1、1北京市东城区 2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1 本试卷共 5页，150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合 ，集合 ， ，那么集合1,234U1,34A2,B()UCABI（A） （B） （C） （D ） 1,32,4（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于3 33 1 正（主）视图 侧（左）视图1
2、3俯视图（A） cm3 （B） cm3 （C ） cm3 （D） cm322 9（3）设 i为虚数单位，如果复数 满足 ，那么 的虚部为z(1)5izz（A） （B） （C ） （D ）1 i i（4）已知 ，令 ， ， ，那么 之间的大小关系为 (0,)mlog2ma2bmc,abc（A） （B） （C ） （D）bcaca（5）已知直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，那么“ ”是“ ”的lk33k（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件2（6）已知函数 ，如果关于 x 的方程 有两个不同的实根，1,02()lnxfx()fk那么实数 k 的取值
3、范围是（A） （B） （C） （D）(1,)3,)232,)eln2,)（7）过抛物线 的焦点 F的直线交抛物线于 ,AB两点，点 O是原点，如20)ypx（果 ， ， ，那么 的值为3BFA3OF()A ()B ()C （D ） 12 6（8）如图所示，正方体 的棱长为 1, 分别是棱 ， 的中点，ACD,EFAC过直线 的平面分别与棱 、 交于 ，设,EFMN， ，给出以下四个命题： BMx)1,0( 四边形 为平行四边形；N 若四边形 面积 , ,则 有最小)(xfs)10(xf值； 若四棱锥 的体积 ， ，则AEF)(pV),(常函数；)(xp 若多面体 的体积 ，MENFBCDVhx
4、，1(,)2则 为单调函数xh其中假命题为()A ()B ()C （D）第二部分（非选择题 共 110分）二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分.（9） 在 中， 分别为角 的对边，如果 ， ， ，那ABCab、 AB、 030154a么 . bMNFECDBACDA B3（10）在平面向量 中，已知 ， .如果 ，那么 ；如果a,b(1,3)(2,y)b5aby=，那么 .-+y=（11）已知 满足满足约束条件 ，那么 的最大值为_.,xy+0,23xy2zxy（12）如果函数 的图象过点 且 那么 ；2()sinfxa(,1)(fta()ft（13）如果平面直角坐标系中的两点 ，
5、关于直线 对称，那么直线(,)A(,)Bal的l方程为_. （14）数列 满足： ，给出下述命题： na*12(1,)nnaN若数列 满足： ，则 成立；*,an存在常数 ，使得 成立；c*()nc若 ，则 ；,pqmpqN其 中 pqmna存在常数 ，使得 都成立d*1()nadn上述命题正确的是_(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） （本小题共 13分）设 是一个公比为 等比数列， 成等差数列,且它的na(0,1)q1234,a前 4项和 .15s（）求数列 的通项公式；n（）令 ,求数列 的前 项和.2,(,3.)bnb
6、4EBCADP（16） （本小题共 13分）已知函数 22()sin3icos()fxxxR（）求 的最小正周期和在 上的单调递减区间；0,（）若 为第四象限角，且 ，求 的值.cs57()21f（17） （本小题共 14分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，PABCDAB底面 ， , 为棱 的中点.AEP（）证明: ；E（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）若 为 中点，棱 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，FBCMFC求出 的值，若不存在，说明理由. PMC5（18） （本小题共 13分）已知椭圆 （ ）的焦点是 ，且 ，离心率21xyab0a12F、 12为 12（）求椭圆 的方程；
7、C（）若过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求 的取值范2FlAB2|AFBg围（19） （本小题共 14 分）已知函数 ()(ln)xefa（）当 时，试求 在 处的切线方程；1af1,(f（）当 时，试求 的单调区间；0()x（）若 在 内有极值，试求 的取值范围()fx, a6（20） （本小题共 13 分）已知曲线 的方程为： .nC*1()nxyN（）分别求出 时，曲线 所围成的图形的面积;1,2nC（）若 表示曲线 所围成的图形的面积，求证： 关于 是()nSN()nSNn递增的;(III) 若方程 ， ，没有正整数解，求证：曲线(2,)nnxyzN0xyz上任一点对应的坐标
8、 ， 不能全是有理数.(2,)nC(,7东城区 2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校_班级_姓名_考号_本试卷共 5页，150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A B C B B A D第二部分（非选择题 共 110分）二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分.（9） （10） （11
9、） （12） （13） 221;3581;0（14）01yx三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） （本小题共 13分）设 是一个公比为 等比数列， 成等差数列,且它na(0,1)q1234,a的前 4项和 .15s（）求数列 的通项公式；n（）令 ,求数列 的前 项和.2,(,3.)bnb解：（）因为 是一个公比为 等比数列，na(01q所以 1q因为 成等差数列，1234,所以 即 6,a20q解得 . ,()q舍又它的前 4和 ，得 ，15s41()5(0,1)aq8解得 1a所以 . 9 分2n（）因为 ，nb所以 131112(n1)niiia
10、分（16） （本小题共 13分）已知函数 22()sin3icos()fxxxR（）求 的最小正周期和在 上的单调递减区间；0,（）若 为第四象限角，且 ，求 的值.3cs57()21f解：（）由已知 2()inicosfxxx3sicos2().6所以 最小正周期 2.T=由 32,.6kxkz+-+得 10,3故函数 ()fx在 上的单调递减区间 9分,15,36（）因为 为第四象限角，且 ，所以 cos4sin所以 = 13 分7()21f7in()2685（17） （本小题共 14分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，PABCDAB底面 ， , 为棱 的中点.AEP（）证明: ；EE
11、BCADP9（）求直线 与平面 所成角的正弦值；AEPBD（）若 为 中点，棱 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，FCMFAC求出 的值，若不存在，说明理由. PMC（）证明：因为 底面 ，AB所以 D因为 ，所以 .CP面由于 ，AE面所以有 D分（）解：依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图） ，A不妨设 ，可得 ， ， ，2BP(,0)B(2,0)C(),2D.()0,由 为棱 的中点，得 . ED(,1)E(,1)Auv向量 , .(20)Bur2PBur设 为平面 的法向量，则 即 ,nxyz0n2zxy不妨令 ，可得 （1,1,1）为平面 的一个法向量.1=PBD所以 .6c
12、os,3AEFuv所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 11分PB63（）解：向量 ， ， .(2,)Cr(2,0)ACur(2,0)ABur由点 在棱 上，设 .M1故 .(1,)Furr由 ，得 ，zyxEBCDAP10因此， ，解得 .(1-2)(-2)034所以 . 13分3PMC（18） （本小题共 13分）已知椭圆 （ ）的焦点是 ，且 ，离心率为 21xyab0a12F、 1212（）求椭圆 的方程；C（）过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求 的取值范围2FlAB2|ABg解（）因为椭圆的标准方程为 ，21(0)xyab由题意知 解得 221abc， ,3所以椭圆的标准方程为 5 分2143xy（）因为 ，当直线 的斜率不存在时， ， ，2(1,0)Fl 3(1,)2A(,)B则 ，不符合题意.29|4ABg当直线 的斜率存在时，直线 的方程可设为 ll(1)ykx由 消 得 （*） 2(1),43ykxy22(34)840kx设 ， ，则 、 是方程（*）的两个根，),(1yxA),(2B12所以 ， 2834k43kx所以 ，22111|()Fyx所以 2222|Bxk所以 1|()()Akg
