1、1第一章习题解答1 设随机变量 X 服从几何分布，即： 。求 X 的特征(),01,2kPXpq函数，EX 及 DX。其中 是已知参数。01,pq解 0()()jtxjtkXkftEeepq0()kjtke= 0()1jtkjtk ppqqe又 200() kkkEXp22()(qDEXP（其中 ）0001nnxx令 0()nnS则 100 0()(1)xx nnk xStdtdx 202 20()()(1)1()xnnSxStxx同理 20000kkkkx令 则20()1)kkSxx）2 1000()()()kkkkktdtdxx :22、 （1） 求参数为 的 分布的特征函数，其概率密度函
2、数为(,)pb1,0() ,)bxexp（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。解 （1）设 X 服从 分布，则(,)p10()()jtxbxfteed1()0()ppjtbxxed10 1()()()()pupppbebujtxdjtjtjtb 10()xpped（2） 1()()XEfjb2 2(1)()0)Xpfj22()()PDEb（4） 若 则,iiXpb:1,121212 ()()()(PXjtftftb,YP:3同理可得： ()()ii PXbftjt:3、设 X 是一随机变量， 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变()
3、Fx量的特征函数。 （1） (),0,)Yab是 常 数 ；（2） ln(kZFXEZ并 求 是 常 数 ） 。解 （1） （ ）11)()()PxyPxFyy01y00()11y在区间0， 1上服从均匀分布()Fx的特征函数为() 1100()()jtxjtxjtXeftd()()()jbt jbtjtaYXftefatejt（2） ln()jtzjtFxZftE=1ln01jtyed=101jtyjt 2()()Zftjt 31(1)jjt() (1)1)!(kkkZftjjt4()1()0(1)!kkkZEfj4、设 相互独立，且有相同的几何分布，试求 的分布。12nX， ， 1nkX解
4、 11()()nknkk jtxXftEe = 1()knjtxke= 1njtkpq= ()njtne= 0kkjtnCpq1()nknkkPx5、 试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量()jtjtefn的分布。证 （1） 000(1)(1)lim()lilimjtjntjtjttt teef 000()()li()lili1jtjnt jtjttt t efe 1f为连续函数0lim()t()ft1 11()()i ikkikjtjtnn njtjtikik ikik ikjteeft e 5= 1()1)i i ikkkikjtjtjtnjtjtjtikik jteene=()
5、11iknnjtlikikl = 11ikjltnnijltikle= 11i knnjlt jltilklee1()0nikiikft非负定（2） ()1jtjntef=2(1)()(1)jtjtjtjtntjeen= 1njtk（ ）kPx0,2kn6、证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。21()ft解 （1） 1()nikiikft= （ ）22110()nnikikikiktM1,maxikijnt且 连续 为特征函数()ft0f()ft6（2） 2211()()ftjtjtjt= (1)(1)00 jtxjtxeded= 2jtx= 1xjted()2xP:7、设 相
6、互独立同服从正态分布 ，试求 n 维随机向量12nX， ， 2(,)N的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的率密(,) X1nii度函数。解 121(,)()innxiiPxxP212()ep()niina又 的特征函数为：iX 21xiXftjatt12 21,12 11(,)()ep()nnnX i iiiifttftjatt 均值向量为,协方差矩阵为 22(,)Bdiag又 211()(,)()expntt tnn nX iftf fjatt 8、设 XY 相互独立，且（1）分别具有参数为 及 分布；（2）分别(,)m(,)p7服从参数为 。求 X+Y 的分布。12(,),pb的
7、 分 布解（1） 0(knjtxjtxxnXxftePeCpq= 0()nitnxpq= 0()npjtxnqxeC= 1pnjtq= ()jte则 12,1,2()jtjtmnXYftpeq()jtmXYXYftftp,)bn:（2） 112()12()(),pXpXYjtftbjtftb:9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为214(),(,)0xyxypxy其 他求其特征函数。解 12()12(,)jtxtyftEe 12()3314()jxtyxdy8 1 332 220cos()sinjtxedtyjxytdy 1212sintt10、已知四维随机向量 服从正态分布，均值向量为
8、0，协方差矩34(,)X阵为 4,()klBE1234求 （ ） 。解 1441414 0(,)(,)(tftj 又 1142,expfttB 41klklt其中 121342341243Bcov(,)klklX(,12,34)kl1124314E3（ X） =11、设 相互独立，且都服从 ，试求随机变量123， 和 N（ 0， ）组成的随机向量 的特征函数。112YX和 12（ Y， ）解 12,331231(,)expX kftjtx3211ekjtx kk t 123, 234(,)Xfu 21exp)u12、设 相互独立，都服正态分布 ，试求：123X， 和 N（ 0， ）（1） 随机
9、向量 的特征函数。123（ X， ， ）（2） 设 ，求随机向量 的特征函数。1 123,SSX123(,)S9（3） 组成的随机向量 的特征函数。121232YXX和 12（ Y， ）解（） 123 2, 3 33(,)exp()()ftttttt（） 12,3 123)(SEjss 121233exp()()jttxttx 123, 3,Xf 2213e()()ttt（） 1212 (),(,)jtytYftE 123exp()jttx 213、设 服从三维正态分布 ，其中协方差矩阵为 ，123（ X， ， ） N（ 0， B） ,ld3B=（ ）且 试求 。.解 2222221 3()(
10、)()EXX 4623121321EE又 ()expfttB12344201tt b同理可得 421313()EX22b62123113231()8b2 21 2()8EXX14、设 相互独立同服从分布 。试求 的期望。12n， ， N（ 0， ） 21exp()nniiYX解 2(0,)kXN:(1,2)kn10令 12(,)nXx 12(,)ntt则 22 21()exp(,)expnX kfttdiagtt21()e()nn kEYt21kxn kked122()nkyx 2121()kn yk ed 21()k 2()n15、设 XY 相互独立同分布的 随机变量，讨论 的独立(0,N2XUYV和性。 解 221ZXY有 或1221 12zxzxyz1212zxyz则21 22()xyJy又 2(,)XYRe 2(,)xyR112 2, 122()(0,)()zZPz zRz
