）设 a = ax， ay， az，
9、可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于 0，小于等于 ）来表示它的方向，称、为非零向量 a 的方向角，见图 7其余弦表示形、式 称为方向余弦coscs、由性质 1 知 ，当1212cossxyzMaa时，有022zyxa 图2222coscoszyxzzyxyzyxxaaaa(1)任意向量的方向余弦有性质： 1coscos2(2)与非零向量 a 同方向的单位向量为 ,1zyxa0两点间的距离若 、 为空间两点，11(,)Mz22(,)z则距离（见图 7）为 21121221 )(zyxd 例 已知两点 M1(2,2, )、 M2(1,3,0)，计算向量 的模、方向余弦、12方向角以及与 同向的
10、单位向量2解 1-2，3-2，0- =-1，1，- 1 2)(1)(22 ， ，coscoscs， ，343设 为与 同向的单位向量0a21M法 由于 ， 即得 cos,cs0 2,10a法 (,)xyza0 图例 已知向量 的方向余弦 ， ，且 ，求向a1cos32s|3a量 a解 2cos3方法 |(1,2)ae方法 ，cosx(,)(1,2)xyza向量在轴上的投影(1) 几个概念定义（轴上有向线段的值）设有一轴 u， 是轴 u 上的有向线段，如果数 满AB足 ，且当 与轴 u 同向时 是正的，当 与轴 u 反同向时 是负的，AB那么数 叫做轴 u 上有向线段 的值，记做 AB，即 设
11、e 是与 u 轴同方向的单位向量，则 e另有：设 A、 B、 C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有定义（空间一点 A 在轴 u 上的投影）通过点 A 作轴 u 的垂直平面，该平面与轴 u的交点 叫做点 A 在轴 u 上的投影定义（向量 在轴 u 上的投影） 设已知向量 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上BB的投影分别为点 和 ，那么轴 u 上的有向线段的值 叫做向量 在轴 u 上的 投影，记做 ，或 juPr()特别： ， ，)xxxaPr()()yyyjar()zzzj(2) 投影定理性质 1 向量 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余AB 弦即 Prc
12、osuj性质 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和即 2121aajjjuPr)(性质 3 向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法即 jjurPr第二节 数量积 向量积一、数量积定义 ，式中 为向量 a 与 b 的夹角cosba物理上：物体在常力 作用下沿直线位移 ，力 所作的功为FsF，其中 为 与 的夹角csW用投影表示为 c|Pr()|r()abjja性质：（）. 2a（）.两个非零向量 a 与 b 垂直 的充分必要条件为：0算律：交换律 b分配律 cc)(结合律 （ 为数）)(证明 利用物理意义可以说明或利用投影证明()|Pr()|(Pr)r()
13、c ccabjabjajb 的坐标表示式 xyz利用算律及基本单位向量 推导,ijk几个等价公式：(1).坐标表示式：设 a = ax， ay， az， b = bx， by， bz则xb(2).两向量夹角可以由 式求解cos(3). 0xyzaba例 1 已知三点 M(1,1,1)、 A(2,2,1)和 B(2,1,2)，求 AMB提示：应用上求夹角的公式例 求向量 在 上的投影2,14,3解 6Pr()|cos()|1babja 例 设 ， ， ，求23AB|2,|(,)3ab(,)AB解 ， ， ，2837A1Bcos(,)0.8261arcs4二、向量积力矩 （向量）：大小M|sinF
14、OQP方向垂直于 与 ，且用右手规则从 到 的拇指指向 （PF）0即由两个向量 与 ，确定一个新的向量OPFM定义：设向量 c 是由向量 a 与 b 按下列方式定义：c 的模 ，式中 为向量 a 与 b 的夹角sinc 的方向垂直与 a 与 b 的平面，指向按右手规则从 a 转向 b记为ab即 0|si(,)注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量性质：(1). 0(2).两个非零向量 a 与 b 平行 a b 的充分必要条件为： 0ba算律：（）. （）. cc)(（）. 为数)()的向量积性质：,ijk0ijk向量积的坐标表示利用 的向量积性质及算律得,zyxbakjiba()(
15、)()yzyzxzxyxbababijk例如： ， ，则1,21,2312843ijkij几个等价公式：（）.坐标表示式：设 a = ax， ay， az， b = bx， by， bz则 kjib )()()( xyzxzy ab（）.行列式表示式： zyxkj几何意义 |sin(,)abab（）以 a 与 b 为邻边的平行四边形的面积为 |sin(,)bab（）三角形的面积 12ABCS1|sin(,)2（）三角形 ABC 的高为 |ab例 求与向量 及 轴垂直的单位向量3,68x解 10ijkcj(43)|5cejk例 已知三角形 ABC 的顶点分别为： A(1,2,3)、 B(3,4,5)和 C(2,4,7)，求三角形 ABC 的面积解 根据向量积的定义， 11sin22ABCSA由于 2,2,2， 1,2,4因此 24621ijkABCijk于是 22()14ABCS 三、向量的混合积定义 叫作 的混合积，记为()abc. abc 的坐标表示式 （利用三阶行列式的性质）()xyzxyzxyzxyzacbbc混合积的几何意义的绝对值表示以 为棱的平行六面体的体积，即 a.a，其中 为 与 的夹角|os|Vcabc
