中国科学大学随机过程孙应飞复习题及答案.doc

1、中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 1 （1） 设 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为0),(tX，且是一个周期为 的函数，即tstBsE),( T，求方差函数 。,T )()tXD解：由定义，有： 0)(20)( )( )()TBtXEtEttttD（2） 试证明：如果 是一独立增量过程，且 ，那么它必是一个马,t 0)(X尔可夫过程。证明：我们要证明：，有ntt210 )()( )(,1 121 nn nxtXtPxtXtx形式上我们有： )()(,)(,)( , )()()()( , 1221 121 nnn nn xtXxtxtXtPxXttt xt

2、ttt 因此，我们只要能证明在已知 条件下， 与1n相互独立即可。2,1,)(njt由独立增量过程的定义可知，当 时，增量2,1njttanj 与 相互独立，由于在条件 和 下，)0(Xtj )(1nntt 1)(xtX0)(即有 与 相互独立。由此可知，在 条件下， 与jx1nntX相互独立，结果成立。2,1,)(tj（3） 设随机过程 为零初值（ ）的、有平稳增量和独立增量的过程，0tW0且对每个 ， ，问过程 是否为正态过程，为什么？),(2tNt,tW解：任取 ，则有：ntt210 nkkittt ii ,2111由平稳增量和独立增量性，可知 并且独立)(,011 itt tNWii

3、中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 2 因此 是联合正态分布的，由),( 1121 nntttt WW 112210nnn tttttt 可知是正态过程。（4） 设 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并tB说明理由。解：标准布朗运动的相关函数为： ,min),(2tstsRB如果标准布朗运动是均方可微的，则 存在，但是：/ 20/ ),(),(li),( 0, ttRtRtBBtBt故 不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。),(/tRB（5） 设 ， 是零初值、强度 的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在tN0均方意义下， 是否存在

4、，为什么？0,tdsYtt解：泊松过程的转移率矩阵为： 0Q其相关函数为： ，由于在 ， 连续，故均stttsRN2,min),(t),(tRN方积分存在。（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0 表示误差状态，1 表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为： 5.027.10pP试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 3 解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为 。)3/1,2(（7） 设齐次马氏链 一步转移概率矩阵如下：,431,0,SnX02/1/P（a）写出切普曼

5、柯尔莫哥洛夫方程（C K 方程） ；（b）求 步转移概率矩阵；n（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？解：（a）略（b） 之nPn2)(（c）此链不具遍历性（8） 设 ，其中 为强度为 的 Poission 过程，0,)1(tXtYN0);(t0随机变量 与此 Poission 过程独立，且有如下分布： ,2/1,4/1 aXPaP问：随机过程 是否为平稳过程？请说明理由。),(t由于： 0)(tYE122)(20 )(122 112)( )(2)()(22 )()(1!)( )(1, 11212 122 21 teaeaenta ntNtPntNEEaaXR tn ttNt ttttt

6、tNttNt 故 是平稳过程。tY（9） 设 ，其中 与 独立，都服从,tXt XY),0(2N（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。证明：（a）任取 ，则有：nttNn210,中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 4 YXttYtXtnnttn 2112121 由于 与 独立，且都服从 ，因此可得 服从正态分布，由上式可知随XY),0(2N机向量 服从正态（高斯）分布，所以过程 是nttt21 0,2tYXt正态（高斯）过程。（b）由： 02YtEXEt 21221212 2121 44)(),(21 tttttRtX

7、 由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10） 设 ， 是零初值、强度 的泊松过程。tN0（a）求它的概率转移函数 ；),(iNjPjitspst（b）令 ，说明 存在，并求它的二阶矩。,tXtt 10dXYt解：（a） )()!(),( stijst esiNjPjisp （b）先求相关函数： )21(,min)(),( 2stststEstRX对任意的 ，在 处 连续，故 均方连续，因此均方可积， 存),Xt 10dtXY在。 10 10102102),(dtsR tsEdsXtEEYX tt将 代入计算积分即可。),(stRX由 ，得： ,min)21(,min)(),

8、( 2 stststsNtEtX 中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 5 31,min),( 101010102102 dststdtsdtsR tXEXtEtXEY sts（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为 3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计 1、0、-1 分。第一次摸球之前没有积分。以 表示第 次取出球后的累计积分，nY,0n（a） ， 是否齐次马氏链？说明理由。Y,1（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率 和两步转移概率 。ijp)2(ijp

9、（c）令 ，求 。0,;mn0Y 50P解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为： 。,21, S（b） 之,03.,4.1 ijijiYjPpnnij 之,023.1,4.2.,.02,.)2( 222 ijijijiYPpnij（c）即求首达概率，注意画状态转移图。 0396.4.25240 P（12） 考察两个谐波随机信号 和 ，其中：)(tXY)cos()(,costBtAt 式中 和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分Ac布的随机变量。中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应

