1、第 15讲 特征值与特征向量的性质n 主要内容： 特征值与特征向量的性质4.2 特征值与特征向量的性质n 特征值与特征向量的性质在解决某些问题时至关重要 , 需要记住 .n 性质 1 设 n阶方阵 A = (aij)的 n个特征值为1, 2, , n(重根按重数计算 ), 则n (1) 1+2+ + n= a11+a22+ + ann .n (2) 12 n= |A|.n 在 n阶方阵 A = (aij)中 , a11+a22+ + ann称为 A的 迹 (trace),记为 tr(A). n 性质 1(1)表明 , A的所有特征值的和等于方阵 A的迹 . n 例如二阶方阵 A = (aij)
2、的特征方程为n 其特征值为 1, 2,则由一元二次方程根与系数的关系有 n (1) 1+2= a11+a22.n (2) 12 = |A|.n 如果知道 n阶方阵 A = (aij)的 n个特征值为1, 2, , n, 则可由 (2)得出 |A|. n 特别地 , 方阵 A有一个特征值为 0当且仅当 |A| = 0. n 性质 2 设 为方阵 A的特征值 , 则n (1) 对于任意数 l, l是 lA的特征值 .n (2) 对于任意自然数 k, k是 Ak的特征值 .n Proof Ax = x.n (1) (lA)x = l(Ax) = l(x) = (l)x.n (2)当 k = 0, 1
3、时，结论显然成立 . n 假设对于任意自然数 k, k是 Ak的特征值 .n k +1:n 设 n 对于任意 n阶方阵 A, n 例如 ,取n 若 为方阵 A的特征值 , 则 ()是 (A)的特征值 , 且特征向量相同 . n 存在非零向量 x使得 Ax = x. 由性质 2知 , n 若 n阶方阵 A = (aij)的 n个特征值为 1, 2, , n, 则 (A)的 n个特征值为 (1), (2), , (n). n 性质 3 设 为方阵 A的特征值 ,若 A可逆 ,则 0, -1是 A-1的特征值 . n Proof 由于 Ax = x, 因为 A可逆 : A-1(Ax) = A-1 (x) x = (A-1 x). 因为 x 0, 所以 0. n x = (A-1 x) A-1 x = -1x -1是 A-1的特征值 .n 对于 可逆矩阵 A，对于正整数 k，定义n 设 n 对于任意 n阶可逆方阵 A,