10、飞 6 （a）求 的均值、方差和相关函数；)(tX（b）若 与 独立，求 与 的互相关函数。B)(tY解：（a） 0)(tE，212121 cos)(, tAtXRX 2)(AtXD（b） 0)(2YttY（13） 令谐波随机信号： 式中 为固定的实数； 是 内),cos(tt c,0均匀分布的随机变量，考察两种情况：（a）幅值 为一固定的正实数；A（b）幅值 为一与 独立，分布密度函数为 的随机变量；0,)2/(ae试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？（a）如 12 题（b）略（14） 设 是一强度为 的 Poission 过程，记 ，试求随机过0);(tNtdNtX)(程 的均值和相关

11、函数。X解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得： /)()(ttmtXX )(),min, 222 sttssttstRs （15） 研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。（a） ，其中 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为 ，方BAtX)(, ba,差为 ；21,（b） ，其中 是相互独立的二阶矩随机变量，均值为Ctt)( BA,，方差为 。ca, 231,略（16） 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。（a） ，其中 是参数为 1 的 Wienner 过程。0,)(ttWX)(

12、t中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 7 （b） ,其中 是参数为 的 Wienner 过程。0)(2tWtX)(t2解：（a） 1)( tEtm ,min1,in)()(, 2tststWststsRX 连续，故均方连续，均方可积。2)(（b） ttEtDtEtX 22)()()(均方连续，均方可积。443(),(sst（17） 讨论 Wienner 过程和 Poission 过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。解：略。（18） 设有平稳随机过程 ，它的相关函数为 ，其中 为常数，)(tX2)(eRX,求 （ 为常数）的自协方差函数和方差函数。dtatY)

13、(解：略。（19） 设有实平稳随机过程 ，它的均值为零，相关函数为 ， 若)(tX)(XR，求 的自协方差函数和方差函数。tdsY0)()(Y解： mtXsYY duvRtRtsC0)(),(),( tXtXt xvudD0 )(4（20） 设 和 是参数分别为 和 的时齐 Poission 过程，证明),(1tN0),(2t12在 的任一到达时间间隔内， 恰有 个事件发生的概率为：)(2tNk,0,2121pk证明：令 为 的任一到达时间间隔并且 ，即 的分布密度为：X)(1tN)(1ExXX0,)(1tetftX由此可知：中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 8

14、 ,210,!)( )(),021210120122 ktdekt tdetXtNPXtNPptk （21） 设随机振幅、随机相位正弦波过程 ，其中随机变量 和,)sin(tVXt V相互独立，且有分布：4/12/0,20U令： ,0/1tXYtt 之试求过程 的均值函数。t解：由定义，随机过程 的均值函数为：);(t2/)(1)( 0)(tXPtYtYPEY而 2/)sin(21/)sin(21/)sin(21 0/)si(0/)i() /2)sin(2/( tPtPtPVVttttX由于当 时，随机变量 的分布密度为：,0U)它其,01,1(2) xxft因此有： 42/)(tXP即： 1

15、tY（22） 设有一泊松过程 ，固定两时刻 ，且 ，试证明0,)(tNts,t中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 9 nktstCntNksPnk ,210,1)()( 证明：由于 ，有tsntNPkskstnt)()()(,/其中 )()!(!)()()( stknsketestksNP tntNP所以 knknknk tstknsktstCtsettkP 1)!()( !)(!)()(/)( )(（23） 设 为零均值的标准布朗运动， 和 为两个待定的正常数（ ） ，0,)(tBab1a问在什么情况下 仍为标准的布朗运动？说明理由。)(bta解：由 为标准布朗

16、运动可知 为正态过程，由正态分布的性质可知,)(t 0,)(tB为正态过程，令 ，则有ba)(tY ,min,in, 222 stbastabstEasEstRY 因此，要使 仍为标准的布朗运动，必须 ，即：)(B10,b（24） 设有无穷多只袋子，各装有红球 只，黑球 只及白球 只。今从第 1 个袋子随rw机取一球，放入第 2 个袋子，再从第 2 个袋子随机取一球，放入第 3 个袋子，如此继续。令 ,21,01kkRk之之（a）试求 的分布；k中科院研究生院 20052006 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 10 （b）试证 为马氏链，并求一步转移概率。kR解：（a） 的分布为：k wbrr

17、Pk01（b） 的一步转移概率为：kR 11wbrbrP（25） 设有随机过程 ， 与 是相互独立的正态随机变量，tYtX,)(2XY期望均为 0，方差分别为 和 。证明过程 均方可导，并求 导过程的2)(t)(t相关函数。证明：计算得： 0)(2EtE 2222, YXstYsXtsR由于相关函数的导数为： tsstRtX24),(),(它是一连续函数，因此过程 均方可导， 导过程的相关函数由上式给出。（26） 设 是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数0;tB。)(),(xyfxspstB解：由标准维纳过程的定理：设 为标准维纳过程，则对任意0;0tW， 的联合分布密度为：ntt210 )(,)(,(210nt i iin txptxg112 );其中： 2e);(tttxp可知：当 时， 的联合分布密度为：ts),(tsB )(2exp)(21exp21, stystsyxfts